{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nW pewnej grupie uczniów przeprowadzono ankietę na temat liczby odsłuchanych audiobooków\nw lutym 2022 roku. Wyniki ankiety przedstawiono w tabeli.\nMediana liczby odsłuchanych audiobooków w tej grupie uczniów jest równa\nA. 3\nB. 2\nC. 1\nD. 3\n2\nLiczba odsłuchanych audiobooków\n0\n1\n2\n3\n4\n7\nLiczba uczniów\n9\n5\n3\n4\n1\n3\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nW pewnej grupie uczniów przeprowadzono ankietę na temat liczby odsłuchanych audiobooków w lutym 2022 roku. Wyniki ankiety przedstawiono w tabeli. Liczba odsłuchanych audiobooków: 0, 1, 2, 3, 4, 7. Liczba uczniów: 9, 5, 3, 4, 1, 3. Mediana liczby odsłuchanych audiobooków w tej grupie uczniów jest równa A. 3 B. 2 C. 1 D. 3/2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG9.3) wyznacza […] medianę zestawu\ndanych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZADANIA OTWARTE\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - mediana wynosi \\(1\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie mediany z tabeli częstości (metoda skumulowana)\n\nMediana to wartość, która dzieli uporządkowany zbiór danych na dwie równe połowy. Dla danych zgrupowanych w tabeli częstości postępujemy tak:\n\n**Krok 1: Zsumuj łączną liczbę uczniów.**\n\nDodaj wszystkie częstości z tabeli. Oznaczmy łączną liczbę uczniów jako \\(n\\).\n\n**Krok 2: Wyznacz pozycję mediany.**\n\n\\[\n\\text{Pozycja mediany} = \\frac{n+1}{2} \\quad \\text{(gdy } n \\text{ nieparzyste)}\n\\]\nlub - gdy \\(n\\) parzyste - mediana to średnia wartości na pozycjach \\(\\frac{n}{2}\\) i \\(\\frac{n}{2}+1\\).\n\n**Krok 3: Oblicz częstości skumulowane.**\n\n| Liczba audiobooków | Liczba uczniów | Skumulowana |\n| \\(0\\) | \\(n_0\\) | \\(n_0\\) |\n| \\(1\\) | \\(n_1\\) | \\(n_0 + n_1\\) |\n| \\(2\\) | \\(n_2\\) | \\(n_0 + n_1 + n_2\\) |\n| \\(3\\) | \\(n_3\\) | \\(n_0 + n_1 + n_2 + n_3\\) |\n\n**Krok 4: Znajdź, w którym wierszu mieści się pozycja mediany.**\n\nNa podstawie danych z tabeli: częstość skumulowana po wierszu „\\(0\\)\" jest **mniejsza** niż połowa \\(n\\), natomiast po dodaniu uczniów z wiersza „\\(1\\)\" - **osiąga lub przekracza** połowę. Oznacza to, że oba środkowe wyrazy (lub jedyny środkowy) mają wartość \\(1\\).\n\n\\[\n\\boxed{\\text{Mediana} = 1}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Wypisanie wszystkich wartości i wskazanie środkowej\n\nWyobraźmy sobie, że ustawiamy wszystkich uczniów w kolejce według rosnącej liczby odsłuchanych audiobooków:\n\n\\[\n\\underbrace{0, 0, \\ldots, 0}_{n_0}, \\underbrace{1, 1, \\ldots, 1}_{n_1}, \\underbrace{2, 2, \\ldots, 2}_{n_2}, \\underbrace{3, 3, \\ldots, 3}_{n_3}\n\\]\n\nŚrodek tej kolejki wypada **wewnątrz bloku jedynek** - bo uczniów z „\\(0\\)\" jest za mało, by środek wypadł wcześniej, a uczniów z „\\(0\\)\" i „\\(1\\)\" razem jest już wystarczająco dużo, by środek wypadł nie dalej niż na „\\(1\\)\".\n\nPonieważ oba środkowe miejsca zajmują wartości \\(1\\):\n\\[\n\\text{Mediana} = \\frac{1 + 1}{2} = 1\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\n> **Mediana**: środkowy wyraz po uporządkowaniu rosnącym (gdy \\(n\\) nieparzyste) lub średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (gdy \\(n\\) parzyste).\n\nW tym zadaniu mediana wyznaczana jest wprost z definicji - nie potrzeba żadnego wzoru algebraicznego poza:\n\\[\n\\bar{x}_{1,2} = \\frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}\n\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(3\\) | Uczeń bierze najwyższą wartość w tabeli, mylnie kojarząc \"środek zakresu\" z medianą |\n| B | \\(2\\) | Uczeń oblicza **średnią arytmetyczną** \\(\\bar{x}\\) zamiast mediany i zaokrągla ją do 2 |\n| D | \\(\\dfrac{3}{2}\\) | Uczeń poprawnie wyznacza dwie środkowe pozycje, ale błędnie odczytuje z tabeli - przyjmuje wartości \\(1\\) i \\(2\\) zamiast \\(1\\) i \\(1\\), licząc \\(\\frac{1+2}{2} = \\frac{3}{2}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **mediany** ze **średnią arytmetyczną** - to dwa różne parametry! Mediana nie zależy od wartości skrajnych (np. jedna osoba z 10 audiobookami nie przesuwa mediany tak jak przesuwa średnią).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy parzystej liczbie danych mediana to **średnia dwóch środkowych wartości** - może być ułamkiem (np. \\(\\frac{3}{2}\\)). Właśnie dlatego odpowiedź D jest atrakcyjna jako pułapka! Uważnie sprawdź, czy oba środkowe wyrazy są równe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze buduj kolumnę **częstości skumulowanych** - bez niej łatwo się pomylić przy wyznaczaniu, który wyraz jest środkowy.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - definicja mediany\nTabela: 0 książek - 9 uczniów, 1 - 5, 2 - 3, 3 - 4, 4 - 1, 7 - 3.\nRazem uczniów: \\(9 + 5 + 3 + 4 + 1 + 3 = 25\\). Mediana to wyraz \\(\\lceil 25/2\\rceil = 13\\). w uporządkowanym ciągu.\nUstawiamy: 9 zer, potem 5 jedynek (10.-14. wyraz). Wyraz 13. to 1.\nMediana \\(= 1\\).\n\n### Sposób 2 - sumowanie kumulatywne\nPo 9 zerach liczymy do 13: potrzeba 4 więcej z grupy \"1\". Jest ich aż 5, więc 13. wyraz to \\(1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - błędnie wybrano inny wyraz.\n- **B. \\(2\\)** - pomylono z inną miarą.\n- **D. \\(\\tfrac{3}{2}\\)** - mylne uśrednienie dwóch sąsiadów (dla parzystej liczebności - tu jest nieparzysta).\n\n**Trik:** przy nieparzystej liczebności \\(n\\) mediana to środkowy wyraz o numerze \\((n+1)/2 = 13\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (0-1)
W pewnej grupie uczniów przeprowadzono ankietę na temat liczby odsłuchanych audiobooków
w lutym 2022 roku. Wyniki ankiety przedstawiono w tabeli.
Mediana liczby odsłuchanych audiobooków w tej grupie uczniów jest równa
A. 3
B. 2
C. 1
D. 3
2
Liczba odsłuchanych audiobooków
0
1
2
3
4
7
Liczba uczniów
9
5
3
4
1
3

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
W pewnej grupie uczniów przeprowadzono ankietę na temat liczby odsłuchanych audiobooków w lutym 2022 roku. Wyniki ankiety przedstawiono w tabeli. Liczba odsłuchanych audiobooków: 0, 1, 2, 3, 4, 7. Liczba uczniów: 9, 5, 3, 4, 1, 3. Mediana liczby odsłuchanych audiobooków w tej grupie uczniów jest równa A. 3 B. 2 C. 1 D. 3/2.

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
G9.3) wyznacza […] medianę zestawu
danych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C
ZADANIA OTWARTE

\n
  1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki
\n

zadania.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym
\n

zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną
liczbę punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie
\n

upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę
i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może
otrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania
liczbą punktów za dane zadanie).

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - mediana wynosi \\(1\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie mediany z tabeli częstości (metoda skumulowana)

\n

Mediana to wartość, która dzieli uporządkowany zbiór danych na dwie równe połowy. Dla danych zgrupowanych w tabeli częstości postępujemy tak:

\n

Krok 1: Zsumuj łączną liczbę uczniów.

\n

Dodaj wszystkie częstości z tabeli. Oznaczmy łączną liczbę uczniów jako \\(n\\).

\n

Krok 2: Wyznacz pozycję mediany.

\n

\\[
\\text{Pozycja mediany} = \\frac{n+1}{2} \\quad \\text{(gdy } n \\text{ nieparzyste)}
\\]
lub - gdy \\(n\\) parzyste - mediana to średnia wartości na pozycjach \\(\\frac{n}{2}\\) i \\(\\frac{n}{2}+1\\).

\n

Krok 3: Oblicz częstości skumulowane.

\n

| Liczba audiobooków | Liczba uczniów | Skumulowana |
| \\(0\\) | \\(n_0\\) | \\(n_0\\) |
| \\(1\\) | \\(n_1\\) | \\(n_0 + n_1\\) |
| \\(2\\) | \\(n_2\\) | \\(n_0 + n_1 + n_2\\) |
| \\(3\\) | \\(n_3\\) | \\(n_0 + n_1 + n_2 + n_3\\) |

\n

Krok 4: Znajdź, w którym wierszu mieści się pozycja mediany.

\n

Na podstawie danych z tabeli: częstość skumulowana po wierszu „\\(0\\)" jest mniejsza niż połowa \\(n\\), natomiast po dodaniu uczniów z wiersza „\\(1\\)" - osiąga lub przekracza połowę. Oznacza to, że oba środkowe wyrazy (lub jedyny środkowy) mają wartość \\(1\\).

\n

\\[
\\boxed{\\text{Mediana} = 1}
\\]

\n

Sposób 2 - Wypisanie wszystkich wartości i wskazanie środkowej

\n

Wyobraźmy sobie, że ustawiamy wszystkich uczniów w kolejce według rosnącej liczby odsłuchanych audiobooków:

\n

\\[
\\underbrace{0, 0, \\ldots, 0}{n_0}, \\underbrace{1, 1, \\ldots, 1}{n_1}, \\underbrace{2, 2, \\ldots, 2}{n_2}, \\underbrace{3, 3, \\ldots, 3}{n_3}
\\]

\n

Środek tej kolejki wypada wewnątrz bloku jedynek - bo uczniów z „\\(0\\)" jest za mało, by środek wypadł wcześniej, a uczniów z „\\(0\\)" i „\\(1\\)" razem jest już wystarczająco dużo, by środek wypadł nie dalej niż na „\\(1\\)".

\n

Ponieważ oba środkowe miejsca zajmują wartości \\(1\\):
\\[
\\text{Mediana} = \\frac{1 + 1}{2} = 1
\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)

\n
Mediana: środkowy wyraz po uporządkowaniu rosnącym (gdy \\(n\\) nieparzyste) lub średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (gdy \\(n\\) parzyste).
\n

W tym zadaniu mediana wyznaczana jest wprost z definicji - nie potrzeba żadnego wzoru algebraicznego poza:
\\[
\\bar{x}{1,2} = \\frac{x{n/2} + x_{n/2+1}}{2}
\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wartość | Typowy błąd |
| A | \\(3\\) | Uczeń bierze najwyższą wartość w tabeli, mylnie kojarząc "środek zakresu" z medianą |
| B | \\(2\\) | Uczeń oblicza średnią arytmetyczną \\(\\bar{x}\\) zamiast mediany i zaokrągla ją do 2 |
| D | \\(\\dfrac{3}{2}\\) | Uczeń poprawnie wyznacza dwie środkowe pozycje, ale błędnie odczytuje z tabeli - przyjmuje wartości \\(1\\) i \\(2\\) zamiast \\(1\\) i \\(1\\), licząc \\(\\frac{1+2}{2} = \\frac{3}{2}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić mediany ze średnią arytmetyczną - to dwa różne parametry! Mediana nie zależy od wartości skrajnych (np. jedna osoba z 10 audiobookami nie przesuwa mediany tak jak przesuwa średnią).
\n
⚠️ Uwaga: Przy parzystej liczbie danych mediana to średnia dwóch środkowych wartości - może być ułamkiem (np. \\(\\frac{3}{2}\\)). Właśnie dlatego odpowiedź D jest atrakcyjna jako pułapka! Uważnie sprawdź, czy oba środkowe wyrazy są równe.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze buduj kolumnę częstości skumulowanych - bez niej łatwo się pomylić przy wyznaczaniu, który wyraz jest środkowy.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 (karta wzorów) - definicja mediany
\n

Tabela: 0 książek - 9 uczniów, 1 - 5, 2 - 3, 3 - 4, 4 - 1, 7 - 3.
Razem uczniów: \\(9 + 5 + 3 + 4 + 1 + 3 = 25\\). Mediana to wyraz \\(\\lceil 25/2\\rceil = 13\\). w uporządkowanym ciągu.
Ustawiamy: 9 zer, potem 5 jedynek (10.-14. wyraz). Wyraz 13. to 1.
Mediana \\(= 1\\).

\n
Sposób 2 - sumowanie kumulatywne
\n

Po 9 zerach liczymy do 13: potrzeba 4 więcej z grupy "1". Jest ich aż 5, więc 13. wyraz to \\(1\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: przy nieparzystej liczebności \\(n\\) mediana to środkowy wyraz o numerze \\((n+1)/2 = 13\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, aby znaleźć medianę, najpierw układamy wszystkie dane w kolejności rosnącej: $0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 7, 7, 7$. W tym przypadku mamy $25$ uczniów, więc mediana to $13$-sta wartość, która wynosi $1$.

"}]}