{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry i sin 𝛼= 2\n3 . Wtedy cos2(90° -𝛼) jest równy\nA. 1\n9\nB. 2\n9\nC. 4\n9\nD. 5\n9\nKąt α jest ostry i sinα = 2/3. Wtedy cos^2(90°-α) jest równy A. 1/9 B. 2/9 C. 4/9 D. 5/9","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.3) stosuje proste zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{4}{9}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór redukcyjny + podstawienie\n\nKluczowe spostrzeżenie: wyrażenie \\(\\cos^2(90° - \\alpha)\\) można uprościć wzorem redukcyjnym.\n\n**Krok 1: Zastosuj wzór redukcyjny**\n\n\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\n\nTo jeden z podstawowych wzorów redukcyjnych - cosinus dopełnienia kąta równa się sinusowi tego kąta.\n\n**Krok 2: Podstaw do wyrażenia**\n\n\\[\\cos^2(90° - \\alpha) = \\sin^2\\alpha\\]\n\n**Krok 3: Podstaw daną wartość**\n\nWiemy, że \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2}{3}\\), więc:\n\n\\[\\sin^2\\alpha = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^2 = \\frac{4}{9}\\]\n\n**Wynik: \\(\\cos^2(90° - \\alpha) = \\dfrac{4}{9}\\)**\n\n## Sposób 2 - przez wyznaczenie \\(\\cos\\alpha\\) i użycie jedynki trygonometrycznej\n\nZamiast od razu stosować wzór redukcyjny, możemy wyliczyć \\(\\cos\\alpha\\) wprost z jedynki trygonometrycznej, a potem skorzystać z faktu, że \\(\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\). Ten sposób jest dłuższy, ale pokazuje, jak korzystać z jedynki.\n\n**Krok 1: Wyznacz \\(\\cos\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej**\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\left(\\frac{2}{3}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\frac{4}{9} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{4}{9} = \\frac{5}{9}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\cos\\alpha > 0\\):\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{5}}{3}\\]\n\n**Krok 2: Zastosuj wzór redukcyjny**\n\n\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Krok 3: Podnieś do kwadratu**\n\n\\[\\cos^2(90° - \\alpha) = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^2 = \\frac{4}{9}\\]\n\n**Wynik zgodny z Metodą 1: \\(\\dfrac{4}{9}\\)**\n\nPrzy okazji widzimy, że \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{5}{9}\\) - to odpowiedź D, typowa pułapka!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wzór redukcyjny:\n\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nUżyliśmy go w obu sposobach, żeby zamienić \\(\\cos(90° - \\alpha)\\) na \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(\\dfrac{1}{9}\\) | Uczeń liczy \\(\\cos^2(90°) \\cdot \\alpha\\) albo pomyla \\(\\sin\\alpha = \\frac{2}{3}\\) z \\(\\sin^2\\alpha = \\frac{2}{3}\\), a potem bierze \\(\\frac{1}{3}\\) - albo po prostu odejmuje \\(\\frac{1}{9}\\) bez sensu |\n| B - \\(\\dfrac{2}{9}\\) | Uczeń bierze samą wartość \\(\\sin\\alpha = \\frac{2}{3}\\) i dzieli przez 3 zamiast podnosić do kwadratu - błąd rachunkowy |\n| D - \\(\\dfrac{5}{9}\\) | **Najczęstszy błąd!** Uczeń poprawnie liczy \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{5}{9}\\) z jedynki trygonometrycznej, ale zapomina zastosować wzór redukcyjny i błędnie utożsamia \\(\\cos(90° - \\alpha)\\) z \\(\\cos\\alpha\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\), NIE \\(\\cos\\alpha\\). Kąty \\(90° - \\alpha\\) i \\(\\alpha\\) to dopełnienie kąta prostego - ich sinus i cosinus są zamienione miejscami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(\\frac{5}{9}\\)) to wartość \\(\\cos^2\\alpha\\), nie \\(\\cos^2(90° - \\alpha)\\). To klasyczna pułapka - zadanie pyta o cosinus dopełnienia, nie o cosinus samego kąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po zastosowaniu wzoru redukcyjnego zadanie sprowadza się do trywialnego podniesienia \\(\\frac{2}{3}\\) do kwadratu. Jeśli wychodzi ci skomplikowane liczenie - prawdopodobnie pominąłeś wzór redukcyjny i idziesz trudniejszą drogą.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - wzór redukcyjny\n\\(\\cos(90^{\\circ} - \\alpha) = \\sin\\alpha\\). Zatem\n\\[\\cos^{2}(90^{\\circ} - \\alpha) = \\sin^{2}\\alpha = \\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{2} = \\dfrac{4}{9}.\\]\n\n### Sposób 2 - jedynka trygonometryczna\nZ \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\) i \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{2}{3}\\) mamy \\(\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\tfrac{4}{9} = \\tfrac{5}{9}\\). Ale szukamy \\(\\cos^{2}(90^{\\circ}-\\alpha) = \\sin^{2}\\alpha = \\tfrac{4}{9}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{9}\\)** - błąd rachunkowy.\n- **B. \\(\\tfrac{2}{9}\\)** - brak kwadratu.\n- **D. \\(\\tfrac{5}{9}\\)** - to \\(\\cos^{2}\\alpha\\), nie \\(\\cos^{2}(90^{\\circ}-\\alpha)\\).\n\n**Trik:** \\(\\cos(90^{\\circ}-x) = \\sin x\\) - kąty dopełniające.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"trygonometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Kąt 𝛼 jest ostry i sin 𝛼= 2<br>3 . Wtedy cos2(90° -𝛼) jest równy<br>A. 1<br>9<br>B. 2<br>9<br>C. 4<br>9<br>D. 5<br>9<br>Kąt α jest ostry i sinα = 2/3. Wtedy cos^2(90°-α) jest równy A. 1/9 B. 2/9 C. 4/9 D. 5/9</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>6.3) stosuje proste zależności między<br>funkcjami trygonometrycznymi […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{4}{9}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzór redukcyjny + podstawienie</h4>\n<p>Kluczowe spostrzeżenie: wyrażenie \\(\\cos^2(90° - \\alpha)\\) można uprościć wzorem redukcyjnym.</p>\n<p><strong>Krok 1: Zastosuj wzór redukcyjny</strong></p>\n<p>\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]</p>\n<p>To jeden z podstawowych wzorów redukcyjnych - cosinus dopełnienia kąta równa się sinusowi tego kąta.</p>\n<p><strong>Krok 2: Podstaw do wyrażenia</strong></p>\n<p>\\[\\cos^2(90° - \\alpha) = \\sin^2\\alpha\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Podstaw daną wartość</strong></p>\n<p>Wiemy, że \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2}{3}\\), więc:</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^2 = \\frac{4}{9}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\cos^2(90° - \\alpha) = \\dfrac{4}{9}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - przez wyznaczenie \\(\\cos\\alpha\\) i użycie jedynki trygonometrycznej</h4>\n<p>Zamiast od razu stosować wzór redukcyjny, możemy wyliczyć \\(\\cos\\alpha\\) wprost z jedynki trygonometrycznej, a potem skorzystać z faktu, że \\(\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\). Ten sposób jest dłuższy, ale pokazuje, jak korzystać z jedynki.</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz \\(\\cos\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej</strong></p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p>\\[\\left(\\frac{2}{3}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p>\\[\\frac{4}{9} + \\cos^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p>\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{4}{9} = \\frac{5}{9}\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\cos\\alpha &gt; 0\\):</p>\n<p>\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{5}}{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Zastosuj wzór redukcyjny</strong></p>\n<p>\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha = \\frac{2}{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Podnieś do kwadratu</strong></p>\n<p>\\[\\cos^2(90° - \\alpha) = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^2 = \\frac{4}{9}\\]</p>\n<p><strong>Wynik zgodny z Metodą 1: \\(\\dfrac{4}{9}\\)</strong></p>\n<p>Przy okazji widzimy, że \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{5}{9}\\) - to odpowiedź D, typowa pułapka!</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - wzór redukcyjny:<br>\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]<br>Użyliśmy go w obu sposobach, żeby zamienić \\(\\cos(90° - \\alpha)\\) na \\(\\sin\\alpha\\).</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyliśmy jej w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(\\dfrac{1}{9}\\) | Uczeń liczy \\(\\cos^2(90°) \\cdot \\alpha\\) albo pomyla \\(\\sin\\alpha = \\frac{2}{3}\\) z \\(\\sin^2\\alpha = \\frac{2}{3}\\), a potem bierze \\(\\frac{1}{3}\\) - albo po prostu odejmuje \\(\\frac{1}{9}\\) bez sensu |<br>| B - \\(\\dfrac{2}{9}\\) | Uczeń bierze samą wartość \\(\\sin\\alpha = \\frac{2}{3}\\) i dzieli przez 3 zamiast podnosić do kwadratu - błąd rachunkowy |<br>| D - \\(\\dfrac{5}{9}\\) | <strong>Najczęstszy błąd!</strong> Uczeń poprawnie liczy \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{5}{9}\\) z jedynki trygonometrycznej, ale zapomina zastosować wzór redukcyjny i błędnie utożsamia \\(\\cos(90° - \\alpha)\\) z \\(\\cos\\alpha\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\), NIE \\(\\cos\\alpha\\). Kąty \\(90° - \\alpha\\) i \\(\\alpha\\) to dopełnienie kąta prostego - ich sinus i cosinus są zamienione miejscami.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź D (\\(\\frac{5}{9}\\)) to wartość \\(\\cos^2\\alpha\\), nie \\(\\cos^2(90° - \\alpha)\\). To klasyczna pułapka - zadanie pyta o cosinus dopełnienia, nie o cosinus samego kąta.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po zastosowaniu wzoru redukcyjnego zadanie sprowadza się do trywialnego podniesienia \\(\\frac{2}{3}\\) do kwadratu. Jeśli wychodzi ci skomplikowane liczenie - prawdopodobnie pominąłeś wzór redukcyjny i idziesz trudniejszą drogą.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (karta wzorów) - wzór redukcyjny</h5>\n<p>\\(\\cos(90^{\\circ} - \\alpha) = \\sin\\alpha\\). Zatem<br>\\[\\cos^{2}(90^{\\circ} - \\alpha) = \\sin^{2}\\alpha = \\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{2} = \\dfrac{4}{9}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - jedynka trygonometryczna</h5>\n<p>Z \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\) i \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{2}{3}\\) mamy \\(\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\tfrac{4}{9} = \\tfrac{5}{9}\\). Ale szukamy \\(\\cos^{2}(90^{\\circ}-\\alpha) = \\sin^{2}\\alpha = \\tfrac{4}{9}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{1}{9}\\)</strong> - błąd rachunkowy.</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{2}{9}\\)</strong> - brak kwadratu.</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{5}{9}\\)</strong> - to \\(\\cos^{2}\\alpha\\), nie \\(\\cos^{2}(90^{\\circ}-\\alpha)\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\cos(90^{\\circ}-x) = \\sin x\\) - kąty dopełniające.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<h3>Rozwiązanie zadania krok po kroku</h3>\n<ol><li>Zaczynamy od podania wartości $\\beta$, gdzie $\\beta = 90^\\text{o} - \\beta$. Zauważ, że $\\beta$ to kąt dopełniający do kąta $\\beta$.</li></ol>\n<p>Stąd mamy:<br>$$\\beta = 90^\\text{o} - \\beta$$</p>\n<ol><li>Zastosujemy tożsamość trygonometryczną:</li></ol>\n<p>$$\\boldsymbol{\\text{cos}^2(90^\\text{o} - \\beta) = \\text{sin}^2(\\beta)}$$<br>Zatem nasz problem sprowadza się do obliczenia wartości $\\text{sin}^2(\\beta)$.</p>\n<ol><li>Znamy już wartość $\\text{sin}(\\beta)$, która w zadaniu została podana jako:</li></ol>\n<p>$$\\text{sin}(\\beta) = \\frac{2}{3}$$</p>\n<ol><li>Obliczymy teraz $\\text{sin}^2(\\beta)$:</li></ol>\n<p>$$\\text{sin}^2(\\beta) = \\text{sin}(\\beta) \\times \\text{sin}(\\beta) = \\frac{2}{3} \\times \\frac{2}{3} = \\frac{4}{9}$$</p>\n<ol><li>Zgodnie z tożsamością z kroku 2, mamy:</li></ol>\n<p>$$\\text{cos}^2(90^\\text{o} - \\beta) = \\text{sin}^2(\\beta) = \\frac{4}{9}$$</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> Prawidłowa odpowiedź to C: $\\frac{4}{9}$.</p>"}]}