{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nNa boku 𝐵𝐶 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 (na zewnątrz) zbudowano trójkąt równoboczny 𝐵𝐸𝐶 (zobacz\nrysunek).\nMiara kąta 𝐷𝐸𝐶 jest równa\nA. 10°\nB. 20°\nC. 15°\nD. 30°\nNa boku BC kwadratu ABCD (na zewnątrz) zbudowano trójkąt równoboczny BEC (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta DEC jest równa A. 10° B. 20° C. 15° D. 30°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG10.8) korzysta z własności kątów\ni przekątnych w […] trapezach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(15°\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąt równoramienny DCE\n\n**Kluczowa obserwacja:** Skoro ABCD to kwadrat i BEC to trójkąt równoboczny, wszystkie cztery odcinki \\(AB = BC = CD = DA = BE = EC\\) są równe. Oznaczmy ich długość \\(a\\).\n\n**Krok 1: Wyznaczamy kąt \\(\\angle DCE\\).**\n\n\\[\\angle DCE = \\angle DCB + \\angle BCE\\]\n\n- \\(\\angle DCB = 90°\\) - kąt wewnętrzny kwadratu\n- \\(\\angle BCE = 60°\\) - kąt trójkąta równobocznego\n- Trójkąt BEC jest zbudowany **na zewnątrz** kwadratu, więc kąty dodają się:\n\n\\[\\angle DCE = 90° + 60° = 150°\\]\n\n**Krok 2: Rozpoznajemy trójkąt \\(DCE\\) jako równoramienny.**\n\n\\[DC = a \\quad \\text{(bok kwadratu)}, \\quad EC = a \\quad \\text{(bok trójkąta równobocznego)}\\]\n\nZatem \\(DC = EC = a\\), więc trójkąt \\(DCE\\) jest **równoramienny** z wierzchołkiem przy \\(C\\).\n\n**Krok 3: Liczymy kąt \\(\\angle DEC\\).**\n\nW trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle CDE = \\angle DEC\\]\n\nZ sumy kątów w trójkącie:\n\\[\\angle DCE + \\angle CDE + \\angle DEC = 180°\\]\n\\[150° + 2 \\cdot \\angle DEC = 180°\\]\n\\[2 \\cdot \\angle DEC = 30°\\]\n\\[\\boxed{\\angle DEC = 15°}\\]\n\n## Sposób 2 - Współrzędne kartezjańskie (weryfikacja)\n\nPrzyjmijmy bok kwadratu \\(a = 1\\) i układamy wierzchołki:\n- \\(A = (0,0)\\), \\(B = (1,0)\\), \\(C = (1,1)\\), \\(D = (0,1)\\)\n\nŚrodek \\(BC\\) to \\((1, \\tfrac{1}{2})\\). Trójkąt BEC na zewnątrz kwadratu (w prawo):\n\n\\[E = \\left(1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2},\\ \\frac{1}{2}\\right)\\]\n\nWektory z \\(E\\):\n\\[\\vec{ED} = D - E = \\left(-1 - \\frac{\\sqrt{3}}{2},\\ \\frac{1}{2}\\right)\\]\n\\[\\vec{EC} = C - E = \\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2},\\ \\frac{1}{2}\\right)\\]\n\nDługość \\(|\\vec{EC}| = \\sqrt{\\tfrac{3}{4} + \\tfrac{1}{4}} = 1\\) ✓ (bok równobocznego)\n\nIloczyn skalarny:\n\\[\\vec{ED} \\cdot \\vec{EC} = \\left(1+\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{1}{4} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{3}{4} + \\frac{1}{4} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} + 1\\]\n\nDługość \\(|\\vec{ED}| = \\sqrt{\\left(1+\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^2 + \\frac{1}{4}} = \\sqrt{2 + \\sqrt{3}}\\)\n\n\\[\\cos(\\angle DEC) = \\frac{\\frac{\\sqrt{3}+2}{2}}{\\sqrt{2+\\sqrt{3}}} = \\frac{\\sqrt{3}+2}{2\\sqrt{2+\\sqrt{3}}}\\]\n\nNumerycznie: \\(\\cos(\\angle DEC) \\approx \\frac{3{,}732}{3{,}864} \\approx 0{,}9659 = \\cos 15°\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - suma kątów w trójkącie:\n\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\angle DEC\\) z trójkąta \\(DCE\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - własność trójkąta równoramiennego:\n> Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.\n\nW tym zadaniu nie ma potrzeby stosowania zaawansowanych wzorów - wystarczy znajomość własności kwadratu, trójkąta równobocznego i trójkąta równoramiennego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(10°\\) | Brak jednoznacznego błędu obliczeniowego prowadzącego do \\(10°\\) - odpowiedź mylnie dobrana jako \"połowa \\(20°\\)\" |\n| B: \\(20°\\) | Może wynikać z błędnego liczenia \\(\\angle DCE = 140°\\) (odjęcie zamiast dodanie kątów: \\(90° + 50°\\) po pomyleniu kąta trójkąta równobocznego z \\(50°\\)) |\n| D: \\(30°\\) | **Najczęstszy błąd:** wyznaczenie \\(\\angle DCE = 120°\\) zamiast \\(150°\\), np. przez odjęcie: \\(180° - 60° = 120°\\). Wtedy \\(2 \\cdot \\angle DEC = 60°\\), stąd \\(\\angle DEC = 30°\\). Błąd leży w zlekceważeniu, że kąt kwadratu i kąt trójkąta równobocznego dołożone są do siebie, a nie odejmowane. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt jest zbudowany **na zewnątrz** kwadratu - kąt \\(\\angle DCE = 90° + 60° = 150°\\), a nie \\(90° - 60° = 30°\\). Jeśli rysunek jest nieczytelny, łatwo pomylić kierunek budowania trójkąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowy krok to dostrzeżenie, że \\(DC = EC\\) (oba są bokami równej długości - kwadratu i trójkąta równobocznego). Bez tego nie możemy skorzystać z własności trójkąta równoramiennego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie ma sensu szukać dodatkowych wzorów trygonometrycznych - całe zadanie rozwiązuje się na zasadzie sumy kątów i trójkąta równoramiennego. Komplikowanie rachunkami wydłuża czas i zwiększa ryzyko pomyłki.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - trójkąt równoramienny \\(DCE\\)\nNiech bok kwadratu \\(= a\\). Wtedy \\(|CD| = a\\) (bok kwadratu) i \\(|CE| = a\\) (bok trójkąta równobocznego). Trójkąt \\(DCE\\) jest równoramienny.\nKąt \\(DCE = \\angle DCB + \\angle BCE = 90^{\\circ} + 60^{\\circ} = 150^{\\circ}\\).\nPozostałe kąty: \\(\\dfrac{180^{\\circ} - 150^{\\circ}}{2} = 15^{\\circ}\\). Zatem \\(\\angle DEC = 15^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - z układu przez symetrię\nTrójkąt \\(DCE\\) jest lustrzanym odbiciem trójkąta \\(ABE\\) (przez prostą \\(BC\\) przedłużoną symetrycznie), więc \\(\\angle DEC = \\angle AEB\\), a suma dwóch takich kątów oraz kąta \\(\\angle BEC = 60^{\\circ}\\) musi wynikać z geometrii kwadratu - ale prościej: wyliczamy bezpośrednio jak w Sposobie 1.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10^{\\circ}\\)**, **B. \\(20^{\\circ}\\)** - błędne liczenie kąta \\(DCE\\).\n- **D. \\(30^{\\circ}\\)** - nie uwzględniono, że trójkąt \\(DCE\\) jest równoramienny.\n\n**Trik:** w tego typu zadaniach kluczowe jest rozpoznanie trójkąta równoramiennego z dwóch boków równych (bok kwadratu = bok trójkąta równobocznego).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Na boku 𝐵𝐶 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 (na zewnątrz) zbudowano trójkąt równoboczny 𝐵𝐸𝐶 (zobacz
rysunek).
Miara kąta 𝐷𝐸𝐶 jest równa
A. 10°
B. 20°
C. 15°
D. 30°
Na boku BC kwadratu ABCD (na zewnątrz) zbudowano trójkąt równoboczny BEC (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta DEC jest równa A. 10° B. 20° C. 15° D. 30°

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
G10.8) korzysta z własności kątów
i przekątnych w […] trapezach.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(15°\\)

\n

Sposób 1 - Trójkąt równoramienny DCE

\n

Kluczowa obserwacja: Skoro ABCD to kwadrat i BEC to trójkąt równoboczny, wszystkie cztery odcinki \\(AB = BC = CD = DA = BE = EC\\) są równe. Oznaczmy ich długość \\(a\\).

\n

Krok 1: Wyznaczamy kąt \\(\\angle DCE\\).

\n

\\[\\angle DCE = \\angle DCB + \\angle BCE\\]

\n\n

\\[\\angle DCE = 90° + 60° = 150°\\]

\n

Krok 2: Rozpoznajemy trójkąt \\(DCE\\) jako równoramienny.

\n

\\[DC = a \\quad \\text{(bok kwadratu)}, \\quad EC = a \\quad \\text{(bok trójkąta równobocznego)}\\]

\n

Zatem \\(DC = EC = a\\), więc trójkąt \\(DCE\\) jest równoramienny z wierzchołkiem przy \\(C\\).

\n

Krok 3: Liczymy kąt \\(\\angle DEC\\).

\n

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe:
\\[\\angle CDE = \\angle DEC\\]

\n

Z sumy kątów w trójkącie:
\\[\\angle DCE + \\angle CDE + \\angle DEC = 180°\\]
\\[150° + 2 \\cdot \\angle DEC = 180°\\]
\\[2 \\cdot \\angle DEC = 30°\\]
\\[\\boxed{\\angle DEC = 15°}\\]

\n

Sposób 2 - Współrzędne kartezjańskie (weryfikacja)

\n

Przyjmijmy bok kwadratu \\(a = 1\\) i układamy wierzchołki:

\n\n

Środek \\(BC\\) to \\((1, \\tfrac{1}{2})\\). Trójkąt BEC na zewnątrz kwadratu (w prawo):

\n

\\[E = \\left(1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2},\\ \\frac{1}{2}\\right)\\]

\n

Wektory z \\(E\\):
\\[\\vec{ED} = D - E = \\left(-1 - \\frac{\\sqrt{3}}{2},\\ \\frac{1}{2}\\right)\\]
\\[\\vec{EC} = C - E = \\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2},\\ \\frac{1}{2}\\right)\\]

\n

Długość \\(|\\vec{EC}| = \\sqrt{\\tfrac{3}{4} + \\tfrac{1}{4}} = 1\\) ✓ (bok równobocznego)

\n

Iloczyn skalarny:
\\[\\vec{ED} \\cdot \\vec{EC} = \\left(1+\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{1}{4} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{3}{4} + \\frac{1}{4} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} + 1\\]

\n

Długość \\(|\\vec{ED}| = \\sqrt{\\left(1+\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^2 + \\frac{1}{4}} = \\sqrt{2 + \\sqrt{3}}\\)

\n

\\[\\cos(\\angle DEC) = \\frac{\\frac{\\sqrt{3}+2}{2}}{\\sqrt{2+\\sqrt{3}}} = \\frac{\\sqrt{3}+2}{2\\sqrt{2+\\sqrt{3}}}\\]

\n

Numerycznie: \\(\\cos(\\angle DEC) \\approx \\frac{3{,}732}{3{,}864} \\approx 0{,}9659 = \\cos 15°\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - suma kątów w trójkącie:
\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]
Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\angle DEC\\) z trójkąta \\(DCE\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - własność trójkąta równoramiennego:

\n
Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.
\n

W tym zadaniu nie ma potrzeby stosowania zaawansowanych wzorów - wystarczy znajomość własności kwadratu, trójkąta równobocznego i trójkąta równoramiennego.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(10°\\) | Brak jednoznacznego błędu obliczeniowego prowadzącego do \\(10°\\) - odpowiedź mylnie dobrana jako "połowa \\(20°\\)" |
| B: \\(20°\\) | Może wynikać z błędnego liczenia \\(\\angle DCE = 140°\\) (odjęcie zamiast dodanie kątów: \\(90° + 50°\\) po pomyleniu kąta trójkąta równobocznego z \\(50°\\)) |
| D: \\(30°\\) | Najczęstszy błąd: wyznaczenie \\(\\angle DCE = 120°\\) zamiast \\(150°\\), np. przez odjęcie: \\(180° - 60° = 120°\\). Wtedy \\(2 \\cdot \\angle DEC = 60°\\), stąd \\(\\angle DEC = 30°\\). Błąd leży w zlekceważeniu, że kąt kwadratu i kąt trójkąta równobocznego dołożone są do siebie, a nie odejmowane. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Trójkąt jest zbudowany na zewnątrz kwadratu - kąt \\(\\angle DCE = 90° + 60° = 150°\\), a nie \\(90° - 60° = 30°\\). Jeśli rysunek jest nieczytelny, łatwo pomylić kierunek budowania trójkąta.
\n
⚠️ Uwaga: Kluczowy krok to dostrzeżenie, że \\(DC = EC\\) (oba są bokami równej długości - kwadratu i trójkąta równobocznego). Bez tego nie możemy skorzystać z własności trójkąta równoramiennego.
\n
⚠️ Uwaga: Nie ma sensu szukać dodatkowych wzorów trygonometrycznych - całe zadanie rozwiązuje się na zasadzie sumy kątów i trójkąta równoramiennego. Komplikowanie rachunkami wydłuża czas i zwiększa ryzyko pomyłki.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - trójkąt równoramienny \\(DCE\\)
\n

Niech bok kwadratu \\(= a\\). Wtedy \\(|CD| = a\\) (bok kwadratu) i \\(|CE| = a\\) (bok trójkąta równobocznego). Trójkąt \\(DCE\\) jest równoramienny.
Kąt \\(DCE = \\angle DCB + \\angle BCE = 90^{\\circ} + 60^{\\circ} = 150^{\\circ}\\).
Pozostałe kąty: \\(\\dfrac{180^{\\circ} - 150^{\\circ}}{2} = 15^{\\circ}\\). Zatem \\(\\angle DEC = 15^{\\circ}\\).

\n
Sposób 2 - z układu przez symetrię
\n

Trójkąt \\(DCE\\) jest lustrzanym odbiciem trójkąta \\(ABE\\) (przez prostą \\(BC\\) przedłużoną symetrycznie), więc \\(\\angle DEC = \\angle AEB\\), a suma dwóch takich kątów oraz kąta \\(\\angle BEC = 60^{\\circ}\\) musi wynikać z geometrii kwadratu - ale prościej: wyliczamy bezpośrednio jak w Sposobie 1.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: w tego typu zadaniach kluczowe jest rozpoznanie trójkąta równoramiennego z dwóch boków równych (bok kwadratu = bok trójkąta równobocznego).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, zauważ, że trójkąt $DCE$ jest równoramienny (ponieważ czworokąt $ABCD$ jest kwadratem, a trójkąt $BEC$ jest równoboczny) oraz $|\\sphericalangle DCE|=90^{\\circ}+60^{\\circ}=150^{\\circ}$, zatem $|\\sphericalangle DEC|=\\displaystyle
\\frac{180^{\\circ}-150^{\\circ}}{2}=15^{\\circ}$

"}]}