{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nRozważamy wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe, których suma cyfr jest równa 3.\nWszystkich takich liczb jest\nA. 13\nB. 10\nC. 7\nD. 9\nRozważamy wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe, których suma cyfr jest równa 3. Wszystkich takich liczb jest A. 13 B. 10 C. 7 D. 9","answer":"B","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n10.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających\nużycia wzorów kombinatorycznych, stosuje\nregułę mnożenia i regułę dodawania.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - **10 liczb**\n\n## Sposób 1 - Systematyczne przypadki według pierwszej cyfry\n\nSzukamy czterocyfrowych liczb naturalnych \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 d_4}\\), gdzie:\n- \\(d_1 \\in \\{1, 2, 3, \\ldots, 9\\}\\) (pierwsza cyfra jest niezerowa)\n- \\(d_2, d_3, d_4 \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\)\n- \\(d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 3\\)\n\nPonieważ suma cyfr wynosi 3, a każda cyfra jest nieujemna, pierwsza cyfra może być tylko 1, 2 lub 3 (nie więcej).\n\n**Przypadek \\(d_1 = 3\\):** pozostałe cyfry sumują się do 0, więc \\(d_2 = d_3 = d_4 = 0\\).\n\\[3000 \\quad \\Rightarrow \\quad \\textbf{1 liczba}\\]\n\n**Przypadek \\(d_1 = 2\\):** \\(d_2 + d_3 + d_4 = 1\\), dokładnie jedna z pozostałych cyfr równa 1, reszta 0.\n\\[2100, \\quad 2010, \\quad 2001 \\quad \\Rightarrow \\quad \\textbf{3 liczby}\\]\n\n**Przypadek \\(d_1 = 1\\):** \\(d_2 + d_3 + d_4 = 2\\). Teraz rozkładamy 2 na trzy cyfry:\n\n- *jedna cyfra równa 2, dwie zera:* \\(1200, \\ 1020, \\ 1002\\) → 3 liczby\n- *dwie cyfry równe 1, jedna zero:* \\(1110, \\ 1101, \\ 1011\\) → 3 liczby\n\n\\[\\Rightarrow \\quad \\textbf{6 liczb}\\]\n\n**Łącznie:**\n\\[1 + 3 + 6 = \\boxed{10}\\]\n\n## Sposób 2 - Kombinatorycznie (gwiazdki i przegrody)\n\nSzukamy liczby rozwiązań całkowitoliczbowych:\n\\[d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 3, \\quad d_1 \\geq 1, \\quad d_2, d_3, d_4 \\geq 0\\]\n\nPodstawiamy \\(e_1 = d_1 - 1 \\geq 0\\), skąd:\n\\[e_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 2, \\quad \\text{wszystkie} \\geq 0\\]\n\nLiczba nieujemnych rozwiązań całkowitoliczbowych równania \\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 2\\) to (metoda gwiazdek i przegród):\n\\[\\binom{2 + 3}{3} = \\binom{5}{3} = \\frac{5!}{3! \\cdot 2!} = \\frac{5 \\cdot 4}{2} = \\boxed{10}\\]\n\nWynik zgodny z Przypadkiem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)** - symbol Newtona:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do policzenia liczby rozwiązań metodą gwiazdek i przegród: \\(\\binom{5}{3} = 10\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(13\\)) | Uwzględnienie liczb z wiodącym zerem, np. \\(0300\\), \\(0030\\) itd. - to nie są liczby czterocyfrowe |\n| C (\\(7\\)) | Pominięcie przypadku \\(d_1 = 1\\) z dwiema jedynkami wśród pozostałych cyfr (\\(1110, 1101, 1011\\)) |\n| D (\\(9\\)) | Pominięcie jednego podprzypadku, np. zapomnienie o \\(1011\\) lub \\(1002\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba czterocyfrowa **musi zaczynać się od cyfry niezerowej** - \\(0120\\) nie jest liczbą czterocyfrową! To najczęstszy błąd zawyżający wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pominąć podprzypadki przy \\(d_1 = 1\\) - są dwa różne wzorce rozkładu (\\(2+0+0\\) i \\(1+1+0\\)), warto je rozpatrzyć osobno i systematycznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfry \\(d_2, d_3, d_4\\) są **różnych pozycjach** - liczby \\(2100\\), \\(2010\\), \\(2001\\) to **trzy różne liczby**, nawet jeśli zawierają te same cyfry.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - wypisanie wszystkich liczb\nPierwsza cyfra \\(\\geq 1\\). Rozważamy możliwe kombinacje cyfr sumujących się do 3:\n\\(3000\\); \\(2100, 2010, 2001\\); \\(1200, 1020, 1002\\); \\(1110, 1101, 1011\\).\nRazem: 1 + 3 + 3 + 3 = 10 liczb.\n\n### Sposób 2 - kombinatoryka\nSzukamy \\(a + b + c + d = 3\\), gdzie \\(a \\geq 1\\) (pierwsza cyfra), \\(b, c, d \\geq 0\\).\nPodstawiając \\(a' = a - 1\\geq 0\\): \\(a' + b + c + d = 2\\). Liczba rozwiązań nieujemnych (kombinacje z powtórzeniami): \\(\\binom{2+3}{3} = \\binom{5}{3} = 10\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(13\\)** - dodano liczby z pierwszą cyfrą \\(0\\).\n- **C. \\(7\\)**, **D. \\(9\\)** - pominięto część kombinacji.\n\n**Trik:** przy małych sumach cyfr szybciej wypisać wszystkie liczby niż stosować wzory.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (0-1)
Rozważamy wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe, których suma cyfr jest równa 3.
Wszystkich takich liczb jest
A. 13
B. 10
C. 7
D. 9
Rozważamy wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe, których suma cyfr jest równa 3. Wszystkich takich liczb jest A. 13 B. 10 C. 7 D. 9

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
10.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
kombinatorycznych, niewymagających
użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje
regułę mnożenia i regułę dodawania.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - 10 liczb

\n

Sposób 1 - Systematyczne przypadki według pierwszej cyfry

\n

Szukamy czterocyfrowych liczb naturalnych \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 d_4}\\), gdzie:

\n\n

Ponieważ suma cyfr wynosi 3, a każda cyfra jest nieujemna, pierwsza cyfra może być tylko 1, 2 lub 3 (nie więcej).

\n

Przypadek \\(d_1 = 3\\): pozostałe cyfry sumują się do 0, więc \\(d_2 = d_3 = d_4 = 0\\).
\\[3000 \\quad \\Rightarrow \\quad \\textbf{1 liczba}\\]

\n

Przypadek \\(d_1 = 2\\): \\(d_2 + d_3 + d_4 = 1\\), dokładnie jedna z pozostałych cyfr równa 1, reszta 0.
\\[2100, \\quad 2010, \\quad 2001 \\quad \\Rightarrow \\quad \\textbf{3 liczby}\\]

\n

Przypadek \\(d_1 = 1\\): \\(d_2 + d_3 + d_4 = 2\\). Teraz rozkładamy 2 na trzy cyfry:

\n\n

\\[\\Rightarrow \\quad \\textbf{6 liczb}\\]

\n

Łącznie:
\\[1 + 3 + 6 = \\boxed{10}\\]

\n

Sposób 2 - Kombinatorycznie (gwiazdki i przegrody)

\n

Szukamy liczby rozwiązań całkowitoliczbowych:
\\[d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 3, \\quad d_1 \\geq 1, \\quad d_2, d_3, d_4 \\geq 0\\]

\n

Podstawiamy \\(e_1 = d_1 - 1 \\geq 0\\), skąd:
\\[e_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 2, \\quad \\text{wszystkie} \\geq 0\\]

\n

Liczba nieujemnych rozwiązań całkowitoliczbowych równania \\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 2\\) to (metoda gwiazdek i przegród):
\\[\\binom{2 + 3}{3} = \\binom{5}{3} = \\frac{5!}{3! \\cdot 2!} = \\frac{5 \\cdot 4}{2} = \\boxed{10}\\]

\n

Wynik zgodny z Przypadkiem 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6) - symbol Newtona:
\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do policzenia liczby rozwiązań metodą gwiazdek i przegród: \\(\\binom{5}{3} = 10\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A (\\(13\\)) | Uwzględnienie liczb z wiodącym zerem, np. \\(0300\\), \\(0030\\) itd. - to nie są liczby czterocyfrowe |
| C (\\(7\\)) | Pominięcie przypadku \\(d_1 = 1\\) z dwiema jedynkami wśród pozostałych cyfr (\\(1110, 1101, 1011\\)) |
| D (\\(9\\)) | Pominięcie jednego podprzypadku, np. zapomnienie o \\(1011\\) lub \\(1002\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Liczba czterocyfrowa musi zaczynać się od cyfry niezerowej - \\(0120\\) nie jest liczbą czterocyfrową! To najczęstszy błąd zawyżający wynik.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pominąć podprzypadki przy \\(d_1 = 1\\) - są dwa różne wzorce rozkładu (\\(2+0+0\\) i \\(1+1+0\\)), warto je rozpatrzyć osobno i systematycznie.
\n
⚠️ Uwaga: Cyfry \\(d_2, d_3, d_4\\) są różnych pozycjach - liczby \\(2100\\), \\(2010\\), \\(2001\\) to trzy różne liczby, nawet jeśli zawierają te same cyfry.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - wypisanie wszystkich liczb
\n

Pierwsza cyfra \\(\\geq 1\\). Rozważamy możliwe kombinacje cyfr sumujących się do 3:
\\(3000\\); \\(2100, 2010, 2001\\); \\(1200, 1020, 1002\\); \\(1110, 1101, 1011\\).
Razem: 1 + 3 + 3 + 3 = 10 liczb.

\n
Sposób 2 - kombinatoryka
\n

Szukamy \\(a + b + c + d = 3\\), gdzie \\(a \\geq 1\\) (pierwsza cyfra), \\(b, c, d \\geq 0\\).
Podstawiając \\(a' = a - 1\\geq 0\\): \\(a' + b + c + d = 2\\). Liczba rozwiązań nieujemnych (kombinacje z powtórzeniami): \\(\\binom{2+3}{3} = \\binom{5}{3} = 10\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: przy małych sumach cyfr szybciej wypisać wszystkie liczby niż stosować wzory.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, rozważamy liczby czterocyfrowe, których suma cyfr wynosi $3$. Zatem musimy rozważyć następujące przypadki: $1)$ cyfra $3$ - jest cyfrą tysięcy, wówczas pozostałe cyfry tej liczby to zera i istnieje dokładnie jedna taka liczba równa $3000$, $2)$ cyfra $2$ jest cyfrą tysięcy wówczas pozostałe cyfry to jedna cyfra $1$ i dwie cyfry $0$- możemy otrzymać w ten sposób trzy różne liczby. $3)$ cyfra $1$ jest cyfrą tysięcy, a w zapisie tej liczby występuje jeszcze jedna cyfra $2$ i dwie cyfry $0$ - możemy otrzymać w ten sposób trzy różne liczby $4)$ cyfra $1$ jest cyfrą tysięcy, a w zapisie tej liczby występują jeszcze dwie cyfry $1$ i jedna cyfra $0$ możemy utworzyć w ten sposób trzy różne liczby spełniające warunki zadania. Zatem podsumowując rozwiązania przypadków $1)-4)$ otrzymaliśmy, że istnieje $10$ liczb spełniających warunki zadania.

"}]}