{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nProste o równaniach 𝑦= -5\n4 𝑥-2 oraz 𝑦=\n4\n2𝑚-1 𝑥+ 1 są prostopadłe. Wynika stąd, że\nA. 𝑚= 21\n10\nB. 𝑚= -11\n10\nC. 𝑚= -2\nD. 𝑚= 3\nProste o równaniach y=-5/4x-2 oraz y=4/2m-1x+1 są prostopadłe. Wynika stąd, że A. m=21/20 B. m=-11/10 C. m=-2 D. m=3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.2) bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 3\\))\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych\n\n**Wyznaczamy współczynniki kierunkowe obu prostych.**\n\nProsta pierwsza: \\(y = -\\dfrac{5}{4}x - 2\\), więc \\(a_1 = -\\dfrac{5}{4}\\)\n\nProsta druga: \\(y = \\dfrac{4}{2m-1}x + 1\\), więc \\(a_2 = \\dfrac{4}{2m-1}\\)\n\n**Stosujemy warunek prostopadłości:** dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy\n\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\\left(-\\frac{5}{4}\\right) \\cdot \\frac{4}{2m-1} = -1\\]\n\n\\[\\frac{-5 \\cdot 4}{4(2m-1)} = -1\\]\n\n\\[\\frac{-5}{2m-1} = -1\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\((2m-1)\\):\n\n\\[-5 = -1 \\cdot (2m-1)\\]\n\n\\[-5 = -2m + 1\\]\n\n\\[-2m = -6\\]\n\n\\[\\boxed{m = 3}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(m = 3\\) rzeczywiście proste są prostopadłe.\n\n\\[a_2 = \\frac{4}{2 \\cdot 3 - 1} = \\frac{4}{5}\\]\n\nIloczyn współczynników kierunkowych:\n\n\\[a_1 \\cdot a_2 = \\left(-\\frac{5}{4}\\right) \\cdot \\frac{4}{5} = \\frac{-20}{20} = -1 \\checkmark\\]\n\nWarunek prostopadłości spełniony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych w postaci kierunkowej:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\(\\left(m = \\frac{21}{10}\\right)\\) | Zastosowanie błędnego warunku \\(a_1 + a_2 = 0\\) zamiast \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\). Warunek sumy zerowej nie ma związku z prostopadłością. |\n| **B** \\(\\left(m = -\\frac{11}{10}\\right)\\) | Zastosowanie warunku **równoległości** \\(a_1 = a_2\\) zamiast prostopadłości - wyznaczono \\(m\\) tak, by proste były równoległe, nie prostopadłe. |\n| **C** \\((m = -2)\\) | Pominięcie znaku minus przy \\(a_1\\): przyjęcie \\(a_1 = +\\dfrac{5}{4}\\) i rozwiązanie \\(\\dfrac{5}{4} \\cdot a_2 = -1\\), co daje \\(2m - 1 = -5\\), a stąd \\(m = -2\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), a **nie** \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\) ani \\(a_1 + a_2 = 0\\). Łatwo pomylić z warunkiem równoległości \\(a_1 = a_2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odczytując współczynnik kierunkowy z równania \\(y = -\\dfrac{5}{4}x - 2\\), pamiętaj o **minusie** - \\(a_1 = -\\dfrac{5}{4}\\), nie \\(+\\dfrac{5}{4}\\). Zgubienie znaku prowadzi wprost do odpowiedzi C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(a_2 = \\dfrac{4}{2m-1}\\) wymaga \\(2m - 1 \\neq 0\\), czyli \\(m \\neq \\dfrac{1}{2}\\) - sprawdź zawsze, czy mianownik nie zeruje się dla otrzymanego wyniku. Tu \\(m = 3\\), więc \\(2 \\cdot 3 - 1 = 5 \\neq 0\\). Jest OK.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - warunek prostopadłości\nProste \\(y = a_{1}x + b_{1}\\) i \\(y = a_{2}x + b_{2}\\) są prostopadłe, gdy \\(a_{1}\\cdot a_{2} = -1\\).\n\\[-\\dfrac{5}{4}\\cdot \\dfrac{4}{2m-1} = -1\\]\n\\[\\dfrac{-5}{2m-1} = -1\\]\n\\[-5 = -(2m-1)\\]\n\\[5 = 2m-1\\Rightarrow 2m = 6\\Rightarrow m = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - przez współczynnik kierunkowy prostopadłej\nDo \\(y = -\\tfrac{5}{4}x - 2\\) prosta prostopadła ma współczynnik \\(\\tfrac{4}{5}\\). Porównujemy:\n\\(\\dfrac{4}{2m-1} = \\dfrac{4}{5}\\Rightarrow 2m-1 = 5\\Rightarrow m = 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, C.** - błędne rozwiązanie równania (zły znak lub złe przekształcenie).\n\n**Trik:** iloczyn współczynników kierunkowych dla prostych prostopadłych = \\(-1\\); sprawdź znak przed obliczeniami.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>Proste o równaniach 𝑦= -5<br>4 𝑥-2 oraz 𝑦=<br>4<br>2𝑚-1 𝑥+ 1 są prostopadłe. Wynika stąd, że<br>A. 𝑚= 21<br>10<br>B. 𝑚= -11<br>10<br>C. 𝑚= -2<br>D. 𝑚= 3<br>Proste o równaniach y=-5/4x-2 oraz y=4/2m-1x+1 są prostopadłe. Wynika stąd, że A. m=21/20 B. m=-11/10 C. m=-2 D. m=3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>8.2) bada równoległość i prostopadłość<br>prostych na podstawie ich równań<br>kierunkowych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 3\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych</h4>\n<p><strong>Wyznaczamy współczynniki kierunkowe obu prostych.</strong></p>\n<p>Prosta pierwsza: \\(y = -\\dfrac{5}{4}x - 2\\), więc \\(a_1 = -\\dfrac{5}{4}\\)</p>\n<p>Prosta druga: \\(y = \\dfrac{4}{2m-1}x + 1\\), więc \\(a_2 = \\dfrac{4}{2m-1}\\)</p>\n<p><strong>Stosujemy warunek prostopadłości:</strong> dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy</p>\n<p>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]</p>\n<p>Podstawiamy:</p>\n<p>\\[\\left(-\\frac{5}{4}\\right) \\cdot \\frac{4}{2m-1} = -1\\]</p>\n<p>\\[\\frac{-5 \\cdot 4}{4(2m-1)} = -1\\]</p>\n<p>\\[\\frac{-5}{2m-1} = -1\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\((2m-1)\\):</p>\n<p>\\[-5 = -1 \\cdot (2m-1)\\]</p>\n<p>\\[-5 = -2m + 1\\]</p>\n<p>\\[-2m = -6\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{m = 3}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy dla \\(m = 3\\) rzeczywiście proste są prostopadłe.</p>\n<p>\\[a_2 = \\frac{4}{2 \\cdot 3 - 1} = \\frac{4}{5}\\]</p>\n<p>Iloczyn współczynników kierunkowych:</p>\n<p>\\[a_1 \\cdot a_2 = \\left(-\\frac{5}{4}\\right) \\cdot \\frac{4}{5} = \\frac{-20}{20} = -1 \\checkmark\\]</p>\n<p>Warunek prostopadłości spełniony.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek prostopadłości prostych w postaci kierunkowej:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]<br>Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> \\(\\left(m = \\frac{21}{10}\\right)\\) | Zastosowanie błędnego warunku \\(a_1 + a_2 = 0\\) zamiast \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\). Warunek sumy zerowej nie ma związku z prostopadłością. |<br>| <strong>B</strong> \\(\\left(m = -\\frac{11}{10}\\right)\\) | Zastosowanie warunku <strong>równoległości</strong> \\(a_1 = a_2\\) zamiast prostopadłości - wyznaczono \\(m\\) tak, by proste były równoległe, nie prostopadłe. |<br>| <strong>C</strong> \\((m = -2)\\) | Pominięcie znaku minus przy \\(a_1\\): przyjęcie \\(a_1 = +\\dfrac{5}{4}\\) i rozwiązanie \\(\\dfrac{5}{4} \\cdot a_2 = -1\\), co daje \\(2m - 1 = -5\\), a stąd \\(m = -2\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), a <strong>nie</strong> \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\) ani \\(a_1 + a_2 = 0\\). Łatwo pomylić z warunkiem równoległości \\(a_1 = a_2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odczytując współczynnik kierunkowy z równania \\(y = -\\dfrac{5}{4}x - 2\\), pamiętaj o <strong>minusie</strong> - \\(a_1 = -\\dfrac{5}{4}\\), nie \\(+\\dfrac{5}{4}\\). Zgubienie znaku prowadzi wprost do odpowiedzi C.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(a_2 = \\dfrac{4}{2m-1}\\) wymaga \\(2m - 1 \\neq 0\\), czyli \\(m \\neq \\dfrac{1}{2}\\) - sprawdź zawsze, czy mianownik nie zeruje się dla otrzymanego wyniku. Tu \\(m = 3\\), więc \\(2 \\cdot 3 - 1 = 5 \\neq 0\\). Jest OK.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (karta wzorów) - warunek prostopadłości</h5>\n<p>Proste \\(y = a_{1}x + b_{1}\\) i \\(y = a_{2}x + b_{2}\\) są prostopadłe, gdy \\(a_{1}\\cdot a_{2} = -1\\).<br>\\[-\\dfrac{5}{4}\\cdot \\dfrac{4}{2m-1} = -1\\]<br>\\[\\dfrac{-5}{2m-1} = -1\\]<br>\\[-5 = -(2m-1)\\]<br>\\[5 = 2m-1\\Rightarrow 2m = 6\\Rightarrow m = 3.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - przez współczynnik kierunkowy prostopadłej</h5>\n<p>Do \\(y = -\\tfrac{5}{4}x - 2\\) prosta prostopadła ma współczynnik \\(\\tfrac{4}{5}\\). Porównujemy:<br>\\(\\dfrac{4}{2m-1} = \\dfrac{4}{5}\\Rightarrow 2m-1 = 5\\Rightarrow m = 3\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, B, C.</strong> - błędne rozwiązanie równania (zły znak lub złe przekształcenie).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> iloczyn współczynników kierunkowych dla prostych prostopadłych = \\(-1\\); sprawdź znak przed obliczeniami.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, proste o podanych równaniach są prostopadłe dla $m=3$, ponieważ $-\\displaystyle\\frac{5}{4}\\cdot\\frac{4}{2\\cdot3-1}=-1$.</p>"}]}