{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nNa trójkącie ostrokątnym 𝐴𝐵𝐶 opisano okrąg o środku 𝑂. Miara kąta 𝐴𝐵𝐶 jest równa 65°.\nMiara kąta 𝐴𝐶𝑂 jest równa\nA. 130°\nB. 25°\nC. 65°\nD. 50°\nNa trójkącie ostrokątnym ABC opisano okrąg o środku O. Miara kąta ABC jest równa 65°. Miara kąta ACO jest równa A. 130° B. 25° C. 65° D. 50°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.1) stosuje zależności między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(25°\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt środkowy a kąt wpisany\n\n**Kluczowa obserwacja:** \\(O\\) jest środkiem okręgu opisanego, więc \\(OA = OC = R\\) (promienie). Trójkąt \\(OAC\\) jest **równoramienny**.\n\n**Krok 1 - Wyznacz kąt środkowy \\(\\angle AOC\\).**\n\nKąt \\(\\angle ABC = 65°\\) jest **kątem wpisanym**, opartym na łuku \\(AC\\) (łuk nieobejmujący \\(B\\)).\n\nKąt \\(\\angle AOC\\) jest **kątem środkowym** opartym na tym samym łuku \\(AC\\).\n\nZ twierdzenia o kącie wpisanym:\n\\[\\angle AOC = 2 \\cdot \\angle ABC = 2 \\cdot 65° = 130°\\]\n\n**Krok 2 - Wyznacz kąt \\(\\angle ACO\\) z trójkąta \\(OAC\\).**\n\nTrójkąt \\(OAC\\) jest równoramienny (\\(OA = OC = R\\)), zatem kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle OAC = \\angle ACO\\]\n\nSuma kątów w trójkącie:\n\\[\\angle AOC + \\angle OAC + \\angle ACO = 180°\\]\n\\[130° + 2 \\cdot \\angle ACO = 180°\\]\n\\[2 \\cdot \\angle ACO = 50°\\]\n\\[\\boxed{\\angle ACO = 25°}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez trójkąt \\(OAB\\) i \\(OBC\\) (bez kąta środkowego)\n\n**Cel:** Pokazać, że wynik to \\(25°\\) niezależnie od wartości kąta \\(\\angle ACB\\).\n\n**Krok 1 - Trójkąt \\(OAB\\) jest równoramienny** (\\(OA = OB = R\\)):\n\\[\\angle OBA = \\angle OAB\\]\n\nKąt środkowy nad łukiem \\(AB\\): \\(\\angle AOB = 2 \\cdot \\angle ACB\\), więc:\n\\[\\angle OBA = \\frac{180° - 2\\angle ACB}{2} = 90° - \\angle ACB\\]\n\n**Krok 2 - Kąt \\(\\angle OBC\\):**\n\\[\\angle OBC = \\angle ABC - \\angle OBA = 65° - (90° - \\angle ACB) = \\angle ACB - 25°\\]\n\n**Krok 3 - Trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny** (\\(OB = OC = R\\)):\n\\[\\angle OCB = \\angle OBC = \\angle ACB - 25°\\]\n\n**Krok 4 - Kąt \\(\\angle ACO\\):**\n\\[\\angle ACO = \\angle ACB - \\angle OCB = \\angle ACB - (\\angle ACB - 25°) = \\boxed{25°}\\]\n\nWynik nie zależy od wartości \\(\\angle ACB\\) - eleganckie!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\angle \\text{środkowy} = 2 \\cdot \\angle \\text{wpisany}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, aby wyznaczyć \\(\\angle AOC = 2 \\cdot \\angle ABC = 130°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((130°)\\) | Obliczono poprawnie kąt środkowy \\(\\angle AOC = 130°\\), ale **utożsamiono go z kątem \\(\\angle ACO\\)** - to jest wynik dla innego kąta. |\n| C \\((65°)\\) | Przepisano wprost dany kąt \\(\\angle ABC = 65°\\), zakładając błędnie, że kąt wpisany przenosi się na kąt \\(\\angle ACO\\). |\n| D \\((50°)\\) | Poprawnie obliczono \\(180° - 130° = 50°\\), ale **zapomniano podzielić przez 2** (w trójkącie równoramiennym OAC są **dwa** równe kąty przy podstawie). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy \\(\\angle AOC = 130°\\) to **nie** szukany kąt - to kąt w wierzchołku \\(O\\), a nie przy \\(C\\). Nie pomyl tych dwóch!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany wynosi **połowę** kąta środkowego - łatwo pomylić kierunek: \\(\\angle ABC = \\frac{1}{2}\\angle AOC\\), a nie odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(OAC\\) jest równoramienny bo \\(OA = OC = R\\) (oba to promienie). To kluczowa własność środka okręgu opisanego - każde dwa wierzchołki trójkąta są tak samo odległe od \\(O\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - kąt środkowy i wpisany\nKąt środkowy \\(AOC\\) = \\(2\\cdot \\angle ABC = 130^{\\circ}\\) (bo są oparte na tym samym łuku \\(AC\\)).\nW trójkącie \\(AOC\\): \\(|OA| = |OC| = R\\) (promienie), więc jest on równoramienny. Zatem \\(\\angle OAC = \\angle OCA\\) i\n\\[2\\angle OCA + 130^{\\circ} = 180^{\\circ}\\Rightarrow \\angle OCA = 25^{\\circ}.\\]\nMiara kąta \\(ACO = 25^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - bezpośrednia zależność\nW trójkącie \\(OCA\\) kąty przy podstawie \\(AC\\) są równe \\(\\tfrac{180^{\\circ} - 2\\cdot 65^{\\circ}}{2} = \\tfrac{50^{\\circ}}{2} = 25^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(130^{\\circ}\\)** - to kąt środkowy.\n- **C. \\(65^{\\circ}\\)** - kąt wpisany w innym wierzchołku.\n- **D. \\(50^{\\circ}\\)** - niedokończone dzielenie przez 2.\n\n**Trik:** zawsze rozpoznaj trójkąt równoramienny z dwoma promieniami jako ramionami.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Na trójkącie ostrokątnym 𝐴𝐵𝐶 opisano okrąg o środku 𝑂. Miara kąta 𝐴𝐵𝐶 jest równa 65°.<br>Miara kąta 𝐴𝐶𝑂 jest równa<br>A. 130°<br>B. 25°<br>C. 65°<br>D. 50°<br>Na trójkącie ostrokątnym ABC opisano okrąg o środku O. Miara kąta ABC jest równa 65°. Miara kąta ACO jest równa A. 130° B. 25° C. 65° D. 50°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>7.1) stosuje zależności między kątem<br>środkowym i kątem wpisanym.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(25°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Kąt środkowy a kąt wpisany</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> \\(O\\) jest środkiem okręgu opisanego, więc \\(OA = OC = R\\) (promienie). Trójkąt \\(OAC\\) jest <strong>równoramienny</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 1 - Wyznacz kąt środkowy \\(\\angle AOC\\).</strong></p>\n<p>Kąt \\(\\angle ABC = 65°\\) jest <strong>kątem wpisanym</strong>, opartym na łuku \\(AC\\) (łuk nieobejmujący \\(B\\)).</p>\n<p>Kąt \\(\\angle AOC\\) jest <strong>kątem środkowym</strong> opartym na tym samym łuku \\(AC\\).</p>\n<p>Z twierdzenia o kącie wpisanym:<br>\\[\\angle AOC = 2 \\cdot \\angle ABC = 2 \\cdot 65° = 130°\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - Wyznacz kąt \\(\\angle ACO\\) z trójkąta \\(OAC\\).</strong></p>\n<p>Trójkąt \\(OAC\\) jest równoramienny (\\(OA = OC = R\\)), zatem kąty przy podstawie są równe:<br>\\[\\angle OAC = \\angle ACO\\]</p>\n<p>Suma kątów w trójkącie:<br>\\[\\angle AOC + \\angle OAC + \\angle ACO = 180°\\]<br>\\[130° + 2 \\cdot \\angle ACO = 180°\\]<br>\\[2 \\cdot \\angle ACO = 50°\\]<br>\\[\\boxed{\\angle ACO = 25°}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez trójkąt \\(OAB\\) i \\(OBC\\) (bez kąta środkowego)</h4>\n<p><strong>Cel:</strong> Pokazać, że wynik to \\(25°\\) niezależnie od wartości kąta \\(\\angle ACB\\).</p>\n<p><strong>Krok 1 - Trójkąt \\(OAB\\) jest równoramienny</strong> (\\(OA = OB = R\\)):<br>\\[\\angle OBA = \\angle OAB\\]</p>\n<p>Kąt środkowy nad łukiem \\(AB\\): \\(\\angle AOB = 2 \\cdot \\angle ACB\\), więc:<br>\\[\\angle OBA = \\frac{180° - 2\\angle ACB}{2} = 90° - \\angle ACB\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - Kąt \\(\\angle OBC\\):</strong><br>\\[\\angle OBC = \\angle ABC - \\angle OBA = 65° - (90° - \\angle ACB) = \\angle ACB - 25°\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - Trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny</strong> (\\(OB = OC = R\\)):<br>\\[\\angle OCB = \\angle OBC = \\angle ACB - 25°\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - Kąt \\(\\angle ACO\\):</strong><br>\\[\\angle ACO = \\angle ACB - \\angle OCB = \\angle ACB - (\\angle ACB - 25°) = \\boxed{25°}\\]</p>\n<p>Wynik nie zależy od wartości \\(\\angle ACB\\) - eleganckie!</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</blockquote>\n<p>\\[\\angle \\text{środkowy} = 2 \\cdot \\angle \\text{wpisany}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego w Sposobie 1, aby wyznaczyć \\(\\angle AOC = 2 \\cdot \\angle ABC = 130°\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A \\((130°)\\) | Obliczono poprawnie kąt środkowy \\(\\angle AOC = 130°\\), ale <strong>utożsamiono go z kątem \\(\\angle ACO\\)</strong> - to jest wynik dla innego kąta. |<br>| C \\((65°)\\) | Przepisano wprost dany kąt \\(\\angle ABC = 65°\\), zakładając błędnie, że kąt wpisany przenosi się na kąt \\(\\angle ACO\\). |<br>| D \\((50°)\\) | Poprawnie obliczono \\(180° - 130° = 50°\\), ale <strong>zapomniano podzielić przez 2</strong> (w trójkącie równoramiennym OAC są <strong>dwa</strong> równe kąty przy podstawie). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt środkowy \\(\\angle AOC = 130°\\) to <strong>nie</strong> szukany kąt - to kąt w wierzchołku \\(O\\), a nie przy \\(C\\). Nie pomyl tych dwóch!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt wpisany wynosi <strong>połowę</strong> kąta środkowego - łatwo pomylić kierunek: \\(\\angle ABC = \\frac{1}{2}\\angle AOC\\), a nie odwrotnie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Trójkąt \\(OAC\\) jest równoramienny bo \\(OA = OC = R\\) (oba to promienie). To kluczowa własność środka okręgu opisanego - każde dwa wierzchołki trójkąta są tak samo odległe od \\(O\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (karta wzorów) - kąt środkowy i wpisany</h5>\n<p>Kąt środkowy \\(AOC\\) = \\(2\\cdot \\angle ABC = 130^{\\circ}\\) (bo są oparte na tym samym łuku \\(AC\\)).<br>W trójkącie \\(AOC\\): \\(|OA| = |OC| = R\\) (promienie), więc jest on równoramienny. Zatem \\(\\angle OAC = \\angle OCA\\) i<br>\\[2\\angle OCA + 130^{\\circ} = 180^{\\circ}\\Rightarrow \\angle OCA = 25^{\\circ}.\\]<br>Miara kąta \\(ACO = 25^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - bezpośrednia zależność</h5>\n<p>W trójkącie \\(OCA\\) kąty przy podstawie \\(AC\\) są równe \\(\\tfrac{180^{\\circ} - 2\\cdot 65^{\\circ}}{2} = \\tfrac{50^{\\circ}}{2} = 25^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(130^{\\circ}\\)</strong> - to kąt środkowy.</li><li><strong>C. \\(65^{\\circ}\\)</strong> - kąt wpisany w innym wierzchołku.</li><li><strong>D. \\(50^{\\circ}\\)</strong> - niedokończone dzielenie przez 2.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> zawsze rozpoznaj trójkąt równoramienny z dwoma promieniami jako ramionami.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, kąt środkowy $AOC$ ma miarę $130^\\circ$, ponieważ jest to kąt oparty na tym samym łuku co kąt $ABC$ wpisany w okrąg. Trójkąt $AOC$ jest równoramienny, ponieważ boki $AO$ i $OC$ to długości promienia okręgu o środku $O$, stąd miara kąta $ACO$ wynosi$|\\sphericalangle ACO|=\\frac{180^\\circ-130^\\circ}{2}=\\frac{50^\\circ}{2}=25^\\circ$.</p>"}]}