{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nPunkt 饾憖= (3, -2) nale偶y do wykresu funkcji liniowej 饾憮 okre艣lonej wzorem\n饾憮(饾懃) = 5饾懃+ 饾憦-4. Wynika st膮d, 偶e 饾憦 jest r贸wne\nA. (-17)\nB. (-13)\nC. 13\nD. 17\nPunkt M = (3,-2) nale偶y do wykresu funkcji liniowej f okre艣lonej wzorem f(x) = 5x+b-4. Wynika st膮d, 偶e b jest r贸wne A. (-17) B. (-13) C. 13 D. 17","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie og贸lne\nWymaganie szczeg贸艂owe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdaj膮cy:\n4.6) wyznacza wz贸r funkcji liniowej na\npodstawie informacji o funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowied藕 poprawna.\n0 pkt - odpowied藕 niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwi膮zanie\nB","solution":"## Poprawna odpowied藕: B - \\(b = -13\\)\n\n## Spos贸b 1 - podstawienie punktu do wzoru funkcji\n\nJe艣li punkt \\(M = (3, -2)\\) nale偶y do wykresu funkcji \\(f\\), to po podstawieniu \\(x = 3\\) musimy dosta膰 \\(f(3) = -2\\).\n\n**Podstawiamy:**\n\\[f(3) = 5 \\cdot 3 + b - 4 = -2\\]\n\n**Obliczamy lew膮 stron臋:**\n\\[15 + b - 4 = -2\\]\n\\[11 + b = -2\\]\n\n**Wyznaczamy \\(b\\):**\n\\[b = -2 - 11 = \\mathbf{-13}\\]\n\n## Spos贸b 2 - weryfikacja (podstawienie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy dla \\(b = -13\\) punkt \\(M = (3, -2)\\) rzeczywi艣cie le偶y na wykresie.\n\nWz贸r funkcji z \\(b = -13\\):\n\\[f(x) = 5x + (-13) - 4 = 5x - 17\\]\n\nPodstawiamy \\(x = 3\\):\n\\[f(3) = 5 \\cdot 3 - 17 = 15 - 17 = -2\\]\n\nOtrzymujemy \\(f(3) = -2\\), co zgadza si臋 z rz臋dn膮 punktu \\(M\\). **Wynik potwierdzony.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie u偶ywamy konkretnych wzor贸w z karty CKE - wystarczy definicja przynale偶no艣ci punktu do wykresu funkcji oraz podstawowe dzia艂ania arytmetyczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne\n\n| Odp. | B艂膮d |\n| A. \\(-17\\) | Ucze艅 oblicza \\(f(3) = 5 \\cdot 3 - 4 = 11\\), po czym myli kierunek i ustawia \\(b = -2 - 15 = -17\\), zapominaj膮c odejmowa膰 sta艂膮 \\(-4\\) poprawnie |\n| C. \\(13\\) | Ucze艅 dostaje \\(b = -13\\), ale gubi znak minusa - b艂膮d przy przenoszeniu na drug膮 stron臋 r贸wnania |\n| D. \\(17\\) | Podw贸jny b艂膮d: zgubienie sta艂ej \\(-4\\) **oraz** zgubienie znaku minusa, co daje \\(b = 2 - (-15) = 17\\) |\n\n## Typowe pu艂apki i uwagi\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** Punkt \\((x, y)\\) nale偶y do wykresu, gdy \\(f(x) = y\\) - czyli podstawiamy **oba**: \\(x = 3\\) **i** \\(f(3) = -2\\). Cz臋sty b艂膮d to wstawienie tylko \\(x\\), a zapomnienie o przyr贸wnaniu do \\(y\\).\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** We wzorze \\(f(x) = 5x + b - 4\\) sta艂a wyrazowa to \\(b - 4\\), nie samo \\(b\\). Uczniowie cz臋sto wyznaczaj膮 \\(b\\) tak, jakby wz贸r wygl膮da艂 \\(5x + b\\), co daje wynik o \\(4\\) za du偶y lub za ma艂y.\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** Przenosz膮c \\(11\\) na praw膮 stron臋 (\\(11 + b = -2\\)), pami臋taj, 偶e \\(b = -2 - 11 = -13\\), nie \\(b = -2 + 11 = 9\\). B艂膮d znaku przy przenoszeniu to klasyczna pu艂apka.\n\n**Poprawna odpowied藕: B**\n\n### Spos贸b 1 - podstawienie punktu\nPunkt \\((3,-2)\\) nale偶y do wykresu, wi臋c \\(f(3) = -2\\):\n\\[5\\cdot 3 + b - 4 = -2\\]\n\\[15 + b - 4 = -2\\]\n\\[11 + b = -2\\]\n\\[b = -13.\\]\n\n### Spos贸b 2 - przekszta艂cenie wzoru\nOznaczmy \\(c = b - 4\\) (wyraz wolny). Z \\(f(3) = 15 + c = -2\\) mamy \\(c = -17\\), czyli \\(b - 4 = -17\\), sk膮d \\(b = -13\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne\n- **A. \\(-17\\)** - nie odj臋to \\(-4\\) (to warto艣膰 \\(c = b-4\\)).\n- **C. \\(13\\)**, **D. \\(17\\)** - z艂y znak.\n\n**Trik:** podstaw \\(x\\) i \\(y\\) z punktu do wzoru i rozwi膮偶 r贸wnanie ze zmienn膮 \\(b\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka 路 Matura 路 czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-1)
Punkt 饾憖= (3, -2) nale偶y do wykresu funkcji liniowej 饾憮 okre艣lonej wzorem
饾憮(饾懃) = 5饾懃+ 饾憦-4. Wynika st膮d, 偶e 饾憦 jest r贸wne
A. (-17)
B. (-13)
C. 13
D. 17
Punkt M = (3,-2) nale偶y do wykresu funkcji liniowej f okre艣lonej wzorem f(x) = 5x+b-4. Wynika st膮d, 偶e b jest r贸wne A. (-17) B. (-13) C. 13 D. 17

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie og贸lne
Wymaganie szczeg贸艂owe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdaj膮cy:
4.6) wyznacza wz贸r funkcji liniowej na
podstawie informacji o funkcji lub o jej
wykresie.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowied藕 poprawna.
0 pkt - odpowied藕 niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwi膮zanie
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowied藕: B - \\(b = -13\\)

\n

Spos贸b 1 - podstawienie punktu do wzoru funkcji

\n

Je艣li punkt \\(M = (3, -2)\\) nale偶y do wykresu funkcji \\(f\\), to po podstawieniu \\(x = 3\\) musimy dosta膰 \\(f(3) = -2\\).

\n

Podstawiamy:
\\[f(3) = 5 \\cdot 3 + b - 4 = -2\\]

\n

Obliczamy lew膮 stron臋:
\\[15 + b - 4 = -2\\]
\\[11 + b = -2\\]

\n

Wyznaczamy \\(b\\):
\\[b = -2 - 11 = \\mathbf{-13}\\]

\n

Spos贸b 2 - weryfikacja (podstawienie wyniku)

\n

Sprawdzamy, czy dla \\(b = -13\\) punkt \\(M = (3, -2)\\) rzeczywi艣cie le偶y na wykresie.

\n

Wz贸r funkcji z \\(b = -13\\):
\\[f(x) = 5x + (-13) - 4 = 5x - 17\\]

\n

Podstawiamy \\(x = 3\\):
\\[f(3) = 5 \\cdot 3 - 17 = 15 - 17 = -2\\]

\n

Otrzymujemy \\(f(3) = -2\\), co zgadza si臋 z rz臋dn膮 punktu \\(M\\). Wynik potwierdzony.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie u偶ywamy konkretnych wzor贸w z karty CKE - wystarczy definicja przynale偶no艣ci punktu do wykresu funkcji oraz podstawowe dzia艂ania arytmetyczne.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne

\n

| Odp. | B艂膮d |
| A. \\(-17\\) | Ucze艅 oblicza \\(f(3) = 5 \\cdot 3 - 4 = 11\\), po czym myli kierunek i ustawia \\(b = -2 - 15 = -17\\), zapominaj膮c odejmowa膰 sta艂膮 \\(-4\\) poprawnie |
| C. \\(13\\) | Ucze艅 dostaje \\(b = -13\\), ale gubi znak minusa - b艂膮d przy przenoszeniu na drug膮 stron臋 r贸wnania |
| D. \\(17\\) | Podw贸jny b艂膮d: zgubienie sta艂ej \\(-4\\) oraz zgubienie znaku minusa, co daje \\(b = 2 - (-15) = 17\\) |

\n

Typowe pu艂apki i uwagi

\n
鈿狅笍 Uwaga: Punkt \\((x, y)\\) nale偶y do wykresu, gdy \\(f(x) = y\\) - czyli podstawiamy oba: \\(x = 3\\) i \\(f(3) = -2\\). Cz臋sty b艂膮d to wstawienie tylko \\(x\\), a zapomnienie o przyr贸wnaniu do \\(y\\).
\n
鈿狅笍 Uwaga: We wzorze \\(f(x) = 5x + b - 4\\) sta艂a wyrazowa to \\(b - 4\\), nie samo \\(b\\). Uczniowie cz臋sto wyznaczaj膮 \\(b\\) tak, jakby wz贸r wygl膮da艂 \\(5x + b\\), co daje wynik o \\(4\\) za du偶y lub za ma艂y.
\n
鈿狅笍 Uwaga: Przenosz膮c \\(11\\) na praw膮 stron臋 (\\(11 + b = -2\\)), pami臋taj, 偶e \\(b = -2 - 11 = -13\\), nie \\(b = -2 + 11 = 9\\). B艂膮d znaku przy przenoszeniu to klasyczna pu艂apka.
\n

Poprawna odpowied藕: B

\n
Spos贸b 1 - podstawienie punktu
\n

Punkt \\((3,-2)\\) nale偶y do wykresu, wi臋c \\(f(3) = -2\\):
\\[5\\cdot 3 + b - 4 = -2\\]
\\[15 + b - 4 = -2\\]
\\[11 + b = -2\\]
\\[b = -13.\\]

\n
Spos贸b 2 - przekszta艂cenie wzoru
\n

Oznaczmy \\(c = b - 4\\) (wyraz wolny). Z \\(f(3) = 15 + c = -2\\) mamy \\(c = -17\\), czyli \\(b - 4 = -17\\), sk膮d \\(b = -13\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne
\n\n

Trik: podstaw \\(x\\) i \\(y\\) z punktu do wzoru i rozwi膮偶 r贸wnanie ze zmienn膮 \\(b\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Znamy wz贸r funkcji liniowej: $$f(x) = 5x + b - 4$$.\\
\n
  1. Wiemy, 偶e punkt $M = (3, -2)$ nale偶y do wykresu tej funkcji. Oznacza to, 偶e dla $x = 3$ warto艣膰 funkcji $f(3)$ powinna by膰 r贸wna $-2$.\\
\n
  1. Zapisujemy r贸wnanie z wykorzystaniem wzoru funkcji: $$f(3) = 5 \\cdot 3 + b - 4$$.\\
\n
  1. Obliczamy warto艣膰 $f(3)$: $$f(3) = 15 + b - 4$$.\\
\n
  1. Uproszczamy r贸wnanie: $$f(3) = 15 - 4 + b = 11 + b$$.\\
\n
  1. Skoro $f(3) = -2$, to zapisujemy r贸wnanie: $$11 + b = -2$$.\\
\n
  1. Rozwi膮zujemy r贸wnanie dla $b$: $$b = -2 - 11$$.\\
\n
  1. Uproszczamy wynik: $$b = -13$$.\\
\n
  1. Sprawdzamy dost臋pne opcje odpowiedzi, aby wybra膰 w艂a艣ciw膮: \\
\n\n

\\
Prawid艂owa odpowied藕 to opcja B.\\

\n

Odpowied藕: $-13$

"}]}