Zadanie 23. (0-1)
Proste o r贸wnaniach 饾懄= -3饾懃+ 1
3 oraz 饾懄= 1
3 饾懃-3 przecinaj膮 si臋 w punkcie 饾憙= (饾懃0, 饾懄0).
Wynika st膮d, 偶e
A. 饾懃0 > 0 i 饾懄0 > 0.
B. 饾懃0 > 0 i 饾懄0 < 0.
C. 饾懃0 < 0 i 饾懄0 > 0.
D. 饾懃0 < 0 i 饾懄0 < 0.
Proste o r贸wnaniach y=-3x+1/3 oraz y=1/3x-3 przecinaj膮 si臋 w punkcie P=(x_0,y_0). Wynika st膮d, 偶e A. x_0>0 i y_0>0. B. x_0>0 i y_0<0 C. x_0<0 i y_0>0. D. x_0<0 i y_0<0.
Zadanie 23. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie og贸lne
Wymaganie szczeg贸艂owe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdaj膮cy:
8.4) oblicza wsp贸艂rz臋dne punktu przeci臋cia
dw贸ch prostych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowied藕 poprawna.
0 pkt - odpowied藕 niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwi膮zanie
B
\\(x_0 > 0\\) i \\(y_0 < 0\\)
\nPunkt przeci臋cia dw贸ch prostych to punkt, kt贸ry le偶y na obu prostych jednocze艣nie - czyli musi spe艂nia膰 oba r贸wnania naraz.
\nPrzyr贸wnujemy prawe strony:
\\[-3x + \\frac{1}{3} = \\frac{1}{3}x - 3\\]
Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lew膮 stron臋, liczby na praw膮:
\\[-3x - \\frac{1}{3}x = -3 - \\frac{1}{3}\\]
\\[-\\frac{9}{3}x - \\frac{1}{3}x = -\\frac{9}{3} - \\frac{1}{3}\\]
\n\\[-\\frac{10}{3}x = -\\frac{10}{3}\\]
\nDzielimy obie strony przez \\(-\\frac{10}{3}\\):
\\[x_0 = 1\\]
Zatem \\(x_0 = 1 > 0\\).
\nWyznaczamy \\(y_0\\) - podstawiamy \\(x_0 = 1\\) do drugiego r贸wnania (prostszego):
\\[y_0 = \\frac{1}{3} \\cdot 1 - 3 = \\frac{1}{3} - \\frac{9}{3} = -\\frac{8}{3}\\]
Zatem \\(y_0 = -\\frac{8}{3} < 0\\).
\nMamy \\(x_0 > 0\\) i \\(y_0 < 0\\) - punkt \\(P\\) le偶y w IV 膰wiartce uk艂adu wsp贸艂rz臋dnych.
\nSprawdzamy, czy \\(x_0 = 1\\) i \\(y_0 = -\\frac{8}{3}\\) spe艂niaj膮 pierwsze r贸wnanie:
\n\\[y = -3 \\cdot 1 + \\frac{1}{3} = -3 + \\frac{1}{3} = -\\frac{9}{3} + \\frac{1}{3} = -\\frac{8}{3}\\]
\nZgadza si臋. Punkt \\(P = \\left(1, -\\frac{8}{3}\\right)\\) rzeczywi艣cie le偶y na obu prostych.
\nZnaki: \\(x_0 = 1 > 0\\), \\(y_0 = -\\frac{8}{3} < 0\\). Odpowied藕 B.
\nW tym zadaniu nie u偶ywamy konkretnych wzor贸w z karty CKE - wystarczy metoda podstawiania przy uk艂adzie r贸wna艅 liniowych (szko艂a podstawowa/pocz膮tek liceum) i znajomo艣膰 膰wiartek uk艂adu wsp贸艂rz臋dnych.
\n| Odp. | Typowy b艂膮d |
| A | Ucze艅 oblicza \\(x_0 = 1 > 0\\) poprawnie, ale do \\(y_0\\) podstawia \\(x = 0\\) zamiast \\(x = 1\\): \\(y = \\frac{1}{3} \\cdot 0 - 3 = -3 < 0\\) - wci膮偶 wychodzi B, ale zdarza si臋 te偶 b艂膮d przy odczytaniu znaku |
| C | Pomylenie \\(x\\) z \\(y\\) - ucze艅 b艂臋dnie ocenia znak \\(x_0\\), bo widzi ujemny wsp贸艂czynnik \\(-3\\) przy \\(x\\) i my艣li, 偶e \\(x\\) musi by膰 ujemne |
| D | Podw贸jny b艂膮d: z艂y znak zar贸wno dla \\(x_0\\), jak i \\(y_0\\) - np. przez b艂臋dne przeniesienie wyraz贸w przy rozwi膮zywaniu r贸wnania |
鈿狅笍 Uwaga: Nie wystarczy spojrze膰 na wsp贸艂czynniki kierunkowe! Punkt przeci臋cia wyznaczamy algebraicznie - nie ma skr贸tu.\n
鈿狅笍 Uwaga: Po wyznaczeniu \\(x_0\\) koniecznie oblicz \\(y_0\\) - podstawiaj膮c do kt贸regokolwiek z r贸wna艅 (oba daj膮 ten sam wynik, bo to punkt przeci臋cia). Nie zostawiaj \\(y_0\\) bez obliczenia!\n
鈿狅笍 Uwaga: U艂amki to najcz臋stsze 藕r贸d艂o b艂臋d贸w - \\(-3 - \\frac{1}{3} = -\\frac{9}{3} - \\frac{1}{3} = -\\frac{10}{3}\\), a nie \\(-3\\frac{1}{3}\\) rozumiane inaczej. Zawsze sprowadzaj do wsp贸lnego mianownika.\n
Poprawna odpowied藕: B
\n\\(-3x + \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{1}{3}x - 3\\)
\\(-3x - \\dfrac{1}{3}x = -3 - \\dfrac{1}{3}\\)
\\(-\\dfrac{10}{3}x = -\\dfrac{10}{3}\\)
\\(x = 1 > 0\\). Z pierwszego r贸wnania: \\(y = -3\\cdot 1 + \\dfrac{1}{3} = -\\dfrac{8}{3} < 0\\).
Zatem \\(x_{0} > 0\\) oraz \\(y_{0} < 0\\).
Obie proste przecinaj膮 o艣 \\(Oy\\) w \\(\\tfrac{1}{3} > 0\\) i \\(-3 < 0\\). Pierwsza prosta (z \\(a = -3\\)) maleje szybko, druga ro艣nie powoli. Punkt przeci臋cia ma \\(y\\) mi臋dzy \\(\\tfrac{1}{3}\\) i \\(-3\\). Z geometrii uk艂adu: przeci臋cie jest w IV 膰wiartce (\\(x>0, y<0\\)).
\nTrik: zawsze rozwi膮偶 r贸wnanie, a potem sprawd藕 znak otrzymanych warto艣ci.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, po znalezieniu punktu przeci臋cia r贸wna艅, uzyskujemy $x_0 = 3$ oraz $y_0 = -2$, co daje $x_0 > 0$ i $y_0 < 0$.
"}]}