{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nTrójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest prostokątny. Odcinek 𝐴𝐷 jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną\nz wierzchołka 𝐴 na przeciwprostokątną 𝐵𝐶. Wtedy\nA. |𝐴𝐷|\n|𝐴𝐵| = |𝐶𝐷|\n|𝐴𝐶|\nB. |𝐴𝐷|\n|𝐴𝐵| = |𝐶𝐷|\n|𝐴𝐷|\nC. |𝐴𝐷|\n|𝐴𝐵| = |𝐴𝐶|\n|𝐴𝐵|\nD. |𝐴𝐷|\n|𝐴𝐵| = |𝐵𝐶|\n|𝐵𝐷|","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{|CD|}{|AC|}\\]\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów (kąty)\n\n**Ustawiamy scenę:** Trójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny z kątem prostym przy \\(A\\) (bo \\(BC\\) to przeciwprostokątna). \\(AD\\) to wysokość z \\(A\\) na \\(BC\\), gdzie \\(D \\in BC\\).\n\nOznaczmy kąty: \\(\\angle ABC = \\beta\\), \\(\\angle ACB = \\gamma\\), przy czym \\(\\beta + \\gamma = 90°\\).\n\n**W trójkącie \\(ABD\\):**\n- \\(\\angle ADB = 90°\\) (wysokość)\n- \\(\\angle ABD = \\beta\\)\n- stąd \\(\\angle DAB = 90° - \\beta = \\gamma\\)\n\n**W trójkącie \\(CAD\\):**\n- \\(\\angle ADC = 90°\\)\n- \\(\\angle ACD = \\gamma\\)\n- stąd \\(\\angle DAC = 90° - \\gamma = \\beta\\)\n\nPorównując kąty:\n\n| Trójkąt \\(ABD\\) | Trójkąt \\(CAD\\) |\n| \\(\\angle ADB = 90°\\) | \\(\\angle CDA = 90°\\) |\n| \\(\\angle ABD = \\beta\\) | \\(\\angle DAC = \\beta\\) |\n| \\(\\angle DAB = \\gamma\\) | \\(\\angle ACD = \\gamma\\) |\n\nZatem \\(\\triangle ABD \\sim \\triangle CAD\\) (kąt-kąt-kąt).\n\n**Z podobieństwa wypisujemy proporcje boków** (odpowiadające boki: \\(AB \\leftrightarrow CA\\), \\(AD \\leftrightarrow CD\\)):\n\n\\[\\frac{|AD|}{|CD|} = \\frac{|AB|}{|CA|}\\]\n\nPrzestawiamy (zamieniamy miejscami człony):\n\n\\[\\boxed{\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{|CD|}{|AC|}}\\]\n\nTo właśnie odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja współrzędnościowa\n\nPrzyjmijmy konkretne wartości: \\(|BD| = 3\\), \\(|CD| = 4\\). Umieszczamy \\(D\\) w początku układu.\n\nZ własności wysokości w trójkącie prostokątnym: \\(|AD|^2 = |BD| \\cdot |CD| = 3 \\cdot 4 = 12\\), więc \\(|AD| = 2\\sqrt{3}\\).\n\nWyliczamy:\n\\[|AB| = \\sqrt{|BD|^2 + |AD|^2} = \\sqrt{9 + 12} = \\sqrt{21}\\]\n\\[|AC| = \\sqrt{|CD|^2 + |AD|^2} = \\sqrt{16 + 12} = \\sqrt{28} = 2\\sqrt{7}\\]\n\n**Sprawdzamy odpowiedź A:**\n\\[\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{21}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{7}} = \\frac{2}{\\sqrt{7}}\\]\n\\[\\frac{|CD|}{|AC|} = \\frac{4}{2\\sqrt{7}} = \\frac{2}{\\sqrt{7}} \\checkmark\\]\n\nObie strony są równe - odpowiedź A potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-18)** - twierdzenie o podobieństwie trójkątów (AA):\n\nJeżeli dwa trójkąty mają dwa pary kątów równych, to są podobne, a ich odpowiadające boki pozostają w tej samej proporcji.\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wykazania \\(\\triangle ABD \\sim \\triangle CAD\\).\n\nW Sposobie 2 skorzystaliśmy z własności wysokości w trójkącie prostokątnym:\n\\[|AD|^2 = |BD| \\cdot |CD|\\]\n(wynika ze wspomnianego podobieństwa - jest na karcie w dziale Planimetria jako konsekwencja podobieństwa trójkątów)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Pozorny sens | Błąd |\n| **B** | \\(\\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{|CD|}{|AD|}\\) | Oznacza \\(|AD|^2 = |AB| \\cdot |CD|\\). Prawdziwy wzór to \\(|AD|^2 = |BD| \\cdot |CD|\\) - mylenie \\(|AB|\\) z \\(|BD|\\) |\n| **C** | \\(\\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{|AC|}{|AB|}\\) | Skraca się do \\(|AD| = |AC|\\), co oznaczałoby, że wysokość = ramię - możliwe tylko w szczególnym przypadku |\n| **D** | \\(\\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{|BC|}{|BD|}\\) | Miesza twierdzenie o rzutach (\\(|AB|^2 = |BD| \\cdot |BC|\\)) z proporcją z podobieństwa; prawa strona \\(\\dfrac{|BC|}{|BD|}\\) jest odwrotnością \\(\\dfrac{|BD|}{|BC|} = \\dfrac{|AB|^2}{|BC|^2}\\) - nie pasuje do lewej strony |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uważaj na kolejność wierzchołków w zapisie podobieństwa. \\(\\triangle ABD \\sim \\triangle CAD\\) oznacza konkretne przyporządkowanie: \\(A \\leftrightarrow C\\), \\(B \\leftrightarrow A\\), \\(D \\leftrightarrow D\\). Pomylenie kolejności daje błędne proporcje!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W prawej części odpowiedzi A jest \\(|CD|\\) (odcinek od \\(C\\) do \\(D\\)), a NIE \\(|BD|\\). Uczniowie często wstawiają \\(|BD|\\) przez nieuwagę - to prowadzi do fałszywej proporcji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wzorów podobieństwa z twierdzeniem o rzutach: \\(|AB|^2 = |BD| \\cdot |BC|\\) i \\(|AC|^2 = |CD| \\cdot |BC|\\) są prawdziwe, ale to inne proporcje niż szukana!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - podobieństwo trójkątów\nTrójkąty \\(ABD\\), \\(CAD\\) i \\(CBA\\) są podobne (wysokość w trójkącie prostokątnym). Z podobieństwa \\(\\triangle ABD \\sim \\triangle CAD\\):\n\\[\\dfrac{|AD|}{|CD|} = \\dfrac{|AB|}{|AC|}\\Rightarrow \\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{|CD|}{|AC|}.\\] ✓\n\n### Sposób 2 - funkcje trygonometryczne\nOznacz \\(\\angle ABC = \\beta\\). W \\(\\triangle ABD\\): \\(\\sin\\beta = \\dfrac{|AD|}{|AB|}\\). W \\(\\triangle ABC\\): \\(\\sin\\beta = \\dfrac{|AC|}{|BC|}\\); dla kąta przy \\(C\\): \\(\\sin\\gamma = \\dfrac{|AB|}{|BC|}\\). Z \\(\\triangle ACD\\): \\(\\sin\\beta = \\dfrac{|CD|}{|AC|}\\) (bo \\(\\angle ACD = \\angle ABC = \\beta\\)). Stąd odpowiedź A.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D.** - nie wynikają z poprawnego podobieństwa odpowiednich trójkątów.\n\n**Trik:** w trójkącie prostokątnym z wysokością na przeciwprostokątną powstają TRZY trójkąty podobne; wybierając dwa, otrzymasz różne proporcje - zapamiętaj kierunek.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest prostokątny. Odcinek 𝐴𝐷 jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną<br>z wierzchołka 𝐴 na przeciwprostokątną 𝐵𝐶. Wtedy<br>A. |𝐴𝐷|<br>|𝐴𝐵| = |𝐶𝐷|<br>|𝐴𝐶|<br>B. |𝐴𝐷|<br>|𝐴𝐵| = |𝐶𝐷|<br>|𝐴𝐷|<br>C. |𝐴𝐷|<br>|𝐴𝐵| = |𝐴𝐶|<br>|𝐴𝐵|<br>D. |𝐴𝐷|<br>|𝐴𝐵| = |𝐵𝐶|<br>|𝐵𝐷|</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>7.3) rozpoznaje trójkąty podobne<br>i wykorzystuje cechy podobieństwa<br>trójkątów.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>\\[\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{|CD|}{|AC|}\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów (kąty)</h4>\n<p><strong>Ustawiamy scenę:</strong> Trójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny z kątem prostym przy \\(A\\) (bo \\(BC\\) to przeciwprostokątna). \\(AD\\) to wysokość z \\(A\\) na \\(BC\\), gdzie \\(D \\in BC\\).</p>\n<p>Oznaczmy kąty: \\(\\angle ABC = \\beta\\), \\(\\angle ACB = \\gamma\\), przy czym \\(\\beta + \\gamma = 90°\\).</p>\n<p><strong>W trójkącie \\(ABD\\):</strong></p>\n<ul><li>\\(\\angle ADB = 90°\\) (wysokość)</li><li>\\(\\angle ABD = \\beta\\)</li><li>stąd \\(\\angle DAB = 90° - \\beta = \\gamma\\)</li></ul>\n<p><strong>W trójkącie \\(CAD\\):</strong></p>\n<ul><li>\\(\\angle ADC = 90°\\)</li><li>\\(\\angle ACD = \\gamma\\)</li><li>stąd \\(\\angle DAC = 90° - \\gamma = \\beta\\)</li></ul>\n<p>Porównując kąty:</p>\n<p>| Trójkąt \\(ABD\\) | Trójkąt \\(CAD\\) |<br>| \\(\\angle ADB = 90°\\) | \\(\\angle CDA = 90°\\) |<br>| \\(\\angle ABD = \\beta\\) | \\(\\angle DAC = \\beta\\) |<br>| \\(\\angle DAB = \\gamma\\) | \\(\\angle ACD = \\gamma\\) |</p>\n<p>Zatem \\(\\triangle ABD \\sim \\triangle CAD\\) (kąt-kąt-kąt).</p>\n<p><strong>Z podobieństwa wypisujemy proporcje boków</strong> (odpowiadające boki: \\(AB \\leftrightarrow CA\\), \\(AD \\leftrightarrow CD\\)):</p>\n<p>\\[\\frac{|AD|}{|CD|} = \\frac{|AB|}{|CA|}\\]</p>\n<p>Przestawiamy (zamieniamy miejscami człony):</p>\n<p>\\[\\boxed{\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{|CD|}{|AC|}}\\]</p>\n<p>To właśnie odpowiedź <strong>A</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja współrzędnościowa</h4>\n<p>Przyjmijmy konkretne wartości: \\(|BD| = 3\\), \\(|CD| = 4\\). Umieszczamy \\(D\\) w początku układu.</p>\n<p>Z własności wysokości w trójkącie prostokątnym: \\(|AD|^2 = |BD| \\cdot |CD| = 3 \\cdot 4 = 12\\), więc \\(|AD| = 2\\sqrt{3}\\).</p>\n<p>Wyliczamy:<br>\\[|AB| = \\sqrt{|BD|^2 + |AD|^2} = \\sqrt{9 + 12} = \\sqrt{21}\\]<br>\\[|AC| = \\sqrt{|CD|^2 + |AD|^2} = \\sqrt{16 + 12} = \\sqrt{28} = 2\\sqrt{7}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzamy odpowiedź A:</strong><br>\\[\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{21}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{7}} = \\frac{2}{\\sqrt{7}}\\]<br>\\[\\frac{|CD|}{|AC|} = \\frac{4}{2\\sqrt{7}} = \\frac{2}{\\sqrt{7}} \\checkmark\\]</p>\n<p>Obie strony są równe - odpowiedź A potwierdzona.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-18)</strong> - twierdzenie o podobieństwie trójkątów (AA):</p>\n<p>Jeżeli dwa trójkąty mają dwa pary kątów równych, to są podobne, a ich odpowiadające boki pozostają w tej samej proporcji.</p>\n<p>Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wykazania \\(\\triangle ABD \\sim \\triangle CAD\\).</p>\n<p>W Sposobie 2 skorzystaliśmy z własności wysokości w trójkącie prostokątnym:<br>\\[|AD|^2 = |BD| \\cdot |CD|\\]<br>(wynika ze wspomnianego podobieństwa - jest na karcie w dziale Planimetria jako konsekwencja podobieństwa trójkątów)</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Pozorny sens | Błąd |<br>| <strong>B</strong> | \\(\\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{|CD|}{|AD|}\\) | Oznacza \\(|AD|^2 = |AB| \\cdot |CD|\\). Prawdziwy wzór to \\(|AD|^2 = |BD| \\cdot |CD|\\) - mylenie \\(|AB|\\) z \\(|BD|\\) |<br>| <strong>C</strong> | \\(\\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{|AC|}{|AB|}\\) | Skraca się do \\(|AD| = |AC|\\), co oznaczałoby, że wysokość = ramię - możliwe tylko w szczególnym przypadku |<br>| <strong>D</strong> | \\(\\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{|BC|}{|BD|}\\) | Miesza twierdzenie o rzutach (\\(|AB|^2 = |BD| \\cdot |BC|\\)) z proporcją z podobieństwa; prawa strona \\(\\dfrac{|BC|}{|BD|}\\) jest odwrotnością \\(\\dfrac{|BD|}{|BC|} = \\dfrac{|AB|^2}{|BC|^2}\\) - nie pasuje do lewej strony |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Uważaj na kolejność wierzchołków w zapisie podobieństwa. \\(\\triangle ABD \\sim \\triangle CAD\\) oznacza konkretne przyporządkowanie: \\(A \\leftrightarrow C\\), \\(B \\leftrightarrow A\\), \\(D \\leftrightarrow D\\). Pomylenie kolejności daje błędne proporcje!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W prawej części odpowiedzi A jest \\(|CD|\\) (odcinek od \\(C\\) do \\(D\\)), a NIE \\(|BD|\\). Uczniowie często wstawiają \\(|BD|\\) przez nieuwagę - to prowadzi do fałszywej proporcji.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić wzorów podobieństwa z twierdzeniem o rzutach: \\(|AB|^2 = |BD| \\cdot |BC|\\) i \\(|AC|^2 = |CD| \\cdot |BC|\\) są prawdziwe, ale to inne proporcje niż szukana!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (karta wzorów) - podobieństwo trójkątów</h5>\n<p>Trójkąty \\(ABD\\), \\(CAD\\) i \\(CBA\\) są podobne (wysokość w trójkącie prostokątnym). Z podobieństwa \\(\\triangle ABD \\sim \\triangle CAD\\):<br>\\[\\dfrac{|AD|}{|CD|} = \\dfrac{|AB|}{|AC|}\\Rightarrow \\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{|CD|}{|AC|}.\\] ✓</p>\n<h5>Sposób 2 - funkcje trygonometryczne</h5>\n<p>Oznacz \\(\\angle ABC = \\beta\\). W \\(\\triangle ABD\\): \\(\\sin\\beta = \\dfrac{|AD|}{|AB|}\\). W \\(\\triangle ABC\\): \\(\\sin\\beta = \\dfrac{|AC|}{|BC|}\\); dla kąta przy \\(C\\): \\(\\sin\\gamma = \\dfrac{|AB|}{|BC|}\\). Z \\(\\triangle ACD\\): \\(\\sin\\beta = \\dfrac{|CD|}{|AC|}\\) (bo \\(\\angle ACD = \\angle ABC = \\beta\\)). Stąd odpowiedź A.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B, C, D.</strong> - nie wynikają z poprawnego podobieństwa odpowiednich trójkątów.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w trójkącie prostokątnym z wysokością na przeciwprostokątną powstają TRZY trójkąty podobne; wybierając dwa, otrzymasz różne proporcje - zapamiętaj kierunek.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, w trójkącie prostokątnym zachodzi proporcja $\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{|CD|}{|AC|}$, ponieważ wysokość $AD$ dzieli trójkąt $ABC$ na dwa podobne trójkąty prostokątne.</p>"}]}