{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nNa rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥).\nW przedziale (-4, 6) równanie 𝑓(𝑥) = -1\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania.\nD. ma dokładnie trzy rozwiązania.\nNa rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji y=f(x). [rysunek] W przedziale (-4,6) równanie f(x)=-1 A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma dokładnie trzy rozwiązania.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG8.3) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nargumenty dla danej wartości funkcji […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nRównanie \\(f(x) = -1\\) ma **dokładnie dwa rozwiązania** w przedziale \\((-4, 6)\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu (metoda poziomej prostej)\n\nSzukamy rozwiązań równania \\(f(x) = -1\\), czyli punktów, w których wykres funkcji \\(y = f(x)\\) przecina poziomą prostą \\(y = -1\\).\n\n**Krok 1: Narysuj (wyobraź sobie) poziomą prostą \\(y = -1\\).**\n\nTo linia biegnąca poziomo na wysokości \\(y = -1\\), poniżej osi \\(OX\\).\n\n**Krok 2: Prześlej przebieg wykresu w przedziale \\((-4, 6)\\).**\n\nNa podstawie wykresu:\n- Dla \\(x\\) bliskiego \\(-4\\): \\(f(x) \\approx 3{-}4\\) - wartość **dodatnia**, daleko powyżej \\(-1\\)\n- Funkcja rośnie do **lokalnego maksimum** \\(\\approx 5\\) w okolicach \\(x = 0\\)\n- Następnie maleje, przekraczając poziom \\(y = -1\\) w dół - **pierwsze przecięcie** (gdzieś ok. \\(x = 3{-}4\\))\n- Funkcja schodzi poniżej \\(-1\\), osiąga minimum\n- Potem rośnie z powrotem, przekraczając \\(y = -1\\) w górę - **drugie przecięcie** (gdzieś ok. \\(x = 5\\))\n- Dalej rośnie ku \\(x = 6\\), będąc już powyżej \\(-1\\)\n\n**Krok 3: Policz przecięcia.**\n\nProsta \\(y = -1\\) przecina wykres dokładnie **2 razy** w przedziale otwartym \\((-4, 6)\\).\n\n\\[\\Rightarrow \\text{Równanie } f(x) = -1 \\text{ ma } \\mathbf{2} \\text{ rozwiązania.}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę monotoniczności\n\nSprawdzamy, czy przebiegi funkcji są zgodne z liczbą przecięć.\n\n**Obserwacja z wykresu:**\n\n| Przedział | Zachowanie \\(f\\) | Czy \\(f\\) osiąga \\(-1\\)? |\n| \\((-4,\\ \\sim 0)\\) | rośnie od \\(\\approx 3\\) do max \\(\\approx 5\\) | NIE - cały czas \\(f > -1\\) |\n| \\((\\sim 0,\\ \\sim x_{\\min})\\) | maleje od \\(5\\) do minimum \\(< -1\\) | **TAK** - jedno przecięcie ↓ |\n| \\((\\sim x_{\\min},\\ 6)\\) | rośnie z minimum \\(< -1\\) ku wartościom \\(> -1\\) | **TAK** - jedno przecięcie ↑ |\n\nŁącznie: funkcja przebija poziom \\(y = -1\\) **raz w dół** i **raz w górę** - dwa rozwiązania. Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy odczyt z wykresu i rozumienie, że rozwiązania \\(f(x) = c\\) to miejsca przecięcia wykresu z poziomą prostą \\(y = c\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** | Uczeń patrzy tylko na część wykresu (np. lewy fragment, gdzie \\(f > 0\\)) i nie dostrzega, że funkcja schodzi poniżej \\(-1\\) po prawej stronie |\n| **B** | Uczeń liczy tylko jedno z dwóch przecięć - np. tylko to, gdy funkcja opada przez \\(-1\\), i zapomina o powrocie (wzroście z powrotem przez \\(-1\\)) |\n| **D** | Uczeń błędnie odczytuje wykres i myśli, że funkcja jeszcze raz przecina \\(y = -1\\) na lewym ramieniu wykresu - ale tam \\(f(x) \\geq 3 > -1\\), więc nie ma tam przecięcia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy punkt przecięcia leży **wewnątrz** podanego przedziału - tu przedział jest **otwarty** \\((-4, 6)\\), czyli końce \\(x = -4\\) i \\(x = 6\\) nie wchodzą w grę. Jeśli wykres akurat dotykałby \\(y = -1\\) na końcu przedziału, to tego punktu **nie liczymy**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta \\(y = -1\\) to linia **poniżej osi \\(OX\\)**. Uczniowie często mylnie rysują ją na poziomie \\(y = 1\\) (powyżej osi), co daje zupełnie inny wynik odczytu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy funkcja **dotyka** prostej \\(y = -1\\) (styczna - minimum), to liczymy to jako **jedno** rozwiązanie (a nie dwa). Sprawdzaj, czy wykres przebija poziomą prostą, czy tylko jej dotyka.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - odczyt z wykresu\nProsta pozioma \\(y = -1\\) przecina wykres \\(y = f(x)\\) w dwóch punktach wewnątrz przedziału \\((-4, 6)\\): raz na lewej \"dolinie\" wykresu (okolice \\(x\\approx -4\\), ale wewnątrz), raz na prostej opadającej (okolice \\(x \\approx 5\\)).\n\n### Sposób 2 - metoda pozioma\nAby znaleźć liczbę rozwiązań \\(f(x) = c\\), rysujemy prostą \\(y = c\\) i liczymy punkty przecięcia z wykresem. Tutaj: 2 przecięcia.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** prosta \\(y = -1\\) wyraźnie przecina wykres.\n- **B.** byłoby tak, gdyby wykres miał jedno minimum powyżej \\(-1\\), a tu jest niżej.\n- **D.** w przedziale otwartym nie ma trzeciego przecięcia.\n\n**Trik:** w przedziale OTWARTYM (np. \\((-4, 6)\\)) punkty na końcach NIE są liczone.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥).<br>W przedziale (-4, 6) równanie 𝑓(𝑥) = -1<br>A. nie ma rozwiązań.<br>B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.<br>C. ma dokładnie dwa rozwiązania.<br>D. ma dokładnie trzy rozwiązania.<br>Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji y=f(x). [rysunek] W przedziale (-4,6) równanie f(x)=-1 A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma dokładnie trzy rozwiązania.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.<br>Zdający:<br>G8.3) odczytuje z wykresu funkcji: […]<br>argumenty dla danej wartości funkcji […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Równanie \\(f(x) = -1\\) ma <strong>dokładnie dwa rozwiązania</strong> w przedziale \\((-4, 6)\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z wykresu (metoda poziomej prostej)</h4>\n<p>Szukamy rozwiązań równania \\(f(x) = -1\\), czyli punktów, w których wykres funkcji \\(y = f(x)\\) przecina poziomą prostą \\(y = -1\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Narysuj (wyobraź sobie) poziomą prostą \\(y = -1\\).</strong></p>\n<p>To linia biegnąca poziomo na wysokości \\(y = -1\\), poniżej osi \\(OX\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Prześlej przebieg wykresu w przedziale \\((-4, 6)\\).</strong></p>\n<p>Na podstawie wykresu:</p>\n<ul><li>Dla \\(x\\) bliskiego \\(-4\\): \\(f(x) \\approx 3{-}4\\) - wartość <strong>dodatnia</strong>, daleko powyżej \\(-1\\)</li><li>Funkcja rośnie do <strong>lokalnego maksimum</strong> \\(\\approx 5\\) w okolicach \\(x = 0\\)</li><li>Następnie maleje, przekraczając poziom \\(y = -1\\) w dół - <strong>pierwsze przecięcie</strong> (gdzieś ok. \\(x = 3{-}4\\))</li><li>Funkcja schodzi poniżej \\(-1\\), osiąga minimum</li><li>Potem rośnie z powrotem, przekraczając \\(y = -1\\) w górę - <strong>drugie przecięcie</strong> (gdzieś ok. \\(x = 5\\))</li><li>Dalej rośnie ku \\(x = 6\\), będąc już powyżej \\(-1\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 3: Policz przecięcia.</strong></p>\n<p>Prosta \\(y = -1\\) przecina wykres dokładnie <strong>2 razy</strong> w przedziale otwartym \\((-4, 6)\\).</p>\n<p>\\[\\Rightarrow \\text{Równanie } f(x) = -1 \\text{ ma } \\mathbf{2} \\text{ rozwiązania.}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę monotoniczności</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy przebiegi funkcji są zgodne z liczbą przecięć.</p>\n<p><strong>Obserwacja z wykresu:</strong></p>\n<p>| Przedział | Zachowanie \\(f\\) | Czy \\(f\\) osiąga \\(-1\\)? |<br>| \\((-4,\\ \\sim 0)\\) | rośnie od \\(\\approx 3\\) do max \\(\\approx 5\\) | NIE - cały czas \\(f &gt; -1\\) |<br>| \\((\\sim 0,\\ \\sim x_{\\min})\\) | maleje od \\(5\\) do minimum \\(&lt; -1\\) | <strong>TAK</strong> - jedno przecięcie ↓ |<br>| \\((\\sim x_{\\min},\\ 6)\\) | rośnie z minimum \\(&lt; -1\\) ku wartościom \\(&gt; -1\\) | <strong>TAK</strong> - jedno przecięcie ↑ |</p>\n<p>Łącznie: funkcja przebija poziom \\(y = -1\\) <strong>raz w dół</strong> i <strong>raz w górę</strong> - dwa rozwiązania. Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy odczyt z wykresu i rozumienie, że rozwiązania \\(f(x) = c\\) to miejsca przecięcia wykresu z poziomą prostą \\(y = c\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> | Uczeń patrzy tylko na część wykresu (np. lewy fragment, gdzie \\(f &gt; 0\\)) i nie dostrzega, że funkcja schodzi poniżej \\(-1\\) po prawej stronie |<br>| <strong>B</strong> | Uczeń liczy tylko jedno z dwóch przecięć - np. tylko to, gdy funkcja opada przez \\(-1\\), i zapomina o powrocie (wzroście z powrotem przez \\(-1\\)) |<br>| <strong>D</strong> | Uczeń błędnie odczytuje wykres i myśli, że funkcja jeszcze raz przecina \\(y = -1\\) na lewym ramieniu wykresu - ale tam \\(f(x) \\geq 3 &gt; -1\\), więc nie ma tam przecięcia |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdzaj, czy punkt przecięcia leży <strong>wewnątrz</strong> podanego przedziału - tu przedział jest <strong>otwarty</strong> \\((-4, 6)\\), czyli końce \\(x = -4\\) i \\(x = 6\\) nie wchodzą w grę. Jeśli wykres akurat dotykałby \\(y = -1\\) na końcu przedziału, to tego punktu <strong>nie liczymy</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prosta \\(y = -1\\) to linia <strong>poniżej osi \\(OX\\)</strong>. Uczniowie często mylnie rysują ją na poziomie \\(y = 1\\) (powyżej osi), co daje zupełnie inny wynik odczytu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy funkcja <strong>dotyka</strong> prostej \\(y = -1\\) (styczna - minimum), to liczymy to jako <strong>jedno</strong> rozwiązanie (a nie dwa). Sprawdzaj, czy wykres przebija poziomą prostą, czy tylko jej dotyka.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - odczyt z wykresu</h5>\n<p>Prosta pozioma \\(y = -1\\) przecina wykres \\(y = f(x)\\) w dwóch punktach wewnątrz przedziału \\((-4, 6)\\): raz na lewej &quot;dolinie&quot; wykresu (okolice \\(x\\approx -4\\), ale wewnątrz), raz na prostej opadającej (okolice \\(x \\approx 5\\)).</p>\n<h5>Sposób 2 - metoda pozioma</h5>\n<p>Aby znaleźć liczbę rozwiązań \\(f(x) = c\\), rysujemy prostą \\(y = c\\) i liczymy punkty przecięcia z wykresem. Tutaj: 2 przecięcia.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> prosta \\(y = -1\\) wyraźnie przecina wykres.</li><li><strong>B.</strong> byłoby tak, gdyby wykres miał jedno minimum powyżej \\(-1\\), a tu jest niżej.</li><li><strong>D.</strong> w przedziale otwartym nie ma trzeciego przecięcia.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w przedziale OTWARTYM (np. \\((-4, 6)\\)) punkty na końcach NIE są liczone.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, narysuj prostą $f(x)=-1$ wówczas zauważysz, że ma ona dwa punkty wspólne z wykresem funkcji $y=f(x)$.</p>"}]}