{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nW trójkącie miary kątów są równe: 𝛼, 4𝛼, 𝛼+ 30°. Miara największego kąta tego trójkąta jest\nrówna\nA. 55°\nB. 90°\nC. 100°\nD. 120°\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nNa trójkącie ostrokątnym ABC opisano okrąg o środku O. Miara kąta ABC jest równa 65°. Miara kąta ACO jest równa A. 130° B. 25° C. 65° D. 50°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG7.3) rozwiązuje równania stopnia\npierwszego z jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(100°\\)\n\n## Sposób 1 - suma kątów trójkąta\n\n**Kąty trójkąta sumują się do \\(180°\\).** Zapisujemy równanie:\n\n\\[\\alpha + 4\\alpha + (\\alpha + 30°) = 180°\\]\n\n\\[6\\alpha + 30° = 180°\\]\n\n\\[6\\alpha = 150°\\]\n\n\\[\\alpha = 25°\\]\n\nTeraz obliczamy każdy kąt:\n- \\(\\alpha = 25°\\)\n- \\(4\\alpha = 4 \\cdot 25° = 100°\\)\n- \\(\\alpha + 30° = 25° + 30° = 55°\\)\n\n**Największy kąt to \\(4\\alpha = 100°\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (sprawdzenie)\n\nSprawdzamy, czy wyznaczone kąty są poprawne - czy sumują się do \\(180°\\):\n\n\\[25° + 100° + 55° = 180° \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy, czy relacje między kątami się zgadzają:\n- Czy drugi kąt jest czterokrotnie większy od pierwszego? \\(4 \\cdot 25° = 100°\\) ✓\n- Czy trzeci kąt jest o \\(30°\\) większy od pierwszego? \\(25° + 30° = 55°\\) ✓\n\nWszystko się zgadza. **Największy kąt: \\(100°\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - własność trójkąta:\n\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]\nSuma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi \\(180°\\). Użyliśmy tego w Sposobie 1 do ułożenia równania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((55°)\\) | Uczeń poprawnie wylicza \\(\\alpha = 25°\\), ale za największy kąt uznaje \\(\\alpha + 30° = 55°\\), nie sprawdzając, że \\(4\\alpha = 100°\\) jest większe |\n| B \\((90°)\\) | Błąd przy upraszczaniu: np. \\(\\alpha + 4\\alpha + \\alpha = 6\\alpha = 180°\\) (zapomniano o \\(+30°\\)), co daje \\(\\alpha = 30°\\), \\(4\\alpha = 120°\\) - ale potem uczeń myli się w mnożeniu lub odczytaniu |\n| D \\((120°)\\) | Wynika z błędu \\(6\\alpha = 180°\\) → \\(\\alpha = 30°\\) → \\(4\\alpha = 120°\\) - pominięto wyraz \\(+30°\\) przy sumowaniu kątów |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj od razu, który kąt jest największy - po obliczeniu \\(\\alpha\\) sprawdź wartości wszystkich trzech kątów i porównaj je ze sobą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć o \\(+30°\\) przy sumowaniu. Przepisz każdy kąt osobno: \\(\\alpha + 4\\alpha + (\\alpha + 30°)\\), a dopiero potem upraszczaj.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli \\(\\alpha = 25°\\), to \\(4\\alpha = 100°\\), a nie \\(80°\\) - uważaj na błędy rachunkowe przy mnożeniu przez 4.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - suma kątów trójkąta\n\\(\\alpha + 4\\alpha + (\\alpha + 30^{\\circ}) = 180^{\\circ}\\).\n\\(6\\alpha + 30^{\\circ} = 180^{\\circ}\\Rightarrow 6\\alpha = 150^{\\circ}\\Rightarrow \\alpha = 25^{\\circ}\\).\nKąty: \\(25^{\\circ}, 100^{\\circ}, 55^{\\circ}\\). Największy: \\(4\\alpha = 100^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - sprawdzenie\n\\(25 + 100 + 55 = 180\\). ✓ Największy to \\(100^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(55^{\\circ}\\)** - to kąt \\(\\alpha + 30^{\\circ}\\), nie największy.\n- **B. \\(90^{\\circ}\\)** - błędne rozwiązanie równania.\n- **D. \\(120^{\\circ}\\)** - suma przekraczałaby \\(180^{\\circ}\\).\n\n**Trik:** w sumie kątów trójkąta zawsze zbierz wszystkie \\(\\alpha\\) i wyrazy wolne osobno.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>W trójkącie miary kątów są równe: 𝛼, 4𝛼, 𝛼+ 30°. Miara największego kąta tego trójkąta jest<br>równa<br>A. 55°<br>B. 90°<br>C. 100°<br>D. 120°</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Na trójkącie ostrokątnym ABC opisano okrąg o środku O. Miara kąta ABC jest równa 65°. Miara kąta ACO jest równa A. 130° B. 25° C. 65° D. 50°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>G7.3) rozwiązuje równania stopnia<br>pierwszego z jedną niewiadomą.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(100°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - suma kątów trójkąta</h4>\n<p><strong>Kąty trójkąta sumują się do \\(180°\\).</strong> Zapisujemy równanie:</p>\n<p>\\[\\alpha + 4\\alpha + (\\alpha + 30°) = 180°\\]</p>\n<p>\\[6\\alpha + 30° = 180°\\]</p>\n<p>\\[6\\alpha = 150°\\]</p>\n<p>\\[\\alpha = 25°\\]</p>\n<p>Teraz obliczamy każdy kąt:</p>\n<ul><li>\\(\\alpha = 25°\\)</li><li>\\(4\\alpha = 4 \\cdot 25° = 100°\\)</li><li>\\(\\alpha + 30° = 25° + 30° = 55°\\)</li></ul>\n<p><strong>Największy kąt to \\(4\\alpha = 100°\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja (sprawdzenie)</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy wyznaczone kąty są poprawne - czy sumują się do \\(180°\\):</p>\n<p>\\[25° + 100° + 55° = 180° \\checkmark\\]</p>\n<p>Sprawdzamy, czy relacje między kątami się zgadzają:</p>\n<ul><li>Czy drugi kąt jest czterokrotnie większy od pierwszego? \\(4 \\cdot 25° = 100°\\) ✓</li><li>Czy trzeci kąt jest o \\(30°\\) większy od pierwszego? \\(25° + 30° = 55°\\) ✓</li></ul>\n<p>Wszystko się zgadza. <strong>Największy kąt: \\(100°\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - własność trójkąta:<br>\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]<br>Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi \\(180°\\). Użyliśmy tego w Sposobie 1 do ułożenia równania.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A \\((55°)\\) | Uczeń poprawnie wylicza \\(\\alpha = 25°\\), ale za największy kąt uznaje \\(\\alpha + 30° = 55°\\), nie sprawdzając, że \\(4\\alpha = 100°\\) jest większe |<br>| B \\((90°)\\) | Błąd przy upraszczaniu: np. \\(\\alpha + 4\\alpha + \\alpha = 6\\alpha = 180°\\) (zapomniano o \\(+30°\\)), co daje \\(\\alpha = 30°\\), \\(4\\alpha = 120°\\) - ale potem uczeń myli się w mnożeniu lub odczytaniu |<br>| D \\((120°)\\) | Wynika z błędu \\(6\\alpha = 180°\\) → \\(\\alpha = 30°\\) → \\(4\\alpha = 120°\\) - pominięto wyraz \\(+30°\\) przy sumowaniu kątów |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie zakładaj od razu, który kąt jest największy - po obliczeniu \\(\\alpha\\) sprawdź wartości wszystkich trzech kątów i porównaj je ze sobą.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo zapomnieć o \\(+30°\\) przy sumowaniu. Przepisz każdy kąt osobno: \\(\\alpha + 4\\alpha + (\\alpha + 30°)\\), a dopiero potem upraszczaj.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Jeśli \\(\\alpha = 25°\\), to \\(4\\alpha = 100°\\), a nie \\(80°\\) - uważaj na błędy rachunkowe przy mnożeniu przez 4.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (karta wzorów) - suma kątów trójkąta</h5>\n<p>\\(\\alpha + 4\\alpha + (\\alpha + 30^{\\circ}) = 180^{\\circ}\\).<br>\\(6\\alpha + 30^{\\circ} = 180^{\\circ}\\Rightarrow 6\\alpha = 150^{\\circ}\\Rightarrow \\alpha = 25^{\\circ}\\).<br>Kąty: \\(25^{\\circ}, 100^{\\circ}, 55^{\\circ}\\). Największy: \\(4\\alpha = 100^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - sprawdzenie</h5>\n<p>\\(25 + 100 + 55 = 180\\). ✓ Największy to \\(100^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(55^{\\circ}\\)</strong> - to kąt \\(\\alpha + 30^{\\circ}\\), nie największy.</li><li><strong>B. \\(90^{\\circ}\\)</strong> - błędne rozwiązanie równania.</li><li><strong>D. \\(120^{\\circ}\\)</strong> - suma przekraczałaby \\(180^{\\circ}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w sumie kątów trójkąta zawsze zbierz wszystkie \\(\\alpha\\) i wyrazy wolne osobno.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkacie wynsoi $180^{\\circ}$, zatem: $\\alpha+4\\alpha+\\alpha+30^{\\circ}=180^{\\circ}$, więc $6\\alpha+30^{\\circ}=180^{\\circ}$, stąd $\\alpha=25^{\\circ}$, więc $4\\alpha=100^{\\circ}$, a $\\alpha+30^{\\circ}=55^{\\circ}$, czyli największy z kątów tego trójkąta ma miarę $100^{\\circ}$.</p>"}]}