{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/19","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"19","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 19. (0-3)\nNa rysunku przedstawiono graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt prostokątny.\nDługość jednej z przyprostokątnych jest równa 8 cm, a długość przeciwprostokątnej jest\nrówna 10 cm. Najmniejsza ściana boczna tego graniastosłupa ma pole równe 54 cm2.\nOblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2206\nBrudnopis (nie podlega ocenie)","answer":"75 cm","answer_text":"Zadanie 19. (0-3)\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia sumy długości wszystkich krawędzi graniastosłupa, prawidłowe\nobliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (75 cm).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia długości drugiej przyprostokątnej (zastosowanie twierdzenia\nPitagorasa, np. zapisanie 𝑎2 + 82 = 102 oraz poprawny sposób obliczenia wysokości\ngraniastosłupa, (np. oznaczonej jako 𝐻), tzn. zastosowanie (zgodnie z oznaczeniami\nkrawędzi przyjętymi na rysunku) wzoru na pole prostokąta uwzględniającego, że jest ono\nrówne 54 (lub zapisy równoważne na symbolach albo liczbach jednoznacznie\nidentyfikujące krawędzie graniastosłupa oraz poprawny sposób obliczenia sumy długości\nwszystkich krawędzi graniastosłupa, np. zapisanie 𝑆𝑘= 2 ∙(𝑎+ 8 + 10) + 3 ∙𝐻 (lub\nzapisy równoważne),\nLUB\n• zapisanie 𝑎= 6 (𝑐𝑚) oraz 𝐻= 9 (𝑐𝑚) lub oznaczenie na odpowiednich odcinkach na\nrysunku 6 i 9 oraz poprawny sposób obliczenia sumy długości wszystkich krawędzi\ngraniastosłupa, np. zapisanie 𝑆𝑘= 2 ∙(6 + 8 + 10) + 3 ∙9 (lub zapisy równoważne).\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia długości drugiej przyprostokątnej (np. oznaczonej jako 𝑎),\nktóra jest jedną z krawędzi podstawy graniastosłupa, zastosowanie twierdzenia\nPitagorasa, np. zapisanie\n𝑎2 + 82 = 102 (lub zapisy równoważne),\nLUB\n• ustalenie (np. zapisanie na rysunku) bez obliczeń długości tego odcinka (6 cm),\nLUB\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej z treści\nzadania, tworzenie strategii rozwiązania\nproblemu, również w rozwiązaniach\nwieloetapowych oraz w takich, które\nwymagają umiejętności łączenia wiedzy\nz różnych działów matematyki.\nXVI. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n6) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nXXII. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) do rozwiązywania zadań osadzonych\nw kontekście praktycznym stosuje poznaną\nwiedzę z zakresu arytmetyki i geometrii oraz\nnabyte umiejętności rachunkowe, a także\nwłasne poprawne metody.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoprawny sposób obliczenia wysokości graniastosłupa, zastosowanie wzoru na pole\nprostokąta, np. zapisanie 54 = 𝑎∙𝐻, gdzie 𝐻 jest zidentyfikowane jako wysokość\ngraniastosłupa (lub zapisy równoważne).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwaga\nBłędne stosowanie jednostek traktuje się jako błąd rachunkowy.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nOznaczymy jedną z krawędzi podstawy jako 𝑎\nObliczymy długość krawędzi 𝑎, korzystając z twierdzenia\nPitagorasa:\n𝑎2 + 82 = 102\n𝑎2 = 100 -64\n𝑎= 6 (cm)\nPole najmniejszej ściany bocznej graniastosłupa jest\nrówne 54 cm2, zatem możemy obliczyć wysokość graniastosłupa, korzystając ze wzoru na\npole prostokąta:\n𝑃= 𝑎∙𝐻\n54 = 6 ∙𝐻\n𝐻= 9 (cm)\nObliczymy sumę długości krawędzi graniastosłupa:\n𝑆𝑘= 2 ∙(6 + 8 + 10) + 3 ∙9 = 75 (cm)\nOdpowiedź: Suma długości krawędzi tego graniastosłupa jest równa 75 (cm).\n10 cm\n𝑎\n𝐻","solution":"Z twierdzenia Pitagorasa:\n\na^2+8^2=10^2\n\na^2=36, a=6 cm\n\nNajmniejsza ściana boczna ma pole 54 cm²:\n\n6h=54⇒ h=9 cm\n\nSuma krawędzi:\n\n2(6+8+10)+3·9=48+27=75 cm\n\nOdpowiedź: 75 cm.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"

Zadanie 19. (0-3)
Na rysunku przedstawiono graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt prostokątny.
Długość jednej z przyprostokątnych jest równa 8 cm, a długość przeciwprostokątnej jest
równa 10 cm. Najmniejsza ściana boczna tego graniastosłupa ma pole równe 54 cm2.
Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
OMAP-100-2206
Brudnopis (nie podlega ocenie)

","answer_text_html":"

Zadanie 19. (0-3)
Zasady oceniania
3 punkty - pełne rozwiązanie
poprawny sposób obliczenia sumy długości wszystkich krawędzi graniastosłupa, prawidłowe
obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (75 cm).
2 punkty
• poprawny sposób obliczenia długości drugiej przyprostokątnej (zastosowanie twierdzenia
Pitagorasa, np. zapisanie 𝑎2 + 82 = 102 oraz poprawny sposób obliczenia wysokości
graniastosłupa, (np. oznaczonej jako 𝐻), tzn. zastosowanie (zgodnie z oznaczeniami
krawędzi przyjętymi na rysunku) wzoru na pole prostokąta uwzględniającego, że jest ono
równe 54 (lub zapisy równoważne na symbolach albo liczbach jednoznacznie
identyfikujące krawędzie graniastosłupa oraz poprawny sposób obliczenia sumy długości
wszystkich krawędzi graniastosłupa, np. zapisanie 𝑆𝑘= 2 ∙(𝑎+ 8 + 10) + 3 ∙𝐻 (lub
zapisy równoważne),
LUB
• zapisanie 𝑎= 6 (𝑐𝑚) oraz 𝐻= 9 (𝑐𝑚) lub oznaczenie na odpowiednich odcinkach na
rysunku 6 i 9 oraz poprawny sposób obliczenia sumy długości wszystkich krawędzi
graniastosłupa, np. zapisanie 𝑆𝑘= 2 ∙(6 + 8 + 10) + 3 ∙9 (lub zapisy równoważne).
1 punkt
• poprawny sposób obliczenia długości drugiej przyprostokątnej (np. oznaczonej jako 𝑎),
która jest jedną z krawędzi podstawy graniastosłupa, zastosowanie twierdzenia
Pitagorasa, np. zapisanie
𝑎2 + 82 = 102 (lub zapisy równoważne),
LUB
• ustalenie (np. zapisanie na rysunku) bez obliczeń długości tego odcinka (6 cm),
LUB
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie strategii wynikającej z treści
\n

zadania, tworzenie strategii rozwiązania
problemu, również w rozwiązaniach
wieloetapowych oraz w takich, które
wymagają umiejętności łączenia wiedzy
z różnych działów matematyki.
XVI. Własności figur geometrycznych na
płaszczyźnie. Uczeń:

\n
  1. zna i stosuje w sytuacjach praktycznych
\n

twierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia
odwrotnego).
XXII. Zadania tekstowe. Uczeń:

\n
  1. do rozwiązywania zadań osadzonych
\n

w kontekście praktycznym stosuje poznaną
wiedzę z zakresu arytmetyki i geometrii oraz
nabyte umiejętności rachunkowe, a także
własne poprawne metody.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poprawny sposób obliczenia wysokości graniastosłupa, zastosowanie wzoru na pole
prostokąta, np. zapisanie 54 = 𝑎∙𝐻, gdzie 𝐻 jest zidentyfikowane jako wysokość
graniastosłupa (lub zapisy równoważne).
0 punktów
rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.
Uwaga
Błędne stosowanie jednostek traktuje się jako błąd rachunkowy.
Przykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty
I sposób
Oznaczymy jedną z krawędzi podstawy jako 𝑎
Obliczymy długość krawędzi 𝑎, korzystając z twierdzenia
Pitagorasa:
𝑎2 + 82 = 102
𝑎2 = 100 -64
𝑎= 6 (cm)
Pole najmniejszej ściany bocznej graniastosłupa jest
równe 54 cm2, zatem możemy obliczyć wysokość graniastosłupa, korzystając ze wzoru na
pole prostokąta:
𝑃= 𝑎∙𝐻
54 = 6 ∙𝐻
𝐻= 9 (cm)
Obliczymy sumę długości krawędzi graniastosłupa:
𝑆𝑘= 2 ∙(6 + 8 + 10) + 3 ∙9 = 75 (cm)
Odpowiedź: Suma długości krawędzi tego graniastosłupa jest równa 75 (cm).
10 cm
𝑎
𝐻

","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Z twierdzenia Pitagorasa:

\n

a^2+8^2=10^2

\n

a^2=36, a=6 cm

\n

Najmniejsza ściana boczna ma pole 54 cm²:

\n

6h=54⇒ h=9 cm

\n

Suma krawędzi:

\n

2(6+8+10)+3·9=48+27=75 cm

\n

Odpowiedź: 75 cm.

"}]}