{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 4\n𝑥-4 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0.\nLiczba 𝑓(2) -𝑓(-2) jest równa\nA. (-8)\nB. (-4)\nC. 4\nD. 0\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = 4/x - 4 dla każdej liczby rzeczywistej x≠0. Liczba f(2)-f(-2) jest równa A. (-8) B. (-4) C. 4 D. 0","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.2) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla\ndanego argumentu […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(4\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawianie wartości do wzoru\n\nObliczamy \\(f(2)\\) i \\(f(-2)\\) osobno, krok po kroku.\n\n**Krok 1: Oblicz \\(f(2)\\)**\n\\[f(2) = \\frac{4}{2} - 4 = 2 - 4 = -2\\]\n\n**Krok 2: Oblicz \\(f(-2)\\)**\n\\[f(-2) = \\frac{4}{-2} - 4 = -2 - 4 = -6\\]\n\n**Krok 3: Oblicz różnicę**\n\\[f(2) - f(-2) = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4\\]\n\n**Odpowiedź: \\(f(2) - f(-2) = 4\\)**\n\n## Sposób 2 - Ogólny wzór na różnicę\n\nObliczamy \\(f(2) - f(-2)\\) bezpośrednio jako jeden wyrażenie.\n\n\\[f(2) - f(-2) = \\left(\\frac{4}{2} - 4\\right) - \\left(\\frac{4}{-2} - 4\\right)\\]\n\nCzłony \\(-4\\) się znoszą:\n\n\\[= \\frac{4}{2} - 4 - \\frac{4}{-2} + 4 = \\frac{4}{2} - \\frac{4}{-2}\\]\n\n\\[= \\frac{4}{2} + \\frac{4}{2} = 2 + 2 = 4\\]\n\nZauważ, że człony stałe (\\(-4\\)) zawsze się redukują przy liczeniu \\(f(a) - f(-a)\\) - to ogólna zasada dla różnicy z symetrycznym argumentem.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawianie wartości pod wzór funkcji i wykonanie prostych działań arytmetycznych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(-8\\) | Obliczono \\(f(2) + f(-2) = -2 + (-6) = -8\\) zamiast różnicy - zamieniono odejmowanie na dodawanie |\n| B. \\(-4\\) | Pomylono kolejność: obliczono \\(f(-2) - f(2) = -6 - (-2) = -4\\) zamiast \\(f(2) - f(-2)\\) |\n| D. \\(0\\) | Błędne założenie, że funkcja jest parzysta lub nieparzysta; albo pomylono \\(f(2) - f(2) = 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(f(-2) = \\frac{4}{-2} - 4\\) - uważaj na znak! \\(\\frac{4}{-2} = -2\\), a nie \\(+2\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odejmowanie liczb ujemnych: \\(-2 - (-6) = -2 + 6 = 4\\). Zmiana znaku przy nawiasie z minusem to klasyczna pułapka - dwa minusy dają plus!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź kolejność odejmowania - zadanie pyta o \\(f(2) - f(-2)\\), nie \\(f(-2) - f(2)\\). Te dwie wartości różnią się znakiem.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - bezpośrednie podstawienie\n\\(f(2) = \\dfrac{4}{2} - 4 = 2 - 4 = -2\\).\n\\(f(-2) = \\dfrac{4}{-2} - 4 = -2 - 4 = -6\\).\n\\(f(2) - f(-2) = -2 - (-6) = 4\\).\n\n### Sposób 2 - uproszczenie algebraiczne\n\\(f(2) - f(-2) = \\left(\\dfrac{4}{2} - 4\\right) - \\left(\\dfrac{4}{-2} - 4\\right) = \\dfrac{4}{2} - \\dfrac{4}{-2} = 2 + 2 = 4\\).\n(Stała \\(-4\\) się skraca.)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-8\\)** - pomyłka znaku przy odejmowaniu.\n- **B. \\(-4\\)** - pomyłka przy liczeniu \\(f(-2)\\).\n- **D. \\(0\\)** - błędne założenie, że funkcja jest parzysta (nie jest).\n\n**Trik:** \\(\\tfrac{4}{x}\\) jest funkcją NIEPARZYSTĄ - różnica \\(f(a)-f(-a)\\) daje \\(2\\cdot \\tfrac{4}{a}\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-1)
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 4
𝑥-4 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0.
Liczba 𝑓(2) -𝑓(-2) jest równa
A. (-8)
B. (-4)
C. 4
D. 0
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 4/x - 4 dla każdej liczby rzeczywistej x≠0. Liczba f(2)-f(-2) jest równa A. (-8) B. (-4) C. 4 D. 0

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
4.2) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla
danego argumentu […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(4\\)

\n

Sposób 1 - Podstawianie wartości do wzoru

\n

Obliczamy \\(f(2)\\) i \\(f(-2)\\) osobno, krok po kroku.

\n

Krok 1: Oblicz \\(f(2)\\)
\\[f(2) = \\frac{4}{2} - 4 = 2 - 4 = -2\\]

\n

Krok 2: Oblicz \\(f(-2)\\)
\\[f(-2) = \\frac{4}{-2} - 4 = -2 - 4 = -6\\]

\n

Krok 3: Oblicz różnicę
\\[f(2) - f(-2) = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4\\]

\n

Odpowiedź: \\(f(2) - f(-2) = 4\\)

\n

Sposób 2 - Ogólny wzór na różnicę

\n

Obliczamy \\(f(2) - f(-2)\\) bezpośrednio jako jeden wyrażenie.

\n

\\[f(2) - f(-2) = \\left(\\frac{4}{2} - 4\\right) - \\left(\\frac{4}{-2} - 4\\right)\\]

\n

Człony \\(-4\\) się znoszą:

\n

\\[= \\frac{4}{2} - 4 - \\frac{4}{-2} + 4 = \\frac{4}{2} - \\frac{4}{-2}\\]

\n

\\[= \\frac{4}{2} + \\frac{4}{2} = 2 + 2 = 4\\]

\n

Zauważ, że człony stałe (\\(-4\\)) zawsze się redukują przy liczeniu \\(f(a) - f(-a)\\) - to ogólna zasada dla różnicy z symetrycznym argumentem.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawianie wartości pod wzór funkcji i wykonanie prostych działań arytmetycznych.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \\(-8\\) | Obliczono \\(f(2) + f(-2) = -2 + (-6) = -8\\) zamiast różnicy - zamieniono odejmowanie na dodawanie |
| B. \\(-4\\) | Pomylono kolejność: obliczono \\(f(-2) - f(2) = -6 - (-2) = -4\\) zamiast \\(f(2) - f(-2)\\) |
| D. \\(0\\) | Błędne założenie, że funkcja jest parzysta lub nieparzysta; albo pomylono \\(f(2) - f(2) = 0\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(f(-2) = \\frac{4}{-2} - 4\\) - uważaj na znak! \\(\\frac{4}{-2} = -2\\), a nie \\(+2\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Odejmowanie liczb ujemnych: \\(-2 - (-6) = -2 + 6 = 4\\). Zmiana znaku przy nawiasie z minusem to klasyczna pułapka - dwa minusy dają plus!
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź kolejność odejmowania - zadanie pyta o \\(f(2) - f(-2)\\), nie \\(f(-2) - f(2)\\). Te dwie wartości różnią się znakiem.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - bezpośrednie podstawienie
\n

\\(f(2) = \\dfrac{4}{2} - 4 = 2 - 4 = -2\\).
\\(f(-2) = \\dfrac{4}{-2} - 4 = -2 - 4 = -6\\).
\\(f(2) - f(-2) = -2 - (-6) = 4\\).

\n
Sposób 2 - uproszczenie algebraiczne
\n

\\(f(2) - f(-2) = \\left(\\dfrac{4}{2} - 4\\right) - \\left(\\dfrac{4}{-2} - 4\\right) = \\dfrac{4}{2} - \\dfrac{4}{-2} = 2 + 2 = 4\\).
(Stała \\(-4\\) się skraca.)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(\\tfrac{4}{x}\\) jest funkcją NIEPARZYSTĄ - różnica \\(f(a)-f(-a)\\) daje \\(2\\cdot \\tfrac{4}{a}\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od zapisania wzoru funkcji w postaci: $$ f(x) = \\frac{4}{x} - 4 $$\\
\n
  1. Obliczamy wartość funkcji $f(2)$: \\[ f(2) = \\frac{4}{2} - 4 \\] \\[ f(2) = 2 - 4 = -2 \\]\\
\n
  1. Następnie obliczamy wartość funkcji $f(-2)$: \\[ f(-2) = \\frac{4}{-2} - 4 \\] \\[ f(-2) = -2 - 4 = -6 \\]\\
\n
  1. Teraz obliczamy różnicę $f(2) - f(-2)$: \\[ f(2) - f(-2) = -2 - (-6) \\] \\[ f(2) - f(-2) = -2 + 6 = 4 \\]\\
\n
  1. Zapisujemy finalny wynik: $f(2) - f(-2) = 4$\\
\n

Odpowiedź: 4

"}]}