{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny. Różnica tego\nciągu jest równa 2 oraz 𝑎8 = 48. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy\nA. 2\nB. 24\nC. 3\nD. 40\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n1 2 3 4\n7\n6\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n5\n0\n𝑥\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n𝑦\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nCiąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa 2 oraz a_8=48. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy A. 2 B. 24 C. 3 D. 40","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(a_4 = 40\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a_1\\) ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz\n\nKorzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nZnamy: różnicę \\(r = 2\\) oraz \\(a_8 = 48\\). Podstawiamy:\n\\[a_8 = a_1 + (8-1) \\cdot 2 = a_1 + 14 = 48\\]\n\nStąd:\n\\[a_1 = 48 - 14 = 34\\]\n\nTeraz liczymy \\(a_4\\):\n\\[a_4 = a_1 + (4-1) \\cdot r = 34 + 3 \\cdot 2 = 34 + 6 = \\mathbf{40}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(a_4 = 40\\), czyli D.**\n\n## Sposób 2 - Cofanie się od \\(a_8\\)\n\nSkoro różnica ciągu wynosi \\(r = 2\\), to każdy wyraz jest o \\(2\\) większy od poprzedniego. Można więc cofać się od \\(a_8\\):\n\n\\[a_7 = a_8 - r = 48 - 2 = 46\\]\n\\[a_6 = 46 - 2 = 44\\]\n\\[a_5 = 44 - 2 = 42\\]\n\\[a_4 = 42 - 2 = \\mathbf{40}\\]\n\nZgadza się z Wynikiem 1.\n\nMożna też skorzystać ze wzoru bezpośrednio \"od tyłu\": od wyrazu \\(a_8\\) do \\(a_4\\) jest \\(8 - 4 = 4\\) kroków wstecz:\n\\[a_4 = a_8 - 4 \\cdot r = 48 - 4 \\cdot 2 = 48 - 8 = \\mathbf{40}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_1\\) z \\(a_8\\), a następnie do obliczenia \\(a_4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(2\\)) | Uczeń podał samą różnicę ciągu \\(r = 2\\), nie obliczając wyrazu |\n| B (\\(24\\)) | Uczeń podzielił \\(a_8 = 48\\) przez \\(2\\) (dzielenie przez różnicę zamiast użycia wzoru) |\n| C (\\(3\\)) | Uczeń wziął numer wyrazu \\(n = 4\\) minus \\(1 = 3\\) i podał to jako wynik |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) zawiera \\((n-1)\\), nie \\(n\\). Dla \\(a_8\\) mnożnik to \\(7\\), nie \\(8\\) - to najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cofając się od \\(a_8\\) do \\(a_4\\), cofamy się o \\(4\\) kroki (bo \\(8 - 4 = 4\\)), nie o \\(3\\) - liczymy różnicę indeksów, nie sam indeks.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź wynik - jeśli \\(a_4 = 40\\) i \\(r = 2\\), to \\(a_5 = 42\\), \\(a_6 = 44\\), \\(a_7 = 46\\), \\(a_8 = 48\\). Zgadza się!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego\n\\(a_{n} = a_{k} + (n-k)\\cdot r\\). Dla \\(k = 8\\), \\(n = 4\\): \\(a_{4} = a_{8} + (4-8)\\cdot 2 = 48 - 8 = 40\\).\n\n### Sposób 2 - wyznaczenie \\(a_{1}\\) i podstawienie\n\\(a_{8} = a_{1} + 7r = a_{1} + 14 = 48 \\Rightarrow a_{1} = 34\\).\n\\(a_{4} = a_{1} + 3r = 34 + 6 = 40\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - to różnica \\(r\\), nie wyraz.\n- **B. \\(24\\)** - \\(48/2\\), bez sensu matematycznego.\n- **C. \\(3\\)** - błędne obliczenie.\n\n**Trik:** cofając się o 4 wyrazy, odejmujemy \\(4r\\) - tu \\(4\\cdot 2 = 8\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>Ciąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny. Różnica tego<br>ciągu jest równa 2 oraz 𝑎8 = 48. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy<br>A. 2<br>B. 24<br>C. 3<br>D. 40<br>𝑦= 𝑓(𝑥)<br>1 2 3 4<br>7<br>6<br>-1<br>-2<br>-3<br>-4<br>-5<br>5<br>0<br>𝑥<br>-3<br>-2<br>-1<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>𝑦</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa 2 oraz a_8=48. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy A. 2 B. 24 C. 3 D. 40</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę<br>𝑛 początkowych wyrazów ciągu<br>arytmetycznego.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(a_4 = 40\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a_1\\) ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz</h4>\n<p>Korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]</p>\n<p>Znamy: różnicę \\(r = 2\\) oraz \\(a_8 = 48\\). Podstawiamy:<br>\\[a_8 = a_1 + (8-1) \\cdot 2 = a_1 + 14 = 48\\]</p>\n<p>Stąd:<br>\\[a_1 = 48 - 14 = 34\\]</p>\n<p>Teraz liczymy \\(a_4\\):<br>\\[a_4 = a_1 + (4-1) \\cdot r = 34 + 3 \\cdot 2 = 34 + 6 = \\mathbf{40}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(a_4 = 40\\), czyli D.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Cofanie się od \\(a_8\\)</h4>\n<p>Skoro różnica ciągu wynosi \\(r = 2\\), to każdy wyraz jest o \\(2\\) większy od poprzedniego. Można więc cofać się od \\(a_8\\):</p>\n<p>\\[a_7 = a_8 - r = 48 - 2 = 46\\]<br>\\[a_6 = 46 - 2 = 44\\]<br>\\[a_5 = 44 - 2 = 42\\]<br>\\[a_4 = 42 - 2 = \\mathbf{40}\\]</p>\n<p>Zgadza się z Wynikiem 1.</p>\n<p>Można też skorzystać ze wzoru bezpośrednio &quot;od tyłu&quot;: od wyrazu \\(a_8\\) do \\(a_4\\) jest \\(8 - 4 = 4\\) kroków wstecz:<br>\\[a_4 = a_8 - 4 \\cdot r = 48 - 4 \\cdot 2 = 48 - 8 = \\mathbf{40}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_1\\) z \\(a_8\\), a następnie do obliczenia \\(a_4\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (\\(2\\)) | Uczeń podał samą różnicę ciągu \\(r = 2\\), nie obliczając wyrazu |<br>| B (\\(24\\)) | Uczeń podzielił \\(a_8 = 48\\) przez \\(2\\) (dzielenie przez różnicę zamiast użycia wzoru) |<br>| C (\\(3\\)) | Uczeń wziął numer wyrazu \\(n = 4\\) minus \\(1 = 3\\) i podał to jako wynik |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) zawiera \\((n-1)\\), nie \\(n\\). Dla \\(a_8\\) mnożnik to \\(7\\), nie \\(8\\) - to najczęstszy błąd!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Cofając się od \\(a_8\\) do \\(a_4\\), cofamy się o \\(4\\) kroki (bo \\(8 - 4 = 4\\)), nie o \\(3\\) - liczymy różnicę indeksów, nie sam indeks.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź wynik - jeśli \\(a_4 = 40\\) i \\(r = 2\\), to \\(a_5 = 42\\), \\(a_6 = 44\\), \\(a_7 = 46\\), \\(a_8 = 48\\). Zgadza się!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (karta wzorów) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego</h5>\n<p>\\(a_{n} = a_{k} + (n-k)\\cdot r\\). Dla \\(k = 8\\), \\(n = 4\\): \\(a_{4} = a_{8} + (4-8)\\cdot 2 = 48 - 8 = 40\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - wyznaczenie \\(a_{1}\\) i podstawienie</h5>\n<p>\\(a_{8} = a_{1} + 7r = a_{1} + 14 = 48 \\Rightarrow a_{1} = 34\\).<br>\\(a_{4} = a_{1} + 3r = 34 + 6 = 40\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\)</strong> - to różnica \\(r\\), nie wyraz.</li><li><strong>B. \\(24\\)</strong> - \\(48/2\\), bez sensu matematycznego.</li><li><strong>C. \\(3\\)</strong> - błędne obliczenie.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> cofając się o 4 wyrazy, odejmujemy \\(4r\\) - tu \\(4\\cdot 2 = 8\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zapisujemy wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Dla ciągu arytmetycznego możemy to zapisać jako: $$a_n = a_1 + (n - 1) \\cdot d$$, gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, $d$ to różnica ciągu, a $n$ to numer wyrazu.</li></ol>\n<ol><li>Podstawiamy znane wartości. W naszym przypadku różnica $d$ wynosi 2 oraz mamy informację, że $a_8 = 48$. Zatem dla $n = 8$ możemy zapisać: $$a_8 = a_1 + (8 - 1) \\cdot 2$$.</li></ol>\n<ol><li>Przekształcamy równanie. Podstawiając $a_8 = 48$, otrzymujemy:</li></ol>\n<p>$$48 = a_1 + 7 \\cdot 2$$.</p>\n<ol><li>Obliczamy iloczyn. Mamy zatem:</li></ol>\n<p>$$48 = a_1 + 14$$.</p>\n<ol><li>Izolujemy $a_1$. Aby znaleźć $a_1$, odejmujemy 14 od obu stron równania:</li></ol>\n<p>$$a_1 = 48 - 14$$<br>$$a_1 = 34$$.</p>\n<ol><li>Obliczamy czwarty wyraz ciągu. Używając wzoru na n-ty wyraz dla $n = 4$, obliczamy:</li></ol>\n<p>$$a_4 = a_1 + (4 - 1) \\cdot 2$$.</p>\n<ol><li>Podstawiamy wartość $a_1$. Mamy:</li></ol>\n<p>$$a_4 = 34 + 3 \\cdot 2$$.</p>\n<ol><li>Obliczamy iloczyn. Stąd:</li></ol>\n<p>$$a_4 = 34 + 6$$.</p>\n<ol><li>Podsumowujemy. Zatem:</li></ol>\n<p>$$a_4 = 40$$.</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> Czwarty wyraz tego ciągu jest równy 40.</p>"}]}