{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 𝑛-2\n2𝑛2 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Piąty\nwyraz tego ciągu jest równy\nA. (-1\n10)\nB.\n3\n50\nC.\n3\n100\nD. (-1\n5)\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = n-2/2n^2 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Piąty wyraz tego ciągu jest równy A. (-1/10) B. 3/50 C. 3/100 D. (-1/5)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{3}{50}\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie \\(n = 5\\) do wzoru ogólnego\n\nMamy wzór ogólny ciągu:\n\\[a_n = \\frac{n-2}{2n^2}\\]\n\nSzukamy piątego wyrazu, czyli podstawiamy \\(n = 5\\):\n\n\\[a_5 = \\frac{5 - 2}{2 \\cdot 5^2}\\]\n\nLiczymy licznik i mianownik osobno:\n\\[a_5 = \\frac{3}{2 \\cdot 25} = \\frac{3}{50}\\]\n\n**Wynik: \\(a_5 = \\dfrac{3}{50}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez uproszczenie ułamka\n\nSprawdzamy, czy \\(\\dfrac{3}{50}\\) można zapisać inaczej (by wykluczyć, że odpowiedzi B i C to to samo):\n\n\\[\\frac{3}{50} = \\frac{3}{50}\\]\n\nOdpowiedź C to \\(\\dfrac{3}{100}\\), czyli dokładnie **połowa** naszego wyniku - różne wartości, więc żadnego skrótu nie przegapiliśmy.\n\nMożemy też zweryfikować podstawienie krok po kroku:\n- \\(n = 5\\), więc \\(n - 2 = 3\\) ✓\n- \\(n^2 = 25\\), więc \\(2n^2 = 50\\) ✓\n- \\(\\dfrac{3}{50}\\) - ułamek jest już nieskracalny (3 i 50 nie mają wspólnych dzielników) ✓\n\n**Wynik potwierdzony: \\(a_5 = \\dfrac{3}{50}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości \\(n = 5\\) do podanego wzoru ogólnego i wykonanie prostych działań arytmetycznych na ułamkach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(-\\dfrac{1}{10}\\) | Policzono \\(a_2 = \\dfrac{2-2}{2 \\cdot 4} = 0\\)… nie, tu mógł pojawić się błąd znaku - uczeń zapomniał, że dla \\(n=5\\) licznik \\(5-2 = 3 > 0\\). Ewentualnie podstawiono \\(n=1\\): \\(\\dfrac{1-2}{2 \\cdot 1} = \\dfrac{-1}{2}\\), a potem zgubiono potęgę i podzielono tylko przez \\(2n\\) zamiast \\(2n^2\\), co dla \\(n=5\\) daje \\(\\dfrac{3}{10}\\), a ze złym znakiem \\(-\\dfrac{3}{10}\\); albo policzono \\(\\dfrac{1}{2 \\cdot 5} = \\dfrac{1}{10}\\) z błędem znaku |\n| C: \\(\\dfrac{3}{100}\\) | Policzono \\(2n^2 = 2 \\cdot (2 \\cdot 5)^2 = 2 \\cdot 100 = 200\\)… lub popełniono błąd \\(2n^2 = (2n)^2 = 100\\) - czyli wzięto \\((2 \\cdot 5)^2 = 100\\) zamiast \\(2 \\cdot 5^2 = 50\\) |\n| D: \\(-\\dfrac{1}{5}\\) | Podstawiono \\(n = 5\\), ale obliczono licznik jako \\(n - 2 = -1\\) (błąd odejmowania: \\(5 - 2 = -1\\)?) lub pominięto potęgę: \\(\\dfrac{3}{2 \\cdot 5} = \\dfrac{3}{10}\\), a następnie zgubiono trójkę i wzięto \\(\\dfrac{-1}{5}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie \\(2n^2\\) z \\((2n)^2\\). Mianownik to \\(2 \\cdot n^2\\), a **nie** \\((2n)^2\\)! Dla \\(n = 5\\): \\(2 \\cdot 25 = 50\\), a nie \\(100\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź znak! Dla \\(n \\geq 3\\) licznik \\(n - 2 > 0\\), więc wyraz jest **dodatni**. Odpowiedzi A i D (ujemne) od razu powinny wzbudzić podejrzenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \"piątego wyrazu\" z \"wyrazem o indeksie 4\". Piąty wyraz to \\(a_5\\) - podstawiamy \\(n = 5\\), nie \\(n = 4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - podstawienie \\(n = 5\\)\n\\[a_{5} = \\dfrac{5-2}{2\\cdot 5^{2}} = \\dfrac{3}{2\\cdot 25} = \\dfrac{3}{50}.\\]\n\n### Sposób 2 - krok po kroku\nLicznik: \\(n-2 = 5-2 = 3\\).\nMianownik: \\(2n^{2} = 2\\cdot 25 = 50\\).\nStąd \\(a_{5} = \\dfrac{3}{50}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{1}{10}\\)** - podstawiono \\(n = 1\\) zamiast \\(5\\).\n- **C. \\(\\tfrac{3}{100}\\)** - mianownik \\(2n^{2}\\) pomylono z \\((2n)^{2} = 4n^{2}\\).\n- **D. \\(-\\tfrac{1}{5}\\)** - podstawiono \\(n = 0\\) lub zły znak.\n\n**Trik:** uważnie rozróżniaj \\(2n^{2}\\) od \\((2n)^{2}\\); nawias zmienia wynik.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 𝑛-2
2𝑛2 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Piąty
wyraz tego ciągu jest równy
A. (-1
10)
B.
3
50
C.
3
100
D. (-1
5)
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = n-2/2n^2 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Piąty wyraz tego ciągu jest równy A. (-1/10) B. 3/50 C. 3/100 D. (-1/5)

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego
wzorem ogólnym.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{3}{50}\\)

\n

Sposób 1 - Podstawienie \\(n = 5\\) do wzoru ogólnego

\n

Mamy wzór ogólny ciągu:
\\[a_n = \\frac{n-2}{2n^2}\\]

\n

Szukamy piątego wyrazu, czyli podstawiamy \\(n = 5\\):

\n

\\[a_5 = \\frac{5 - 2}{2 \\cdot 5^2}\\]

\n

Liczymy licznik i mianownik osobno:
\\[a_5 = \\frac{3}{2 \\cdot 25} = \\frac{3}{50}\\]

\n

Wynik: \\(a_5 = \\dfrac{3}{50}\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez uproszczenie ułamka

\n

Sprawdzamy, czy \\(\\dfrac{3}{50}\\) można zapisać inaczej (by wykluczyć, że odpowiedzi B i C to to samo):

\n

\\[\\frac{3}{50} = \\frac{3}{50}\\]

\n

Odpowiedź C to \\(\\dfrac{3}{100}\\), czyli dokładnie połowa naszego wyniku - różne wartości, więc żadnego skrótu nie przegapiliśmy.

\n

Możemy też zweryfikować podstawienie krok po kroku:

\n\n

Wynik potwierdzony: \\(a_5 = \\dfrac{3}{50}\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości \\(n = 5\\) do podanego wzoru ogólnego i wykonanie prostych działań arytmetycznych na ułamkach.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A: \\(-\\dfrac{1}{10}\\) | Policzono \\(a_2 = \\dfrac{2-2}{2 \\cdot 4} = 0\\)… nie, tu mógł pojawić się błąd znaku - uczeń zapomniał, że dla \\(n=5\\) licznik \\(5-2 = 3 > 0\\). Ewentualnie podstawiono \\(n=1\\): \\(\\dfrac{1-2}{2 \\cdot 1} = \\dfrac{-1}{2}\\), a potem zgubiono potęgę i podzielono tylko przez \\(2n\\) zamiast \\(2n^2\\), co dla \\(n=5\\) daje \\(\\dfrac{3}{10}\\), a ze złym znakiem \\(-\\dfrac{3}{10}\\); albo policzono \\(\\dfrac{1}{2 \\cdot 5} = \\dfrac{1}{10}\\) z błędem znaku |
| C: \\(\\dfrac{3}{100}\\) | Policzono \\(2n^2 = 2 \\cdot (2 \\cdot 5)^2 = 2 \\cdot 100 = 200\\)… lub popełniono błąd \\(2n^2 = (2n)^2 = 100\\) - czyli wzięto \\((2 \\cdot 5)^2 = 100\\) zamiast \\(2 \\cdot 5^2 = 50\\) |
| D: \\(-\\dfrac{1}{5}\\) | Podstawiono \\(n = 5\\), ale obliczono licznik jako \\(n - 2 = -1\\) (błąd odejmowania: \\(5 - 2 = -1\\)?) lub pominięto potęgę: \\(\\dfrac{3}{2 \\cdot 5} = \\dfrac{3}{10}\\), a następnie zgubiono trójkę i wzięto \\(\\dfrac{-1}{5}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pomylenie \\(2n^2\\) z \\((2n)^2\\). Mianownik to \\(2 \\cdot n^2\\), a nie \\((2n)^2\\)! Dla \\(n = 5\\): \\(2 \\cdot 25 = 50\\), a nie \\(100\\).
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź znak! Dla \\(n \\geq 3\\) licznik \\(n - 2 > 0\\), więc wyraz jest dodatni. Odpowiedzi A i D (ujemne) od razu powinny wzbudzić podejrzenie.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić "piątego wyrazu" z "wyrazem o indeksie 4". Piąty wyraz to \\(a_5\\) - podstawiamy \\(n = 5\\), nie \\(n = 4\\).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - podstawienie \\(n = 5\\)
\n

\\[a_{5} = \\dfrac{5-2}{2\\cdot 5^{2}} = \\dfrac{3}{2\\cdot 25} = \\dfrac{3}{50}.\\]

\n
Sposób 2 - krok po kroku
\n

Licznik: \\(n-2 = 5-2 = 3\\).
Mianownik: \\(2n^{2} = 2\\cdot 25 = 50\\).
Stąd \\(a_{5} = \\dfrac{3}{50}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: uważnie rozróżniaj \\(2n^{2}\\) od \\((2n)^{2}\\); nawias zmienia wynik.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zacznijmy od zapisu wzoru na ciąg, który mamy obliczyć:
\n

$$ a_n = \\frac{n - 2}{2n^2} $$

\n
  1. Ponieważ szukamy piątego wyrazu ciągu, podstawiamy $n = 5$:
\n

$$ a_5 = \\frac{5 - 2}{2 \\cdot 5^2} $$

\n
  1. Obliczamy wartość w liczniku:
\n

$$ 5 - 2 = 3 $$
więc
$$ a_5 = \\frac{3}{2 \\cdot 5^2} $$

\n
  1. Teraz obliczamy wartość $5^2$:
\n

$$ 5^2 = 25 $$
co daje nam:
$$ a_5 = \\frac{3}{2 \\cdot 25} $$

\n
  1. Mnożymy licznik przez 2:
\n

$$ 2 \\cdot 25 = 50 $$
dlatego możemy zapisać:
$$ a_5 = \\frac{3}{50} $$

\n
  1. Na końcu, rozważamy nasze opcje odpowiedzi. Ostatecznie uzyskujemy:
\n

$$ a_5 = \\frac{3}{50} $$
co odpowiada opcji B.

\n

Odpowiedź: $\\frac{3}{50}$

"}]}