{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają długość 8. Pole powierzchni\ncałkowitej tego ostrosłupa jest równe\nA. 64√3\nB. 64√2\nC. 16√3\nD. 16√2\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają długość 8. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe A. 64√3 B. 64√2 C. 16√3 D. 16√2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG11.2) oblicza pole powierzchni […]\nostrosłupa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(64\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wszystkie ściany to trójkąty równoboczne\n\n**Kluczowa obserwacja:** W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym z równymi krawędziami:\n- podstawa = trójkąt równoboczny o boku \\(a = 8\\)\n- każda ściana boczna = trójkąt o bokach: jedna krawędź podstawy (długość 8) i dwie krawędzie boczne (długość 8)\n\nZatem **każda ze 4 ścian jest trójkątem równobocznym o boku 8.**\n\n**Pole jednego trójkąta równobocznego** (dział 10, s. 15):\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{8^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{64\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]\n\n**Pole powierzchni całkowitej** (1 podstawa + 3 ściany boczne):\n\\[P_c = 4 \\cdot P_{\\triangle} = 4 \\cdot 16\\sqrt{3} = \\boxed{64\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Osobno podstawa i ściany boczne (przez apotema)\n\n**Podstawa** (trójkąt równoboczny, bok \\(a = 8\\)):\n\\[P_p = \\frac{8^2\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]\n\n**Ściany boczne** - korzystamy ze wzoru \\(P_b = \\frac{1}{2} \\cdot O_p \\cdot l\\), gdzie \\(l\\) to apotema ściany bocznej (wysokość trójkąta równobocznego o boku 8):\n\\[l = \\frac{8\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}\\]\n\nObwód podstawy: \\(O_p = 3 \\cdot 8 = 24\\)\n\n\\[P_b = \\frac{1}{2} \\cdot 24 \\cdot 4\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\]\n\n**Łącznie:**\n\\[P_c = P_p + P_b = 16\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = \\boxed{64\\sqrt{3}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyte do policzenia pola każdej ze czterech ścian (wszystkie są trójkątami równobocznymi).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - wysokość trójkąta równobocznego:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 2 jako apotema ściany bocznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B \\(64\\sqrt{2}\\) | Użycie \\(\\sqrt{2}\\) zamiast \\(\\sqrt{3}\\) - pomylenie wzoru trójkąta równobocznego ze wzorem przekątnej kwadratu |\n| C \\(16\\sqrt{3}\\) | Policzono tylko pole **podstawy** i zapomniano o 3 ścianach bocznych |\n| D \\(16\\sqrt{2}\\) | Błąd podwójny: zły pierwiastek \\(\\sqrt{2}\\) i pominięte ściany boczne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Wszystkie krawędzie równe\" to nie to samo co „ostrosłup foremny\" (regularny ostrosłup to tylko regularna podstawa + wierzchołek nad jej środkiem). Tu mamy szczególny przypadek - wszystkie 4 ściany są równobocznymi trójkątami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **apotemy ściany bocznej** (wysokość trójkąta bocznego, \\(l = 4\\sqrt{3}\\)) z **wysokością ostrosłupa** (odległość wierzchołka od podstawy, którą liczymy inaczej i która tu nie jest potrzebna).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ostrosłup ma **4 ściany** (3 boczne + 1 podstawa) - łatwo pominąć podstawę albo policzyć tylko 3 ściany boczne i zapomnieć ją dodać.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - pole trójkąta równobocznego\n\\(P_{\\triangle} = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\). Dla \\(a = 8\\): \\(P_{\\triangle} = \\dfrac{64\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\).\nOstrosłup prawidłowy trójkątny o wszystkich krawędziach \\(=8\\) to czworościan foremny - ma 4 ściany trójkątne równoboczne.\n\\[P_{c} = 4\\cdot 16\\sqrt{3} = 64\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - liczenie podstawa + ściany boczne\nPodstawa: trójkąt równoboczny \\(=16\\sqrt{3}\\). Trzy ściany boczne (każda to trójkąt równoboczny o boku 8): \\(3\\cdot 16\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\). Razem \\(16\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = 64\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(64\\sqrt{2}\\)**, **D. \\(16\\sqrt{2}\\)** - \\(\\sqrt{2}\\) nie pojawia się w tym zadaniu.\n- **C. \\(16\\sqrt{3}\\)** - to pole tylko jednej ściany.\n\n**Trik:** \"wszystkie krawędzie równe\" w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym = czworościan foremny (4 ściany równoboczne).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają długość 8. Pole powierzchni<br>całkowitej tego ostrosłupa jest równe<br>A. 64√3<br>B. 64√2<br>C. 16√3<br>D. 16√2<br>W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają długość 8. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe A. 64√3 B. 64√2 C. 16√3 D. 16√2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>G11.2) oblicza pole powierzchni […]<br>ostrosłupa.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(64\\sqrt{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wszystkie ściany to trójkąty równoboczne</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym z równymi krawędziami:</p>\n<ul><li>podstawa = trójkąt równoboczny o boku \\(a = 8\\)</li><li>każda ściana boczna = trójkąt o bokach: jedna krawędź podstawy (długość 8) i dwie krawędzie boczne (długość 8)</li></ul>\n<p>Zatem <strong>każda ze 4 ścian jest trójkątem równobocznym o boku 8.</strong></p>\n<p><strong>Pole jednego trójkąta równobocznego</strong> (dział 10, s. 15):<br>\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{8^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{64\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Pole powierzchni całkowitej</strong> (1 podstawa + 3 ściany boczne):<br>\\[P_c = 4 \\cdot P_{\\triangle} = 4 \\cdot 16\\sqrt{3} = \\boxed{64\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Osobno podstawa i ściany boczne (przez apotema)</h4>\n<p><strong>Podstawa</strong> (trójkąt równoboczny, bok \\(a = 8\\)):<br>\\[P_p = \\frac{8^2\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Ściany boczne</strong> - korzystamy ze wzoru \\(P_b = \\frac{1}{2} \\cdot O_p \\cdot l\\), gdzie \\(l\\) to apotema ściany bocznej (wysokość trójkąta równobocznego o boku 8):<br>\\[l = \\frac{8\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Obwód podstawy: \\(O_p = 3 \\cdot 8 = 24\\)</p>\n<p>\\[P_b = \\frac{1}{2} \\cdot 24 \\cdot 4\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Łącznie:</strong><br>\\[P_c = P_p + P_b = 16\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = \\boxed{64\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):<br>\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]<br>Użyte do policzenia pola każdej ze czterech ścian (wszystkie są trójkątami równobocznymi).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - wysokość trójkąta równobocznego:<br>\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]<br>Użyte w Sposobie 2 jako apotema ściany bocznej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B \\(64\\sqrt{2}\\) | Użycie \\(\\sqrt{2}\\) zamiast \\(\\sqrt{3}\\) - pomylenie wzoru trójkąta równobocznego ze wzorem przekątnej kwadratu |<br>| C \\(16\\sqrt{3}\\) | Policzono tylko pole <strong>podstawy</strong> i zapomniano o 3 ścianach bocznych |<br>| D \\(16\\sqrt{2}\\) | Błąd podwójny: zły pierwiastek \\(\\sqrt{2}\\) i pominięte ściany boczne |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> „Wszystkie krawędzie równe&quot; to nie to samo co „ostrosłup foremny&quot; (regularny ostrosłup to tylko regularna podstawa + wierzchołek nad jej środkiem). Tu mamy szczególny przypadek - wszystkie 4 ściany są równobocznymi trójkątami.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić <strong>apotemy ściany bocznej</strong> (wysokość trójkąta bocznego, \\(l = 4\\sqrt{3}\\)) z <strong>wysokością ostrosłupa</strong> (odległość wierzchołka od podstawy, którą liczymy inaczej i która tu nie jest potrzebna).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ostrosłup ma <strong>4 ściany</strong> (3 boczne + 1 podstawa) - łatwo pominąć podstawę albo policzyć tylko 3 ściany boczne i zapomnieć ją dodać.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (karta wzorów) - pole trójkąta równobocznego</h5>\n<p>\\(P_{\\triangle} = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\). Dla \\(a = 8\\): \\(P_{\\triangle} = \\dfrac{64\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\).<br>Ostrosłup prawidłowy trójkątny o wszystkich krawędziach \\(=8\\) to czworościan foremny - ma 4 ściany trójkątne równoboczne.<br>\\[P_{c} = 4\\cdot 16\\sqrt{3} = 64\\sqrt{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - liczenie podstawa + ściany boczne</h5>\n<p>Podstawa: trójkąt równoboczny \\(=16\\sqrt{3}\\). Trzy ściany boczne (każda to trójkąt równoboczny o boku 8): \\(3\\cdot 16\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\). Razem \\(16\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = 64\\sqrt{3}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(64\\sqrt{2}\\)</strong>, <strong>D. \\(16\\sqrt{2}\\)</strong> - \\(\\sqrt{2}\\) nie pojawia się w tym zadaniu.</li><li><strong>C. \\(16\\sqrt{3}\\)</strong> - to pole tylko jednej ściany.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> &quot;wszystkie krawędzie równe&quot; w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym = czworościan foremny (4 ściany równoboczne).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, ostrosłup, o którym mowa w treści zadania to czworościan foremny. Pole tej figury obliczamy korzystając ze wzoru $P=4\\cdot\\displaystyle\\frac{a^2\\sqrt3}{4}=a^2\\sqrt3$, gdzie $a$ to długość krawędzi tego czworościanu. Czyli dla $a=8$, mamy $P=64\\sqrt3$.</p>"}]}