{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = -2(𝑥-1)2 + 3 jest rosnąca\nw przedziale\nA. (-∞, 1⟩\nB. ⟨-2, +∞)\nC. (-∞, 3⟩\nD. ⟨1, +∞)\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nFunkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=-2(x-1)^2+3 jest rosnąca w przedziale A. (-∞,1> B. <-2,+∞) C. (-∞,3> D. <1,+∞)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.10) interpretuje współczynniki\nwystępujące we wzorze funkcji\nkwadratowej […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\((-\\infty, 1\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej\n\nFunkcja jest dana w **postaci kanonicznej**:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\nPorównując z \\(f(x) = -2(x-1)^2 + 3\\), odczytujemy od razu:\n- \\(a = -2 < 0\\) - parabola skierowana **ramionami w dół**\n- \\(p = 1\\) - wierzchołek w \\(x = 1\\)\n- \\(q = 3\\) - wierzchołek w \\(y = 3\\), czyli \\(W = (1, 3)\\)\n\nDla funkcji kwadratowej z \\(a < 0\\):\n- funkcja **rośnie** na \\((-\\infty, p\\rangle\\) - po lewej stronie wierzchołka\n- funkcja **maleje** na \\(\\langle p, +\\infty)\\) - po prawej stronie wierzchołka\n\nZatem \\(f\\) jest rosnąca w przedziale:\n\\[\\boxed{(-\\infty, 1\\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Pochodna funkcji\n\nObliczamy pochodną, by sprawdzić znak:\n\\[f(x) = -2(x-1)^2 + 3 = -2x^2 + 4x + 1\\]\n\\[f'(x) = -4x + 4 = -4(x - 1)\\]\n\nFunkcja rośnie tam, gdzie \\(f'(x) > 0\\):\n\\[-4(x-1) > 0\\]\n\\[x - 1 < 0 \\quad \\text{(dzielimy przez } {-4}\\text{, odwracamy nierówność!)}\\]\n\\[x < 1\\]\n\nUwzględniając punkt wierzchołkowy \\(x = 1\\) (gdzie \\(f'(1) = 0\\), ale funkcja jeszcze nie maleje):\n\nFunkcja rośnie na \\((-\\infty, 1\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p, q), \\quad p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nNa egzaminie karta mówi wprost, że wierzchołek to \\((p, q)\\) - wystarczy porównać wzory i odczytać \\(p = 1\\).\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - użyte w Sposobie 2:\n\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}, \\quad [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń myli wartość \\(a = -2\\) z granicą przedziału i pisze \\(\\langle -2, +\\infty)\\) |\n| C | Uczeń wstawia \\(q = 3\\) (wartość wierzchołka) zamiast \\(p = 1\\) (argument wierzchołka) |\n| D | Uczeń pomija, że \\(a < 0\\), i zakłada że parabola rośnie po **prawej** stronie wierzchołka jak przy \\(a > 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a < 0\\), parabola jest \"odwrócona\" - rośnie PO LEWEJ, maleje PO PRAWEJ. Przy \\(a > 0\\) jest odwrotnie. Sprawdź znak \\(a\\) zanim odpiszesz przedział!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\(p\\) (argument wierzchołka, tutaj \\(p = 1\\)) z \\(q\\) (wartość wierzchołka, tutaj \\(q = 3\\)). Przedział monotoniczności zależy od \\(p\\), nie od \\(q\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział wzrostu to \\((-\\infty, 1\\rangle\\) z nawiasem domkniętym przy 1 - wierzchołek należy do obu przedziałów monotoniczności.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - postać kanoniczna\nDla \\(f(x) = a(x-p)^{2} + q\\) wierzchołek to \\((p, q)\\).\nTu \\(a = -2 < 0\\) (ramiona w dół), wierzchołek: \\((1, 3)\\).\nParabola \"z ramionami w dół\" jest rosnąca na lewo od wierzchołka: \\((-\\infty, 1\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - analiza zachowania\nWyobraź sobie parabolę skierowaną ramionami w dół, przechodzącą przez maksimum w \\(x = 1\\). Idąc od minus nieskończoności do \\(x = 1\\), funkcja rośnie; potem maleje.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** \\(-2\\) bez uzasadnienia.\n- **C.** \\(3\\) to wartość maksymalna, nie argument.\n- **D.** to przedział MALENIA dla paraboli z ramionami w dół.\n\n**Trik:** współczynnik \\(a\\) ujemny + postać kanoniczna - monotoniczność \"odwraca się\" w wierzchołku.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Funkcja kwadratowa 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = -2(𝑥-1)2 + 3 jest rosnąca<br>w przedziale<br>A. (-∞, 1⟩<br>B. ⟨-2, +∞)<br>C. (-∞, 3⟩<br>D. ⟨1, +∞)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=-2(x-1)^2+3 jest rosnąca w przedziale A. (-∞,1&gt; B. &lt;-2,+∞) C. (-∞,3&gt; D. &lt;1,+∞)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>4.10) interpretuje współczynniki<br>występujące we wzorze funkcji<br>kwadratowej […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\((-\\infty, 1\\rangle\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej</h4>\n<p>Funkcja jest dana w <strong>postaci kanonicznej</strong>:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]</p>\n<p>Porównując z \\(f(x) = -2(x-1)^2 + 3\\), odczytujemy od razu:</p>\n<ul><li>\\(a = -2 &lt; 0\\) - parabola skierowana <strong>ramionami w dół</strong></li><li>\\(p = 1\\) - wierzchołek w \\(x = 1\\)</li><li>\\(q = 3\\) - wierzchołek w \\(y = 3\\), czyli \\(W = (1, 3)\\)</li></ul>\n<p>Dla funkcji kwadratowej z \\(a &lt; 0\\):</p>\n<ul><li>funkcja <strong>rośnie</strong> na \\((-\\infty, p\\rangle\\) - po lewej stronie wierzchołka</li><li>funkcja <strong>maleje</strong> na \\(\\langle p, +\\infty)\\) - po prawej stronie wierzchołka</li></ul>\n<p>Zatem \\(f\\) jest rosnąca w przedziale:<br>\\[\\boxed{(-\\infty, 1\\rangle}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Pochodna funkcji</h4>\n<p>Obliczamy pochodną, by sprawdzić znak:<br>\\[f(x) = -2(x-1)^2 + 3 = -2x^2 + 4x + 1\\]<br>\\[f&#x27;(x) = -4x + 4 = -4(x - 1)\\]</p>\n<p>Funkcja rośnie tam, gdzie \\(f&#x27;(x) &gt; 0\\):<br>\\[-4(x-1) &gt; 0\\]<br>\\[x - 1 &lt; 0 \\quad \\text{(dzielimy przez } {-4}\\text{, odwracamy nierówność!)}\\]<br>\\[x &lt; 1\\]</p>\n<p>Uwzględniając punkt wierzchołkowy \\(x = 1\\) (gdzie \\(f&#x27;(1) = 0\\), ale funkcja jeszcze nie maleje):</p>\n<p>Funkcja rośnie na \\((-\\infty, 1\\rangle\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:<br>\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p, q), \\quad p = -\\frac{b}{2a}\\]</p>\n<p>Na egzaminie karta mówi wprost, że wierzchołek to \\((p, q)\\) - wystarczy porównać wzory i odczytać \\(p = 1\\).</p>\n<p><strong>Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)</strong> - użyte w Sposobie 2:<br>\\[(x^r)&#x27; = r \\cdot x^{r-1}, \\quad [f(x) + g(x)]&#x27; = f&#x27;(x) + g&#x27;(x)\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | Uczeń myli wartość \\(a = -2\\) z granicą przedziału i pisze \\(\\langle -2, +\\infty)\\) |<br>| C | Uczeń wstawia \\(q = 3\\) (wartość wierzchołka) zamiast \\(p = 1\\) (argument wierzchołka) |<br>| D | Uczeń pomija, że \\(a &lt; 0\\), i zakłada że parabola rośnie po <strong>prawej</strong> stronie wierzchołka jak przy \\(a &gt; 0\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy \\(a &lt; 0\\), parabola jest &quot;odwrócona&quot; - rośnie PO LEWEJ, maleje PO PRAWEJ. Przy \\(a &gt; 0\\) jest odwrotnie. Sprawdź znak \\(a\\) zanim odpiszesz przedział!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl \\(p\\) (argument wierzchołka, tutaj \\(p = 1\\)) z \\(q\\) (wartość wierzchołka, tutaj \\(q = 3\\)). Przedział monotoniczności zależy od \\(p\\), nie od \\(q\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przedział wzrostu to \\((-\\infty, 1\\rangle\\) z nawiasem domkniętym przy 1 - wierzchołek należy do obu przedziałów monotoniczności.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (karta wzorów) - postać kanoniczna</h5>\n<p>Dla \\(f(x) = a(x-p)^{2} + q\\) wierzchołek to \\((p, q)\\).<br>Tu \\(a = -2 &lt; 0\\) (ramiona w dół), wierzchołek: \\((1, 3)\\).<br>Parabola &quot;z ramionami w dół&quot; jest rosnąca na lewo od wierzchołka: \\((-\\infty, 1\\rangle\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - analiza zachowania</h5>\n<p>Wyobraź sobie parabolę skierowaną ramionami w dół, przechodzącą przez maksimum w \\(x = 1\\). Idąc od minus nieskończoności do \\(x = 1\\), funkcja rośnie; potem maleje.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B.</strong> \\(-2\\) bez uzasadnienia.</li><li><strong>C.</strong> \\(3\\) to wartość maksymalna, nie argument.</li><li><strong>D.</strong> to przedział MALENIA dla paraboli z ramionami w dół.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> współczynnik \\(a\\) ujemny + postać kanoniczna - monotoniczność &quot;odwraca się&quot; w wierzchołku.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, wykres funkcji kwadratowej $f(x) = -2(x - 1)^2 + 3$ jest parabolą, której ramiona są skierowane w dół, a jej wierzchołek znajduje się w punkcie $(1, 3)$.Zatem funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $(-\\infty, 1\\rangle$.</p>"}]}