{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/18","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"18","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 18. (0-3)\nProstokątna łąka jest podzielona na dwie części 𝐴 i 𝐵, tak jak pokazano na rysunku. Każda\nz tych części ma kształt trapezu.\nKosiarka w ciągu każdej godziny swojej pracy kosi trawę z powierzchni o takim samym polu.\nTrawę z części 𝐴 kosiarka skosiła w ciągu trzech godzin.\nOblicz, ile godzin kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝑩. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n40 m\n60 m\n80 m\n10 m\n90 m\nOMAP-100-2206","answer":"9 godzin","answer_text":"Zadanie 18. (0-3)\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia, ile godzin kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵, prawidłowe\nobliczenia oraz prawidłowy wynik (9 godzin).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia, ile razy pole części 𝐵 jest większe od pola części 𝐴, np.\nzapisanie\n𝑃𝐴= 1\n2 (10 + 40) ∙80 = 2000 (m2)\n𝑃𝐵= 1\n2 (90 + 60) ∙80 = 6000 (m2)\n6000 ∶2000\n(lub zapisy równoważne),\nLUB\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego do\nprostej sytuacji oraz budowanie go w różnych\nkontekstach, także w kontekście\npraktycznym.\nXIII. Proporcjonalność prosta. Uczeń:\n2) wyznacza wartość przyjmowaną przez\nwielkość wprost proporcjonalną\nw przypadku konkretnej zależności\nproporcjonalnej, na przykład wartość\nzakupionego towaru w zależności od liczby\nsztuk towaru, ilość zużytego paliwa\nw zależności od liczby przejechanych\nkilometrów, liczby przeczytanych stron\nksiążki w zależności od czasu jej czytania.\nXVII. Wielokąty. Uczeń:\n5) stosuje wzory na pole […] trapezu\nprzedstawionych na rysunku […].\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n• poprawny sposób obliczenia stosunku pól powierzchni łąki, np. zapisanie\n𝑃𝐵\n𝑃𝐴\n1\n2 (90 + 60) ∙80\n1\n2 (10 + 40) ∙80\n= 150\n50 (lub zapisy równoważne),\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia czasu potrzebnego na skoszenie trawy w części 𝐵,\nnp. zapisanie lub zastosowanie metody proporcji\n3 h -2000 m2\n𝑥-6000 m2\n𝑥= 3 h ∙6000 m2\n2000 m2\n,\nLUB\n• ustalenie na rysunku za pomocą podziału łąki na 4 równe części oraz zapisanie\nzależności pomiędzy polem figury 𝐴 i 𝐵 (PB = 3 𝑃𝐴), np.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia pola powierzchni części łąki 𝐴 lub części łąki 𝐵,\nnp. zapisanie\n𝑃𝐴= 1\n2 (10 + 40) ∙80 = 2000 (m2) LUB 𝑃𝐵= 1\n2 (90 + 60) ∙80 = 6000 (m2),\nLUB\n• poprawny sposób podziału łąki na cztery równe części na rysunku, np.\nLUB\n0 punktów\nrozwiązanie błędne, albo brak rozwiązania.\n𝐴\n𝐵\n40 m\n60 m\n80 m\n10 m\n90 m\n𝐴\n𝐵\n40 m\n80 m\n10 m\n10\n10\n40\n90 m\n60 m\n40\n40\n10\n𝐴\n𝐵\n40 m\n80 m\n10 m\noraz\n𝑃𝐵= 3 𝑃𝐴 .\n90 m\n60 m\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2022 r.\nUwaga\nNie ocenia się stosowania jednostek.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nCzęści 𝐴 i 𝐵, na które podzielona jest łąka mają kształt trapezu.\nObliczymy pola obu części łąki:\n𝑃𝐴= 1\n2 (10 + 40) ∙80 = 2000 (m2)\n𝑃𝐵= 1\n2 (90 + 60) ∙80 = 6000 (m2)\nPowierzchnia części 𝐵 jest 3 razy większa:\n6000 ∶2000 = 3\nKosiarka skosiła trawę z powierzchni części 𝐴 w ciągu 3 godzin, a zatem:\n3 ∙3 = 9\nOdpowiedź: Kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵 9 godzin.\nII sposób\nObliczymy stosunek pól części 𝐵 i części 𝐴:\n𝑃𝐵\n𝑃𝐴\n1\n2 (90 + 60) ∙80\n1\n2 (10 + 40) ∙80\n= 150\n50 = 3\nPonieważ pole części 𝐵 jest 3 razy większe, więc - korzystając z założenia, że czas (𝑡𝐴)\nna skoszenie trawy z powierzchni części 𝐴 jest równy 3 godziny - czas (𝑡𝐵) koszenia\ntrawy z części 𝐵 będzie 3 razy dłuższy:\n𝑡𝐵= 3 ∙𝑡𝐴= 9 godzin\n3 godziny ∙3 = 9 godzin\nOdpowiedź: Kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵 9 godzin.\nIII sposób\nObliczymy pole całej łąki, która ma kształt prostokąta:\n𝑃Ł = 100 ∙80 = 8000 (m2)\nObliczymy pole łąki w części 𝐴:\n𝑃𝐴=\n(10 + 40)\n2\n∙80 = 2000 (m2)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczymy jaką część łąki stanowią powierzchnie 𝐴 oraz 𝐵.\nCzęść 𝐴 stanowi 1\n4 całej łąki:\n𝑃𝐴\n𝑃𝐵\n= 2000 (m2)\n8000 (m2) = 1\n4 ,\nzatem część 𝐵 stanowi 3\n4 całej łąki, czyli część 𝐵 stanowi 3 części 𝐴:\n3 𝑃𝐴= 𝑃𝐵\nObliczymy czas potrzebny na skoszenie trawy z części 𝐵:\n3 ∙3 godziny = 9 godzin\nOdpowiedź: Kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵 9 godzin.\nIV sposób\nCzęści 𝐴 i 𝐵, na które podzielona jest łąka mają kształt trapezu.\nObliczymy pola obu części łąki:\n𝑃𝐴= 1\n2 (10 + 40) ∙80 = 2000 (m2) 𝑃𝐵= 1\n2 (90 + 60) ∙80 = 6000 (m2)\nObliczymy w jakim czasie kosiarka kosiła trawę w części 𝐵 łąki korzystając z proporcji:\n3 h -2000 m2\n𝑥-6000 m2\n𝑥= 3 h ∙6000 m2\n2000 m2\n= 9 h\nOdpowiedź: Kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵 9 h.\nV sposób\nŁąkę można podzielić na 4 części o równych polach, jedną z tych części stanowi trapez 𝐴:\nJeśli kosiarka kosi trawę z części 𝐴 w czasie 3 godzin, a część 𝐵 złożona jest z trzech\nczęści 𝐴, to skoszenie trawy z części 𝐵 będzie trwało 9 godzin.\n𝐴\n𝐵\n40 m\n40 m\n80 m\n10 m\n10 m\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2022 r.","solution":"Pole części A :\n\nP_A=(10+40)/(2)·80=2000 m^2\n\nPole części B :\n\nP_B=(90+60)/(2)·80=6000 m^2\n\nCzęść B ma trzy razy większe pole, więc:\n\n3·3=9 godzin\n\nOdpowiedź: 9 godzin.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"

Zadanie 18. (0-3)
Prostokątna łąka jest podzielona na dwie części 𝐴 i 𝐵, tak jak pokazano na rysunku. Każda
z tych części ma kształt trapezu.
Kosiarka w ciągu każdej godziny swojej pracy kosi trawę z powierzchni o takim samym polu.
Trawę z części 𝐴 kosiarka skosiła w ciągu trzech godzin.
Oblicz, ile godzin kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝑩. Zapisz obliczenia.
𝐴
𝐵
40 m
60 m
80 m
10 m
90 m
OMAP-100-2206

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-3)
Zasady oceniania
3 punkty - pełne rozwiązanie
poprawny sposób obliczenia, ile godzin kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵, prawidłowe
obliczenia oraz prawidłowy wynik (9 godzin).
2 punkty
• poprawny sposób obliczenia, ile razy pole części 𝐵 jest większe od pola części 𝐴, np.
zapisanie
𝑃𝐴= 1
2 (10 + 40) ∙80 = 2000 (m2)
𝑃𝐵= 1
2 (90 + 60) ∙80 = 6000 (m2)
6000 ∶2000
(lub zapisy równoważne),
LUB
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie modelu matematycznego do
\n

prostej sytuacji oraz budowanie go w różnych
kontekstach, także w kontekście
praktycznym.
XIII. Proporcjonalność prosta. Uczeń:

\n
  1. wyznacza wartość przyjmowaną przez
\n

wielkość wprost proporcjonalną
w przypadku konkretnej zależności
proporcjonalnej, na przykład wartość
zakupionego towaru w zależności od liczby
sztuk towaru, ilość zużytego paliwa
w zależności od liczby przejechanych
kilometrów, liczby przeczytanych stron
książki w zależności od czasu jej czytania.
XVII. Wielokąty. Uczeń:

\n
  1. stosuje wzory na pole […] trapezu
\n

przedstawionych na rysunku […].
Zasady oceniania rozwiązań zadań
• poprawny sposób obliczenia stosunku pól powierzchni łąki, np. zapisanie
𝑃𝐵
𝑃𝐴
1
2 (90 + 60) ∙80
1
2 (10 + 40) ∙80
= 150
50 (lub zapisy równoważne),
LUB
• poprawny sposób obliczenia czasu potrzebnego na skoszenie trawy w części 𝐵,
np. zapisanie lub zastosowanie metody proporcji
3 h -2000 m2
𝑥-6000 m2
𝑥= 3 h ∙6000 m2
2000 m2
,
LUB
• ustalenie na rysunku za pomocą podziału łąki na 4 równe części oraz zapisanie
zależności pomiędzy polem figury 𝐴 i 𝐵 (PB = 3 𝑃𝐴), np.
1 punkt
• poprawny sposób obliczenia pola powierzchni części łąki 𝐴 lub części łąki 𝐵,
np. zapisanie
𝑃𝐴= 1
2 (10 + 40) ∙80 = 2000 (m2) LUB 𝑃𝐵= 1
2 (90 + 60) ∙80 = 6000 (m2),
LUB
• poprawny sposób podziału łąki na cztery równe części na rysunku, np.
LUB
0 punktów
rozwiązanie błędne, albo brak rozwiązania.
𝐴
𝐵
40 m
60 m
80 m
10 m
90 m
𝐴
𝐵
40 m
80 m
10 m
10
10
40
90 m
60 m
40
40
10
𝐴
𝐵
40 m
80 m
10 m
oraz
𝑃𝐵= 3 𝑃𝐴 .
90 m
60 m
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2022 r.
Uwaga
Nie ocenia się stosowania jednostek.
Przykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty
I sposób
Części 𝐴 i 𝐵, na które podzielona jest łąka mają kształt trapezu.
Obliczymy pola obu części łąki:
𝑃𝐴= 1
2 (10 + 40) ∙80 = 2000 (m2)
𝑃𝐵= 1
2 (90 + 60) ∙80 = 6000 (m2)
Powierzchnia części 𝐵 jest 3 razy większa:
6000 ∶2000 = 3
Kosiarka skosiła trawę z powierzchni części 𝐴 w ciągu 3 godzin, a zatem:
3 ∙3 = 9
Odpowiedź: Kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵 9 godzin.
II sposób
Obliczymy stosunek pól części 𝐵 i części 𝐴:
𝑃𝐵
𝑃𝐴
1
2 (90 + 60) ∙80
1
2 (10 + 40) ∙80
= 150
50 = 3
Ponieważ pole części 𝐵 jest 3 razy większe, więc - korzystając z założenia, że czas (𝑡𝐴)
na skoszenie trawy z powierzchni części 𝐴 jest równy 3 godziny - czas (𝑡𝐵) koszenia
trawy z części 𝐵 będzie 3 razy dłuższy:
𝑡𝐵= 3 ∙𝑡𝐴= 9 godzin
3 godziny ∙3 = 9 godzin
Odpowiedź: Kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵 9 godzin.
III sposób
Obliczymy pole całej łąki, która ma kształt prostokąta:
𝑃Ł = 100 ∙80 = 8000 (m2)
Obliczymy pole łąki w części 𝐴:
𝑃𝐴=
(10 + 40)
2
∙80 = 2000 (m2)
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Obliczymy jaką część łąki stanowią powierzchnie 𝐴 oraz 𝐵.
Część 𝐴 stanowi 1
4 całej łąki:
𝑃𝐴
𝑃𝐵
= 2000 (m2)
8000 (m2) = 1
4 ,
zatem część 𝐵 stanowi 3
4 całej łąki, czyli część 𝐵 stanowi 3 części 𝐴:
3 𝑃𝐴= 𝑃𝐵
Obliczymy czas potrzebny na skoszenie trawy z części 𝐵:
3 ∙3 godziny = 9 godzin
Odpowiedź: Kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵 9 godzin.
IV sposób
Części 𝐴 i 𝐵, na które podzielona jest łąka mają kształt trapezu.
Obliczymy pola obu części łąki:
𝑃𝐴= 1
2 (10 + 40) ∙80 = 2000 (m2) 𝑃𝐵= 1
2 (90 + 60) ∙80 = 6000 (m2)
Obliczymy w jakim czasie kosiarka kosiła trawę w części 𝐵 łąki korzystając z proporcji:
3 h -2000 m2
𝑥-6000 m2
𝑥= 3 h ∙6000 m2
2000 m2
= 9 h
Odpowiedź: Kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵 9 h.
V sposób
Łąkę można podzielić na 4 części o równych polach, jedną z tych części stanowi trapez 𝐴:
Jeśli kosiarka kosi trawę z części 𝐴 w czasie 3 godzin, a część 𝐵 złożona jest z trzech
części 𝐴, to skoszenie trawy z części 𝐵 będzie trwało 9 godzin.
𝐴
𝐵
40 m
40 m
80 m
10 m
10 m
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2022 r.

","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Pole części A :

\n

P_A=(10+40)/(2)·80=2000 m^2

\n

Pole części B :

\n

P_B=(90+60)/(2)·80=6000 m^2

\n

Część B ma trzy razy większe pole, więc:

\n

3·3=9 godzin

\n

Odpowiedź: 9 godzin.

"}]}