{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba √128 ∶√64\n3\njest równa\nA. 1\n2 √2\nB. 2\nC. √2\nD. 2√2\nLiczba √128 ∶ √64 jest równa A. 1/2√2 B. 2 C. √2 D. 2√2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20221\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.3) posługuje się w obliczeniach\npierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje\nprawa działań na pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(2\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie każdego pierwiastka osobno\n\nUpraszczamy licznik i mianownik, a potem dzielimy.\n\n**Krok 1: Uprost \\(\\sqrt{128}\\)**\n\n\\[128 = 64 \\cdot 2\\]\n\\[\\sqrt{128} = \\sqrt{64 \\cdot 2} = \\sqrt{64} \\cdot \\sqrt{2} = 8\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2: Uprost \\(\\sqrt[3]{64}\\)**\n\n\\[\\sqrt[3]{64} = \\sqrt[3]{4^3} = 4\\]\n\n**Krok 3: Oblicz iloraz**\n\n\\[\\sqrt{128} : \\sqrt[3]{64} = \\frac{8\\sqrt{2}}{4} = 2\\sqrt{2}\\]\n\n**Wynik: \\(\\boldsymbol{2\\sqrt{2}}\\)**\n\n## Sposób 2 - Zamiana pierwiastków na potęgi o wykładnikach wymiernych\n\nZapisujemy wszystko w postaci potęg, żeby nie zgubić się w typie pierwiastka.\n\n**Krok 1: Rozkład na potęgi**\n\n\\[128 = 2^7, \\quad 64 = 2^6\\]\n\n**Krok 2: Zamiana pierwiastków**\n\n\\[\\sqrt{128} = (2^7)^{\\frac{1}{2}} = 2^{\\frac{7}{2}}\\]\n\\[\\sqrt[3]{64} = (2^6)^{\\frac{1}{3}} = 2^{\\frac{6}{3}} = 2^2 = 4\\]\n\n**Krok 3: Iloraz**\n\n\\[\\frac{2^{\\frac{7}{2}}}{2^2} = 2^{\\frac{7}{2} - 2} = 2^{\\frac{7}{2} - \\frac{4}{2}} = 2^{\\frac{3}{2}}\\]\n\n**Krok 4: Zamień z powrotem**\n\n\\[2^{\\frac{3}{2}} = 2^{1 + \\frac{1}{2}} = 2^1 \\cdot 2^{\\frac{1}{2}} = 2\\sqrt{2}\\]\n\n**Wynik: \\(\\boldsymbol{2\\sqrt{2}}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWłasności pierwiastków i potęg o wykładnikach wymiernych:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}, \\quad \\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w Sposobie 2 - zamieniając \\(\\sqrt{128}\\) i \\(\\sqrt[3]{64}\\) na potęgi, a następnie korzystając z reguły odejmowania wykładników przy dzieleniu.\n\nW Sposobie 1 korzystamy z własności:\n\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]\nco wynika bezpośrednio z \\((a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(\\frac{1}{2}\\sqrt{2}\\) | Pomylenie dzielenia z odwrotnością: uczeń liczy \\(\\frac{\\sqrt[3]{64}}{\\sqrt{128}} = \\frac{4}{8\\sqrt{2}}\\) zamiast odwrotnie |\n| B - \\(2\\) | Uczeń gubi \\(\\sqrt{2}\\) - np. upraszcza \\(\\sqrt{128}\\) jako \\(8\\) zamiast \\(8\\sqrt{2}\\), czyli bierze \\(\\sqrt{128} \\approx \\sqrt{128}\\) i zaokrągla |\n| C - \\(\\sqrt{2}\\) | Uczeń liczy \\(\\sqrt{128} = 8\\sqrt{2}\\), ale dzieli przez \\(8\\) (np. myli \\(\\sqrt[3]{64} = 8\\), bo \\(64 = 8^2\\), a nie \\(4^3\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt[3]{64} = 4\\), bo \\(4^3 = 64\\) - nie mylić z \\(\\sqrt{64} = 8\\)! To dwa różne pierwiastki z tej samej liczby.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{128}\\) nie zapomnij o czynnikach pod pierwiastkiem: \\(\\sqrt{128} = \\sqrt{64 \\cdot 2} = 8\\sqrt{2}\\), a nie po prostu \\(8\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 przy odejmowaniu wykładników wymiernych zawsze sprowadź do wspólnego mianownika: \\(\\frac{7}{2} - 2 = \\frac{7}{2} - \\frac{4}{2} = \\frac{3}{2}\\). Pośpiech tu prowadzi do błędów.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - własności pierwiastków\n\\(\\sqrt{128} = \\sqrt{64\\cdot 2} = 8\\sqrt{2}\\) oraz \\(\\sqrt[3]{64} = 4\\).\n\\[\\sqrt{128} : \\sqrt[3]{64} = \\dfrac{8\\sqrt{2}}{4} = 2\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - postać potęgowa\n\\(\\sqrt{128} = 128^{1/2} = (2^7)^{1/2} = 2^{7/2}\\), \\(\\sqrt[3]{64} = 64^{1/3} = (2^6)^{1/3} = 2^{2}\\).\n\\[2^{7/2} : 2^{2} = 2^{7/2 - 2} = 2^{3/2} = 2\\cdot 2^{1/2} = 2\\sqrt{2}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{2}\\sqrt{2}\\)** - odwrócono iloraz.\n- **B. \\(2\\)** - pominięto pierwiastek z 2.\n- **C. \\(\\sqrt{2}\\)** - błędnie \\(\\sqrt{128}=4\\sqrt{2}\\).\n\n**Trik:** rozłóż \\(128 = 64\\cdot 2\\) - pod pierwiastkiem pojawia się kwadrat.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Liczba √128 ∶√64
3
jest równa
A. 1
2 √2
B. 2
C. √2
D. 2√2
Liczba √128 ∶ √64 jest równa A. 1/2√2 B. 2 C. √2 D. 2√2

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 20221
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
1.3) posługuje się w obliczeniach
pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje
prawa działań na pierwiastkach.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(2\\sqrt{2}\\)

\n

Sposób 1 - Uproszczenie każdego pierwiastka osobno

\n

Upraszczamy licznik i mianownik, a potem dzielimy.

\n

Krok 1: Uprost \\(\\sqrt{128}\\)

\n

\\[128 = 64 \\cdot 2\\]
\\[\\sqrt{128} = \\sqrt{64 \\cdot 2} = \\sqrt{64} \\cdot \\sqrt{2} = 8\\sqrt{2}\\]

\n

Krok 2: Uprost \\(\\sqrt[3]{64}\\)

\n

\\[\\sqrt[3]{64} = \\sqrt[3]{4^3} = 4\\]

\n

Krok 3: Oblicz iloraz

\n

\\[\\sqrt{128} : \\sqrt[3]{64} = \\frac{8\\sqrt{2}}{4} = 2\\sqrt{2}\\]

\n

Wynik: \\(\\boldsymbol{2\\sqrt{2}}\\)

\n

Sposób 2 - Zamiana pierwiastków na potęgi o wykładnikach wymiernych

\n

Zapisujemy wszystko w postaci potęg, żeby nie zgubić się w typie pierwiastka.

\n

Krok 1: Rozkład na potęgi

\n

\\[128 = 2^7, \\quad 64 = 2^6\\]

\n

Krok 2: Zamiana pierwiastków

\n

\\[\\sqrt{128} = (2^7)^{\\frac{1}{2}} = 2^{\\frac{7}{2}}\\]
\\[\\sqrt[3]{64} = (2^6)^{\\frac{1}{3}} = 2^{\\frac{6}{3}} = 2^2 = 4\\]

\n

Krok 3: Iloraz

\n

\\[\\frac{2^{\\frac{7}{2}}}{2^2} = 2^{\\frac{7}{2} - 2} = 2^{\\frac{7}{2} - \\frac{4}{2}} = 2^{\\frac{3}{2}}\\]

\n

Krok 4: Zamień z powrotem

\n

\\[2^{\\frac{3}{2}} = 2^{1 + \\frac{1}{2}} = 2^1 \\cdot 2^{\\frac{1}{2}} = 2\\sqrt{2}\\]

\n

Wynik: \\(\\boldsymbol{2\\sqrt{2}}\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)

\n

Własności pierwiastków i potęg o wykładnikach wymiernych:
\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]
\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}, \\quad \\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]

\n

Użyliśmy tych wzorów w Sposobie 2 - zamieniając \\(\\sqrt{128}\\) i \\(\\sqrt[3]{64}\\) na potęgi, a następnie korzystając z reguły odejmowania wykładników przy dzieleniu.

\n

W Sposobie 1 korzystamy z własności:
\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]
co wynika bezpośrednio z \\((a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(\\frac{1}{2}\\sqrt{2}\\) | Pomylenie dzielenia z odwrotnością: uczeń liczy \\(\\frac{\\sqrt[3]{64}}{\\sqrt{128}} = \\frac{4}{8\\sqrt{2}}\\) zamiast odwrotnie |
| B - \\(2\\) | Uczeń gubi \\(\\sqrt{2}\\) - np. upraszcza \\(\\sqrt{128}\\) jako \\(8\\) zamiast \\(8\\sqrt{2}\\), czyli bierze \\(\\sqrt{128} \\approx \\sqrt{128}\\) i zaokrągla |
| C - \\(\\sqrt{2}\\) | Uczeń liczy \\(\\sqrt{128} = 8\\sqrt{2}\\), ale dzieli przez \\(8\\) (np. myli \\(\\sqrt[3]{64} = 8\\), bo \\(64 = 8^2\\), a nie \\(4^3\\)) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt[3]{64} = 4\\), bo \\(4^3 = 64\\) - nie mylić z \\(\\sqrt{64} = 8\\)! To dwa różne pierwiastki z tej samej liczby.
\n
⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{128}\\) nie zapomnij o czynnikach pod pierwiastkiem: \\(\\sqrt{128} = \\sqrt{64 \\cdot 2} = 8\\sqrt{2}\\), a nie po prostu \\(8\\).
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 przy odejmowaniu wykładników wymiernych zawsze sprowadź do wspólnego mianownika: \\(\\frac{7}{2} - 2 = \\frac{7}{2} - \\frac{4}{2} = \\frac{3}{2}\\). Pośpiech tu prowadzi do błędów.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 (karta wzorów) - własności pierwiastków
\n

\\(\\sqrt{128} = \\sqrt{64\\cdot 2} = 8\\sqrt{2}\\) oraz \\(\\sqrt[3]{64} = 4\\).
\\[\\sqrt{128} : \\sqrt[3]{64} = \\dfrac{8\\sqrt{2}}{4} = 2\\sqrt{2}.\\]

\n
Sposób 2 - postać potęgowa
\n

\\(\\sqrt{128} = 128^{1/2} = (2^7)^{1/2} = 2^{7/2}\\), \\(\\sqrt[3]{64} = 64^{1/3} = (2^6)^{1/3} = 2^{2}\\).
\\[2^{7/2} : 2^{2} = 2^{7/2 - 2} = 2^{3/2} = 2\\cdot 2^{1/2} = 2\\sqrt{2}.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: rozłóż \\(128 = 64\\cdot 2\\) - pod pierwiastkiem pojawia się kwadrat.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od zapisu liczby do obliczenia: $$\\frac{\\sqrt{128}}{\\sqrt[3]{64}}.$$\\n\\n2. Upraszczamy licznik: $$\\sqrt{128} = \\sqrt{64 \\times 2} = \\sqrt{64} \\times \\sqrt{2} = 8 \\sqrt{2}.$$\\n\\n3. Upraszczamy mianownik: $$\\sqrt[3]{64} = 4,\\text{ ponieważ } 4^3 = 64.$$\\n\\n4. Podstawiamy uproszczone wartości do ułamka: $$\\frac{8 \\sqrt{2}}{4}.$$\\n\\n5. Dzielimy licznik przez mianownik: $$8 \\div 4 = 2,$$ więc mamy teraz: $$2 \\sqrt{2}.$$\\n\\n6. Zidentyfikowana odpowiedź to $$2 \\sqrt{2}.$$\\n\\nOdpowiedź: D
"}]}