{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nW pudełku są tylko kule białe, czarne i zielone. Kul białych jest dwa razy więcej niż czarnych,\na czarnych jest trzy razy więcej niż zielonych. Z pudełka losujemy jedną kulę.\nPrawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe\nA. 2\n3\nB. 2\n9\nC. 1\n6\nD. 3\n5\nW pudełku są tylko kule białe, czarne i zielone. Kul białych jest dwa razy więcej niż czarnych, a czarnych jest trzy razy więcej niż zielonych. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe A. 2/3 B. 2/9 C. 1/6 D. 3/5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{3}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie zmiennej dla kul zielonych\n\n**Oznaczamy liczbę kul zielonych jako \\(z\\).**\n\nZ treści zadania wynika:\n- czarnych jest trzy razy więcej niż zielonych: \\(\\text{czarne} = 3z\\)\n- białych jest dwa razy więcej niż czarnych: \\(\\text{białe} = 2 \\cdot 3z = 6z\\)\n\n**Łączna liczba kul:**\n\\[\\text{razem} = z + 3z + 6z = 10z\\]\n\n**Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej:**\n\\[P(\\text{biała}) = \\frac{6z}{10z} = \\frac{6}{10} = \\boxed{\\frac{3}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez proporcje (konkretne liczby)\n\nZamiast zmiennej wybieramy **konkretną liczbę kul zielonych**, np. \\(z = 1\\):\n\n| Kolor | Liczba kul |\n| Zielone | \\(1\\) |\n| Czarne | \\(3 \\cdot 1 = 3\\) |\n| Białe | \\(2 \\cdot 3 = 6\\) |\n| **Razem** | **\\(10\\)** |\n\n\\[P(\\text{biała}) = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(\\frac{6}{10} + \\frac{3}{10} + \\frac{1}{10} = \\frac{10}{10} = 1\\) ✓ Suma prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń daje 1 - wszystko się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba kul białych, a \\(|\\Omega|\\) to łączna liczba kul w pudełku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A \\(\\frac{2}{3}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{\\text{białe}}{\\text{czarne}+\\text{białe}} = \\frac{6}{9} = \\frac{2}{3}\\) - **zapomina o kulach zielonych** w mianowniku |\n| B \\(\\frac{2}{9}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{\\text{czarne}}{\\text{razem}} = \\frac{3}{9}\\) albo myli proporcję - **oblicza prawdopodobieństwo dla czarnych** zamiast białych |\n| C \\(\\frac{1}{6}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{\\text{zielone}}{\\text{razem}} = \\frac{1}{6}\\) - **oblicza prawdopodobieństwo dla zielonych** zamiast białych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zwrot \"dwa razy więcej\" znaczy \"dwa razy tyle\" - czyli białych = \\(2 \\times \\text{czarne}\\), nie \\(\\text{czarne} + 2\\). To częsty błąd językowy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łańcuch zależności idzie od zielonych: najpierw czarne = \\(3 \\times\\) zielone, potem białe = \\(2 \\times\\) czarne. Nie liczymy bezpośrednio białe = \\(2 \\times\\) zielone!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W mianowniku muszą znaleźć się **wszystkie** kule - biała, czarna i zielona. Pominięcie którejkolwiek grupy to najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - zmienna pomocnicza\nNiech \\(z\\) = liczba zielonych. Wtedy czarnych \\(= 3z\\), białych \\(= 2\\cdot 3z = 6z\\).\nRazem: \\(z + 3z + 6z = 10z\\).\n\\[P(\\text{biała}) = \\dfrac{6z}{10z} = \\dfrac{3}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - konkretne liczby\nWeź \\(z = 1\\): \\(3\\) czarne, \\(6\\) białych, razem \\(10\\). \\(P = \\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - \\(\\tfrac{6}{9}\\), pominięto zielone.\n- **B. \\(\\tfrac{2}{9}\\)** - błędne proporcje.\n- **C. \\(\\tfrac{1}{6}\\)** - to \\(P(\\text{zielona}) = \\tfrac{1}{10}\\) też nie, po prostu błąd.\n\n**Trik:** przy hierarchii \"dwa razy więcej\", \"trzy razy więcej\" zacznij od NAJMNIEJSZEJ kategorii jako parametru.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>W pudełku są tylko kule białe, czarne i zielone. Kul białych jest dwa razy więcej niż czarnych,<br>a czarnych jest trzy razy więcej niż zielonych. Z pudełka losujemy jedną kulę.<br>Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe<br>A. 2<br>3<br>B. 2<br>9<br>C. 1<br>6<br>D. 3<br>5<br>W pudełku są tylko kule białe, czarne i zielone. Kul białych jest dwa razy więcej niż czarnych, a czarnych jest trzy razy więcej niż zielonych. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe A. 2/3 B. 2/9 C. 1/6 D. 3/5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>10.2) oblicza prawdopodobieństwa<br>w prostych sytuacjach, stosując klasyczną<br>definicję prawdopodobieństwa.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{3}{5}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie zmiennej dla kul zielonych</h4>\n<p><strong>Oznaczamy liczbę kul zielonych jako \\(z\\).</strong></p>\n<p>Z treści zadania wynika:</p>\n<ul><li>czarnych jest trzy razy więcej niż zielonych: \\(\\text{czarne} = 3z\\)</li><li>białych jest dwa razy więcej niż czarnych: \\(\\text{białe} = 2 \\cdot 3z = 6z\\)</li></ul>\n<p><strong>Łączna liczba kul:</strong><br>\\[\\text{razem} = z + 3z + 6z = 10z\\]</p>\n<p><strong>Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej:</strong><br>\\[P(\\text{biała}) = \\frac{6z}{10z} = \\frac{6}{10} = \\boxed{\\frac{3}{5}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez proporcje (konkretne liczby)</h4>\n<p>Zamiast zmiennej wybieramy <strong>konkretną liczbę kul zielonych</strong>, np. \\(z = 1\\):</p>\n<p>| Kolor | Liczba kul |<br>| Zielone | \\(1\\) |<br>| Czarne | \\(3 \\cdot 1 = 3\\) |<br>| Białe | \\(2 \\cdot 3 = 6\\) |<br>| <strong>Razem</strong> | <strong>\\(10\\)</strong> |</p>\n<p>\\[P(\\text{biała}) = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> \\(\\frac{6}{10} + \\frac{3}{10} + \\frac{1}{10} = \\frac{10}{10} = 1\\) ✓ Suma prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń daje 1 - wszystko się zgadza.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>gdzie \\(|A|\\) to liczba kul białych, a \\(|\\Omega|\\) to łączna liczba kul w pudełku.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A \\(\\frac{2}{3}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{\\text{białe}}{\\text{czarne}+\\text{białe}} = \\frac{6}{9} = \\frac{2}{3}\\) - <strong>zapomina o kulach zielonych</strong> w mianowniku |<br>| B \\(\\frac{2}{9}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{\\text{czarne}}{\\text{razem}} = \\frac{3}{9}\\) albo myli proporcję - <strong>oblicza prawdopodobieństwo dla czarnych</strong> zamiast białych |<br>| C \\(\\frac{1}{6}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{\\text{zielone}}{\\text{razem}} = \\frac{1}{6}\\) - <strong>oblicza prawdopodobieństwo dla zielonych</strong> zamiast białych |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zwrot &quot;dwa razy więcej&quot; znaczy &quot;dwa razy tyle&quot; - czyli białych = \\(2 \\times \\text{czarne}\\), nie \\(\\text{czarne} + 2\\). To częsty błąd językowy!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łańcuch zależności idzie od zielonych: najpierw czarne = \\(3 \\times\\) zielone, potem białe = \\(2 \\times\\) czarne. Nie liczymy bezpośrednio białe = \\(2 \\times\\) zielone!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W mianowniku muszą znaleźć się <strong>wszystkie</strong> kule - biała, czarna i zielona. Pominięcie którejkolwiek grupy to najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - zmienna pomocnicza</h5>\n<p>Niech \\(z\\) = liczba zielonych. Wtedy czarnych \\(= 3z\\), białych \\(= 2\\cdot 3z = 6z\\).<br>Razem: \\(z + 3z + 6z = 10z\\).<br>\\[P(\\text{biała}) = \\dfrac{6z}{10z} = \\dfrac{3}{5}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - konkretne liczby</h5>\n<p>Weź \\(z = 1\\): \\(3\\) czarne, \\(6\\) białych, razem \\(10\\). \\(P = \\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{2}{3}\\)</strong> - \\(\\tfrac{6}{9}\\), pominięto zielone.</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{2}{9}\\)</strong> - błędne proporcje.</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{1}{6}\\)</strong> - to \\(P(\\text{zielona}) = \\tfrac{1}{10}\\) też nie, po prostu błąd.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> przy hierarchii &quot;dwa razy więcej&quot;, &quot;trzy razy więcej&quot; zacznij od NAJMNIEJSZEJ kategorii jako parametru.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zdefiniujmy zmienne:</li></ol>\n<ul><li>Niech liczba kul zielonych wynosi $z$.</li><li>Kul czarnych jest trzy razy więcej, więc liczba kul czarnych wynosi $c = 3z$.</li><li>Kul białych jest dwa razy więcej niż kul czarnych, więc liczba kul białych wynosi $b = 2c = 2(3z) = 6z$.</li></ul>\n<ol><li>Obliczmy całkowitą liczbę kul:</li></ol>\n<p>$$N = b + c + z = 6z + 3z + z = 10z.$$</p>\n<ol><li>Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej:</li></ol>\n<p>$$P(B) = \\frac{b}{N} = \\frac{6z}{10z}.$$</p>\n<ol><li>Skróćmy ułamek:</li></ol>\n<p>$$P(B) = \\frac{6z}{10z} = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}.$$</p>\n<ol><li>Wybieramy odpowiedź z podanych opcji. Prawidłowa opcja to D, ponieważ $P(B) = \\frac{3}{5}$.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> Prawidłowe prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej to $\\frac{3}{5}$.</p>"}]}