{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPole rombu o obwodzie 20 i kącie rozwartym 120° jest równe\nA. 25√3\n2\nB. 5√3\n2\nC. 25\n2\nD. 25√3\n4\nPole rombu o obwodzie 20 i kącie rozwartym 120° jest równe A. 25√3/2 B. 5√3/2 C. 25/2 D. 5√3/4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.4) korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych\nobliczeniach geometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{25\\sqrt{3}}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole rombu przez kąt\n\n**Wyznaczamy bok rombu** z obwodu:\n\\[4a = 20 \\implies a = 5\\]\n\nKąt rozwarty rombu wynosi \\(120°\\). Pole rombu obliczamy ze wzoru:\n\\[P = a^2 \\cdot \\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(\\alpha\\) to dowolny kąt rombu (wynik jest taki sam dla \\(120°\\) i dla \\(60°\\), bo \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)).\n\nPodstawiamy:\n\\[P = 5^2 \\cdot \\sin 120° = 25 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{\\dfrac{25\\sqrt{3}}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez przekątne rombu\n\nPrzekątne rombu bisekują kąty i przecinają się prostopadle. Szukamy długości przekątnych.\n\nKąty rombu to \\(120°\\) i \\(60°\\). Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkątów tworzonych przez przekątne:\n\n**Przekątna \\(d_1\\)** (łączy wierzchołki z kątem \\(120°\\)):\n\\[d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\\cos 120° = 2 \\cdot 25 \\cdot \\left(1 - \\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\right) = 50 \\cdot \\frac{3}{2} = 75\\]\n\\[d_1 = 5\\sqrt{3}\\]\n\n**Przekątna \\(d_2\\)** (łączy wierzchołki z kątem \\(60°\\)):\n\\[d_2^2 = 2 \\cdot 25 \\cdot \\left(1 - \\frac{1}{2}\\right) = 25\\]\n\\[d_2 = 5\\]\n\nPole rombu ze wzoru na przekątne:\n\\[P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{5\\sqrt{3} \\cdot 5}{2} = \\boxed{\\dfrac{25\\sqrt{3}}{2}}\\]\n\nWyniki obydwu sposobów zgodne. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole rombu:\n\\[P = a^2 \\sin\\alpha\\]\noraz\n\\[P = \\frac{1}{2} |AC| \\cdot |BD|\\]\nUżyliśmy obu tych wzorów - w Sposobie 1 bezpośrednio, w Sposobie 2 po wyznaczeniu przekątnych.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartość:\n\\[\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n(wzór redukcyjny \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\))\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie cosinusów (Sposób 2):\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** \\(\\dfrac{5\\sqrt{3}}{2}\\) | Policzono \\(a \\cdot \\sin 120°\\) zamiast \\(a^2 \\cdot \\sin 120°\\) - zapomniano podnieść bok do kwadratu |\n| **C** \\(\\dfrac{25}{2}\\) | W Sposobie 2 użyto \\(d_1 = 5\\) (zamiast \\(5\\sqrt{3}\\)) - zgubiono \\(\\sqrt{3}\\) w przekątnej łączącej wierzchołki rozwarste |\n| **D** \\(\\dfrac{25\\sqrt{3}}{4}\\) | Użyto wzoru na pole **trójkąta** \\(\\frac{1}{2}a^2\\sin\\alpha\\) zamiast wzoru na romb \\(a^2\\sin\\alpha\\) - pomylono romb z trójkątem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na pole rombu to \\(P = a^2\\sin\\alpha\\), **nie** \\(\\frac{1}{2}a^2\\sin\\alpha\\). Romb to czworokąt, nie trójkąt!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - nie obliczaj sin z kąta rozwartego z pamięci, użyj wzoru redukcyjnego z karty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obwód rombu to \\(4a\\), więc bok to \\(a = \\frac{20}{4} = 5\\), a nie \\(\\frac{20}{2} = 10\\). Pomylenie obwodu rombu z prostokątem to częsty błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - pole rombu \\(P = a^{2}\\sin\\alpha\\)\nBok rombu: \\(a = 20/4 = 5\\). Kąt \\(120^{\\circ}\\): \\(\\sin 120^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\\[P = 5^{2}\\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{25\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - przez kąt ostry\nKąt \\(60^{\\circ}\\) (sąsiedni do \\(120^{\\circ}\\)) daje \\(\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) - to samo.\nLub: wysokość \\(h = a\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{5\\sqrt{3}}{2}\\). \\(P = a\\cdot h = 5\\cdot \\tfrac{5\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{25\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{5\\sqrt{3}}{2}\\)** - to wysokość, nie pole.\n- **C. \\(\\tfrac{25}{2}\\)** - zapomniano o \\(\\sqrt{3}\\).\n- **D. \\(\\tfrac{25\\sqrt{3}}{4}\\)** - dzielenie przez 4 zamiast przez 2.\n\n**Trik:** \\(\\sin 60^{\\circ} = \\sin 120^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) - kąty przyległe mają równy sinus.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Pole rombu o obwodzie 20 i kącie rozwartym 120° jest równe<br>A. 25√3<br>2<br>B. 5√3<br>2<br>C. 25<br>2<br>D. 25√3<br>4<br>Pole rombu o obwodzie 20 i kącie rozwartym 120° jest równe A. 25√3/2 B. 5√3/2 C. 25/2 D. 5√3/4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>7.4) korzysta z własności funkcji<br>trygonometrycznych w łatwych<br>obliczeniach geometrycznych […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{25\\sqrt{3}}{2}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na pole rombu przez kąt</h4>\n<p><strong>Wyznaczamy bok rombu</strong> z obwodu:<br>\\[4a = 20 \\implies a = 5\\]</p>\n<p>Kąt rozwarty rombu wynosi \\(120°\\). Pole rombu obliczamy ze wzoru:<br>\\[P = a^2 \\cdot \\sin\\alpha\\]<br>gdzie \\(\\alpha\\) to dowolny kąt rombu (wynik jest taki sam dla \\(120°\\) i dla \\(60°\\), bo \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)).</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[P = 5^2 \\cdot \\sin 120° = 25 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{\\dfrac{25\\sqrt{3}}{2}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez przekątne rombu</h4>\n<p>Przekątne rombu bisekują kąty i przecinają się prostopadle. Szukamy długości przekątnych.</p>\n<p>Kąty rombu to \\(120°\\) i \\(60°\\). Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkątów tworzonych przez przekątne:</p>\n<p><strong>Przekątna \\(d_1\\)</strong> (łączy wierzchołki z kątem \\(120°\\)):<br>\\[d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\\cos 120° = 2 \\cdot 25 \\cdot \\left(1 - \\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\right) = 50 \\cdot \\frac{3}{2} = 75\\]<br>\\[d_1 = 5\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Przekątna \\(d_2\\)</strong> (łączy wierzchołki z kątem \\(60°\\)):<br>\\[d_2^2 = 2 \\cdot 25 \\cdot \\left(1 - \\frac{1}{2}\\right) = 25\\]<br>\\[d_2 = 5\\]</p>\n<p>Pole rombu ze wzoru na przekątne:<br>\\[P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{5\\sqrt{3} \\cdot 5}{2} = \\boxed{\\dfrac{25\\sqrt{3}}{2}}\\]</p>\n<p>Wyniki obydwu sposobów zgodne. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)</strong> - pole rombu:<br>\\[P = a^2 \\sin\\alpha\\]<br>oraz<br>\\[P = \\frac{1}{2} |AC| \\cdot |BD|\\]<br>Użyliśmy obu tych wzorów - w Sposobie 1 bezpośrednio, w Sposobie 2 po wyznaczeniu przekątnych.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - wartość:<br>\\[\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]<br>(wzór redukcyjny \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\))</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)</strong> - twierdzenie cosinusów (Sposób 2):<br>\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>B</strong> \\(\\dfrac{5\\sqrt{3}}{2}\\) | Policzono \\(a \\cdot \\sin 120°\\) zamiast \\(a^2 \\cdot \\sin 120°\\) - zapomniano podnieść bok do kwadratu |<br>| <strong>C</strong> \\(\\dfrac{25}{2}\\) | W Sposobie 2 użyto \\(d_1 = 5\\) (zamiast \\(5\\sqrt{3}\\)) - zgubiono \\(\\sqrt{3}\\) w przekątnej łączącej wierzchołki rozwarste |<br>| <strong>D</strong> \\(\\dfrac{25\\sqrt{3}}{4}\\) | Użyto wzoru na pole <strong>trójkąta</strong> \\(\\frac{1}{2}a^2\\sin\\alpha\\) zamiast wzoru na romb \\(a^2\\sin\\alpha\\) - pomylono romb z trójkątem |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na pole rombu to \\(P = a^2\\sin\\alpha\\), <strong>nie</strong> \\(\\frac{1}{2}a^2\\sin\\alpha\\). Romb to czworokąt, nie trójkąt!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - nie obliczaj sin z kąta rozwartego z pamięci, użyj wzoru redukcyjnego z karty.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Obwód rombu to \\(4a\\), więc bok to \\(a = \\frac{20}{4} = 5\\), a nie \\(\\frac{20}{2} = 10\\). Pomylenie obwodu rombu z prostokątem to częsty błąd.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (karta wzorów) - pole rombu \\(P = a^{2}\\sin\\alpha\\)</h5>\n<p>Bok rombu: \\(a = 20/4 = 5\\). Kąt \\(120^{\\circ}\\): \\(\\sin 120^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).<br>\\[P = 5^{2}\\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{25\\sqrt{3}}{2}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - przez kąt ostry</h5>\n<p>Kąt \\(60^{\\circ}\\) (sąsiedni do \\(120^{\\circ}\\)) daje \\(\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) - to samo.<br>Lub: wysokość \\(h = a\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{5\\sqrt{3}}{2}\\). \\(P = a\\cdot h = 5\\cdot \\tfrac{5\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{25\\sqrt{3}}{2}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\tfrac{5\\sqrt{3}}{2}\\)</strong> - to wysokość, nie pole.</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{25}{2}\\)</strong> - zapomniano o \\(\\sqrt{3}\\).</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{25\\sqrt{3}}{4}\\)</strong> - dzielenie przez 4 zamiast przez 2.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\sin 60^{\\circ} = \\sin 120^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) - kąty przyległe mają równy sinus.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Na początku obliczymy długość boku rombu. \\text{Obwód rombu} (O) można obliczyć ze wzoru: \\</li></ol>\n<p>$$ O = 4a $$\\<br>gdzie $a$ to długość boku rombu. Z podanego obwodu mamy \\text{O} = 20, więc: \\<br>$$ 4a = 20 $$\\<br>Dzielimy obie strony przez 4: \\<br>$$ a = \\frac{20}{4} = 5 $$\\<br>\\</p>\n<ol><li>Teraz mamy długość boku rombu równą 5. \\text{Pole rombu} (P) można obliczyć ze wzoru: \\</li></ol>\n<p>$$ P = a^2 \\cdot \\sin(\\theta) $$\\<br>gdzie $\\theta$ to kąt między bokami rombu. W naszym przypadku kąt $\\theta$ wynosi $120^\\text{°}$. \\text{Obliczamy sinus kąta w radianach:} \\<br>$$ \\sin(120^\\text{°}) = \\sin(180^\\text{°} - 60^\\text{°}) = \\sin(60^\\text{°}) = \\frac{\\sqrt{3}}{2} $$\\<br>\\</p>\n<ol><li>Podstawiamy dane do wzoru na pole rombu: \\</li></ol>\n<p>$$ P = 5^2 \\cdot \\sin(120^\\text{°}) $$\\<br>$$ P = 25 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} $$\\<br>\\</p>\n<ol><li>Upraszczamy wyrażenie: \\</li></ol>\n<p>$$ P = \\frac{25\\sqrt{3}}{2} $$\\<br>\\</p>\n<ol><li>Ostatecznie obliczone pole rombu wynosi: \\</li></ol>\n<p>$$ P = \\frac{25\\sqrt{3}}{2} $$\\<br>\\<br><strong>Odpowiedź:</strong> $\\frac{25\\sqrt{3}}{2}$</p>"}]}