{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nLiczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 42. Liczba wszystkich wierzchołków\ntego graniastosłupa jest równa\nA. 14\nB. 28\nC. 15\nD. 42\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐵\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nLiczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 42. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest równa A. 14 B. 28 C. 15 D. 42","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG11.1) rozpoznaje graniastosłupy […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(28\\)\n\n## Sposób 1 - wzory na graniastosłup \\(n\\)-kątny\n\nGraniastosłup, którego podstawa jest wielokątem \\(n\\)-kątnym, ma:\n- **krawędzie podstaw**: \\(n + n = 2n\\) (dwie podstawy, każda ma \\(n\\) boków)\n- **krawędzie boczne**: \\(n\\) (łączą odpowiadające wierzchołki obu podstaw)\n- **łącznie krawędzi**: \\(2n + n = 3n\\)\n- **wierzchołków**: \\(n + n = 2n\\)\n\nZ treści zadania wiemy, że łączna liczba krawędzi wynosi \\(42\\):\n\\[3n = 42\\]\n\\[n = 14\\]\n\nPodstawą jest zatem 14-kąt. Liczba wierzchołków:\n\\[2n = 2 \\cdot 14 = \\mathbf{28}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez ściany i wzór Eulera\n\nDla graniastosłupa 14-kątnego sprawdzamy wzorem Eulera:\n\\[V - E + F = 2\\]\ngdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.\n\nDane dla graniastosłupa 14-kątnego:\n- \\(V = 28\\) (wierzchołki)\n- \\(E = 42\\) (krawędzie - dane w zadaniu)\n- \\(F = 14 + 2 = 16\\) (14 ścian bocznych + 2 podstawy)\n\nSprawdzamy:\n\\[28 - 42 + 16 = 2 \\checkmark\\]\n\nWzór Eulera potwierdza poprawność odpowiedzi.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji graniastosłupa i wzorów na liczbę jego elementów (krawędzi, wierzchołków, ścian) wynikających z geometrii bryły.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(14\\) | Uczeń wyznaczył \\(n = 14\\) (rodzaj podstawy), ale zapomniał, że wierzchołków jest \\(2n\\), nie \\(n\\) |\n| C: \\(15\\) | Przypadkowe dodanie 1 do \\(n\\) - nie ma żadnego uzasadnienia geometrycznego |\n| D: \\(42\\) | Utożsamienie liczby wierzchołków z liczbą krawędzi - klasyczna pomyłka przy nieznajomości wzorów |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że krawędzi jest **trzy razy** więcej niż bok podstawy (\\(3n\\)), a wierzchołków **dwa razy** więcej (\\(2n\\)). Łatwo pomylić te zależności pod presją czasu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie brzmi o **wierzchołki**, a obliczenia prowadzą przez \\(n = 14\\) - uważaj, żeby nie podać \\(14\\) jako odpowiedzi (to tylko rodzaj wielokąta podstawy, nie liczba wierzchołków).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) to przydatne narzędzie do weryfikacji - zapamiętaj go, nie ma go na karcie wzorów CKE, ale jest łatwy do wyprowadzenia lub zapamiętania.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - liczba krawędzi i wierzchołków graniastosłupa\nGraniastosłup o podstawie \\(n\\)-kąta: krawędzi \\(3n\\) (2 podstawy po \\(n\\) + \\(n\\) bocznych), wierzchołków \\(2n\\).\n\\(3n = 42\\Rightarrow n = 14\\). Wierzchołków: \\(2\\cdot 14 = 28\\).\n\n### Sposób 2 - proporcja\nDla graniastosłupa liczba wierzchołków \\(= \\dfrac{2}{3}\\) liczby krawędzi (bo \\(2n\\) wobec \\(3n\\)).\n\\(\\dfrac{2}{3}\\cdot 42 = 28\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(14\\)** - to liczba boków podstawy \\(n\\), nie wierzchołków.\n- **C. \\(15\\)** - błąd rachunkowy.\n- **D. \\(42\\)** - tyle krawędzi, nie wierzchołków.\n\n**Trik:** zapamiętaj: graniastosłup \\(n\\)-kątny ma \\(3n\\) krawędzi, \\(2n\\) wierzchołków, \\(n+2\\) ścian.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 42. Liczba wszystkich wierzchołków<br>tego graniastosłupa jest równa<br>A. 14<br>B. 28<br>C. 15<br>D. 42<br>𝐴<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐸<br>𝐵</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 42. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest równa A. 14 B. 28 C. 15 D. 42</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>G11.1) rozpoznaje graniastosłupy […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(28\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzory na graniastosłup \\(n\\)-kątny</h4>\n<p>Graniastosłup, którego podstawa jest wielokątem \\(n\\)-kątnym, ma:</p>\n<ul><li><strong>krawędzie podstaw</strong>: \\(n + n = 2n\\) (dwie podstawy, każda ma \\(n\\) boków)</li><li><strong>krawędzie boczne</strong>: \\(n\\) (łączą odpowiadające wierzchołki obu podstaw)</li><li><strong>łącznie krawędzi</strong>: \\(2n + n = 3n\\)</li><li><strong>wierzchołków</strong>: \\(n + n = 2n\\)</li></ul>\n<p>Z treści zadania wiemy, że łączna liczba krawędzi wynosi \\(42\\):<br>\\[3n = 42\\]<br>\\[n = 14\\]</p>\n<p>Podstawą jest zatem 14-kąt. Liczba wierzchołków:<br>\\[2n = 2 \\cdot 14 = \\mathbf{28}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez ściany i wzór Eulera</h4>\n<p>Dla graniastosłupa 14-kątnego sprawdzamy wzorem Eulera:<br>\\[V - E + F = 2\\]<br>gdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.</p>\n<p>Dane dla graniastosłupa 14-kątnego:</p>\n<ul><li>\\(V = 28\\) (wierzchołki)</li><li>\\(E = 42\\) (krawędzie - dane w zadaniu)</li><li>\\(F = 14 + 2 = 16\\) (14 ścian bocznych + 2 podstawy)</li></ul>\n<p>Sprawdzamy:<br>\\[28 - 42 + 16 = 2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wzór Eulera potwierdza poprawność odpowiedzi.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji graniastosłupa i wzorów na liczbę jego elementów (krawędzi, wierzchołków, ścian) wynikających z geometrii bryły.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\(14\\) | Uczeń wyznaczył \\(n = 14\\) (rodzaj podstawy), ale zapomniał, że wierzchołków jest \\(2n\\), nie \\(n\\) |<br>| C: \\(15\\) | Przypadkowe dodanie 1 do \\(n\\) - nie ma żadnego uzasadnienia geometrycznego |<br>| D: \\(42\\) | Utożsamienie liczby wierzchołków z liczbą krawędzi - klasyczna pomyłka przy nieznajomości wzorów |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że krawędzi jest <strong>trzy razy</strong> więcej niż bok podstawy (\\(3n\\)), a wierzchołków <strong>dwa razy</strong> więcej (\\(2n\\)). Łatwo pomylić te zależności pod presją czasu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pytanie brzmi o <strong>wierzchołki</strong>, a obliczenia prowadzą przez \\(n = 14\\) - uważaj, żeby nie podać \\(14\\) jako odpowiedzi (to tylko rodzaj wielokąta podstawy, nie liczba wierzchołków).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) to przydatne narzędzie do weryfikacji - zapamiętaj go, nie ma go na karcie wzorów CKE, ale jest łatwy do wyprowadzenia lub zapamiętania.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - liczba krawędzi i wierzchołków graniastosłupa</h5>\n<p>Graniastosłup o podstawie \\(n\\)-kąta: krawędzi \\(3n\\) (2 podstawy po \\(n\\) + \\(n\\) bocznych), wierzchołków \\(2n\\).<br>\\(3n = 42\\Rightarrow n = 14\\). Wierzchołków: \\(2\\cdot 14 = 28\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - proporcja</h5>\n<p>Dla graniastosłupa liczba wierzchołków \\(= \\dfrac{2}{3}\\) liczby krawędzi (bo \\(2n\\) wobec \\(3n\\)).<br>\\(\\dfrac{2}{3}\\cdot 42 = 28\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(14\\)</strong> - to liczba boków podstawy \\(n\\), nie wierzchołków.</li><li><strong>C. \\(15\\)</strong> - błąd rachunkowy.</li><li><strong>D. \\(42\\)</strong> - tyle krawędzi, nie wierzchołków.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> zapamiętaj: graniastosłup \\(n\\)-kątny ma \\(3n\\) krawędzi, \\(2n\\) wierzchołków, \\(n+2\\) ścian.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zacznijmy od przypomnienia wzoru na liczbę krawędzi $E$, wierzchołków $V$ i ścian $F$ graniastosłupa. Wzory te są następujące:</li></ol>\n<p>$$E = 3n$$<br>$$V = 2n$$<br>$$F = n + 2$$<br>gdzie $n$ to liczba krawędzi podstawy graniastosłupa.</p>\n<ol><li>Wiemy, że liczba wszystkich krawędzi $E$ wynosi 42. Zapamiętujemy ten wynik.</li></ol>\n<ol><li>Podstawiamy do wzoru na liczbę krawędzi:</li></ol>\n<p>$$42 = 3n$$</p>\n<ol><li>Teraz przekształcamy równanie, aby znaleźć $n$. Dzielimy obie strony równania przez 3:</li></ol>\n<p>$$n = \\frac{42}{3}$$</p>\n<ol><li>Obliczamy wartość $n$:</li></ol>\n<p>$$n = 14$$</p>\n<ol><li>Zapisujemy wzór na liczbę wierzchołków $V$ i podstawiamy znalezioną wartość $n$:</li></ol>\n<p>$$V = 2n = 2 \\cdot 14$$</p>\n<ol><li>Obliczamy wartość $V$:</li></ol>\n<p>$$V = 28$$</p>\n<ol><li>Ostatecznie stwierdzamy, że liczba wszystkich wierzchołków graniastosłupa wynosi 28.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> B</p>"}]}