{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n-3𝑥2 + 8 ≥10𝑥\n\nEMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność: -3x² + 8 ≥ 10x","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego -3𝑥2 -10𝑥+ 8.\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej -3𝑥2 -10𝑥+ 8 ≥0.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy poprawnie zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tj. obliczy/poda pierwiastki trójmianu\nkwadratowego -3𝑥2 -10𝑥+ 8: 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 2\n3 .\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz poprawnie zrealizuje drugi\netap rozwiązania, tj.:\npoda zbiór rozwiązań nierówności: ⟨-4, 2\n3⟩ lub 𝑥∈⟨-4, 2\n3⟩\nALBO\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\n-4\n2\n3\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błąd (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny\nniż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia\n(np. -3𝑥2 + 8) i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność\n(np. -3𝑥2 + 8 ≥0), to oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\n5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥∈(-4, 2\n3), to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci ⟨2\n3 , -4⟩, to przyznajemy 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPierwszy etap rozwiązania\nZapisujemy nierówność w postaci -3𝑥2 -10𝑥+ 8 ≥0 i obliczamy pierwiastki trójmianu\n-3𝑥2 -10𝑥+ 8.\nObliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ = 196 i stąd 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 2\n3 ,\nALBO\nzauważamy, że liczba (-4) jest pierwiastkiem trójmianu -3𝑥2 -10𝑥+ 8 i stosujemy\nwzory Viète’a:\n𝑥1 + 𝑥2 = -10\n3 oraz 𝑥1 ⋅𝑥2 = -8\n3 , więc 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 2\n3 ,\nALBO\npodajemy pierwiastki trójmianu -3𝑥2 -10𝑥+ 8 bezpośrednio, zapisując je lub\nzaznaczając je na wykresie: 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 2\n3 .\nDrugi etap rozwiązania\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: ⟨-4, 2\n3⟩ lub 𝑥∈⟨-4, 2\n3⟩ lub zaznaczamy zbiór\nrozwiązań na osi liczbowej\n-4\n2\n3\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle -4,\\ \\frac{2}{3} \\right\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Przestawienie na jedną stronę i wyróżnik\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**\n\n\\[-3x^2 + 8 \\geq 10x\\]\n\\[-3x^2 - 10x + 8 \\geq 0\\]\n\n**Mnożymy obie strony przez \\(-1\\)** - uwaga, odwracamy znak nierówności!\n\n\\[3x^2 + 10x - 8 \\leq 0\\]\n\n**Szukamy pierwiastków trójmianu \\(3x^2 + 10x - 8 = 0\\):**\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-8) = 100 + 96 = 196\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{196} = 14\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{-10 - 14}{2 \\cdot 3} = \\frac{-24}{6} = -4\\]\n\\[x_2 = \\frac{-10 + 14}{2 \\cdot 3} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Analizujemy znak trójmianu \\(3x^2 + 10x - 8\\):**\n\nWspółczynnik \\(a = 3 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami **w górę** - trójmian jest ujemny (lub równy zero) **między** pierwiastkami.\n\n\\[3x^2 + 10x - 8 \\leq 0 \\iff x \\in \\left\\langle -4,\\ \\frac{2}{3} \\right\\rangle\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle -4,\\ \\frac{2}{3} \\right\\rangle\\)**\n\n## Sposób 2 - Praca na oryginalnej paraboli (bez mnożenia przez \\(-1\\))\n\nZostawiamy nierówność w postaci:\n\n\\[-3x^2 - 10x + 8 \\geq 0\\]\n\nTo trójmian z \\(a = -3 < 0\\) - parabola skierowana ramionami **w dół**. Taki trójmian jest **nieujemny między pierwiastkami** (bo między nimi parabola jest powyżej osi \\(x\\)).\n\nSzukamy pierwiastków \\(-3x^2 - 10x + 8 = 0\\):\n\n\\[\\Delta = (-10)^2 - 4 \\cdot (-3) \\cdot 8 = 100 + 96 = 196, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 14\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{10 - 14}{2 \\cdot (-3)} = \\frac{-4}{-6} = \\frac{2}{3}\\]\n\\[x_2 = \\frac{10 + 14}{2 \\cdot (-3)} = \\frac{24}{-6} = -4\\]\n\nParabola z \\(a < 0\\) jest \\(\\geq 0\\) **między** pierwiastkami, czyli dla \\(x \\in \\left\\langle -4, \\frac{2}{3} \\right\\rangle\\).\n\n**Weryfikacja (podstawiamy \\(x = 0\\), które leży w przedziale):**\n\\[-3 \\cdot 0^2 + 8 \\geq 10 \\cdot 0 \\implies 8 \\geq 0 \\checkmark\\]\n\n**Weryfikacja (podstawiamy \\(x = 1\\), które leży poza przedziałem):**\n\\[-3 \\cdot 1 + 8 \\geq 10 \\cdot 1 \\implies 5 \\geq 10 \\quad \\text{✗ - poprawnie poza rozwiązaniem}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia pierwiastków trójmianu po przestawieniu nierówności.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - znak trójmianu:\n- \\(a > 0\\): trójmian \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle x_1, x_2 \\rangle\\)\n- \\(a < 0\\): trójmian \\(\\geq 0\\) dla \\(x \\in \\langle x_1, x_2 \\rangle\\)\n\nTo kluczowa reguła przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych!\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie obu stron nierówności przez liczbę **ujemną** odwraca znak. Najczęstszy błąd: mnożenie przez \\(-1\\) i pozostawienie \\(\\geq\\) zamiast \\(\\leq\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a < 0\\), parabola jest skierowana **w dół** - trójmian jest nieujemny **między** pierwiastkami, nie na zewnątrz. Wielu uczniów odruchowo pisze odpowiedź \"na zewnątrz\" jak dla \\(a > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **nieostra** (\\(\\geq\\)), więc granice przedziału są **domknięte** - piszemy \\(\\langle -4, \\frac{2}{3} \\rangle\\), nie otwarty nawias. Sprawdź to przez podstawienie \\(x = -4\\): \\(-3 \\cdot 16 + 8 = -40 \\geq 10 \\cdot (-4) = -40\\) ✓.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle -4, \\dfrac{2}{3}\\right\\rangle\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - wyróżnik\nPrzenosimy na jedną stronę: \\(-3x^{2} - 10x + 8 \\geq 0\\).\nWyróżnik: \\(\\Delta = (-10)^{2} - 4\\cdot (-3)\\cdot 8 = 100 + 96 = 196\\). \\(\\sqrt{\\Delta} = 14\\).\n\\[x_{1} = \\dfrac{10 - 14}{-6} = \\dfrac{-4}{-6} = \\dfrac{2}{3},\\qquad x_{2} = \\dfrac{10 + 14}{-6} = \\dfrac{24}{-6} = -4.\\]\nZatem pierwiastki: \\(-4\\) i \\(\\dfrac{2}{3}\\). Ponieważ \\(a = -3 < 0\\) (ramiona w dół), parabola jest \\(\\geq 0\\) MIĘDZY pierwiastkami:\n\\[x\\in \\left\\langle -4, \\dfrac{2}{3}\\right\\rangle.\\]\n\n### Sposób 2 - wzory Viety\nZauważmy, że \\(-4\\) jest pierwiastkiem: \\(-3\\cdot 16 - 10\\cdot (-4) + 8 = -48 + 40 + 8 = 0\\). ✓\nZ Viety dla \\(-3x^{2} - 10x + 8\\): \\(x_{1}x_{2} = \\dfrac{8}{-3} = -\\dfrac{8}{3}\\). Jeśli \\(x_{1} = -4\\), to \\(x_{2} = \\dfrac{-8/3}{-4} = \\dfrac{2}{3}\\). ✓\n\n### Uwagi o punktacji\n- **1 pkt** za wyznaczenie pierwiastków \\(-4\\) i \\(\\tfrac{2}{3}\\).\n- **2 pkt** za poprawny zbiór rozwiązań \\(\\left\\langle -4, \\tfrac{2}{3}\\right\\rangle\\) (lub zaznaczenie na osi z poprawnymi końcami).\n\n**Trik:** gdy współczynnik \\(a < 0\\), parabola z ramionami w dół - nierówność \\(\\geq 0\\) daje MIĘDZY pierwiastkami (nie na zewnątrz).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Rozwiąż nierówność
-3𝑥2 + 8 ≥10𝑥

\n

EMAP-P0_100
Rozwiąż nierówność: -3x² + 8 ≥ 10x

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe
z jedną niewiadomą.
Zasady oceniania
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego -3𝑥2 -10𝑥+ 8.
Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej -3𝑥2 -10𝑥+ 8 ≥0.
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy poprawnie zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tj. obliczy/poda pierwiastki trójmianu
kwadratowego -3𝑥2 -10𝑥+ 8: 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 2
3 .
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz poprawnie zrealizuje drugi
etap rozwiązania, tj.:
poda zbiór rozwiązań nierówności: ⟨-4, 2
3⟩ lub 𝑥∈⟨-4, 2
3⟩
ALBO
poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
-4
2
3
𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błąd (ale otrzyma
\n

dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań
nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie
\n

obliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe
rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny
\n

niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia
(np. -3𝑥2 + 8) i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność
(np. -3𝑥2 + 8 ≥0), to oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są
\n

liczbami wymiernymi.

\n
  1. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
\n

końcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥∈(-4, 2
3), to otrzymuje 1 punkt za całe
rozwiązanie.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci ⟨2
3 , -4⟩, to przyznajemy 2 punkty.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Pierwszy etap rozwiązania
Zapisujemy nierówność w postaci -3𝑥2 -10𝑥+ 8 ≥0 i obliczamy pierwiastki trójmianu
-3𝑥2 -10𝑥+ 8.
Obliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ = 196 i stąd 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 2
3 ,
ALBO
zauważamy, że liczba (-4) jest pierwiastkiem trójmianu -3𝑥2 -10𝑥+ 8 i stosujemy
wzory Viète’a:
𝑥1 + 𝑥2 = -10
3 oraz 𝑥1 ⋅𝑥2 = -8
3 , więc 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 2
3 ,
ALBO
podajemy pierwiastki trójmianu -3𝑥2 -10𝑥+ 8 bezpośrednio, zapisując je lub
zaznaczając je na wykresie: 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 2
3 .
Drugi etap rozwiązania
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: ⟨-4, 2
3⟩ lub 𝑥∈⟨-4, 2
3⟩ lub zaznaczamy zbiór
rozwiązań na osi liczbowej
-4
2
3
𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle -4,\\ \\frac{2}{3} \\right\\rangle\\)

\n

Sposób 1 - Przestawienie na jedną stronę i wyróżnik

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\n

\\[-3x^2 + 8 \\geq 10x\\]
\\[-3x^2 - 10x + 8 \\geq 0\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(-1\\) - uwaga, odwracamy znak nierówności!

\n

\\[3x^2 + 10x - 8 \\leq 0\\]

\n

Szukamy pierwiastków trójmianu \\(3x^2 + 10x - 8 = 0\\):

\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-8) = 100 + 96 = 196\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{196} = 14\\]

\n

\\[x_1 = \\frac{-10 - 14}{2 \\cdot 3} = \\frac{-24}{6} = -4\\]
\\[x_2 = \\frac{-10 + 14}{2 \\cdot 3} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]

\n

Analizujemy znak trójmianu \\(3x^2 + 10x - 8\\):

\n

Współczynnik \\(a = 3 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w górę - trójmian jest ujemny (lub równy zero) między pierwiastkami.

\n

\\[3x^2 + 10x - 8 \\leq 0 \\iff x \\in \\left\\langle -4,\\ \\frac{2}{3} \\right\\rangle\\]

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle -4,\\ \\frac{2}{3} \\right\\rangle\\)

\n

Sposób 2 - Praca na oryginalnej paraboli (bez mnożenia przez \\(-1\\))

\n

Zostawiamy nierówność w postaci:

\n

\\[-3x^2 - 10x + 8 \\geq 0\\]

\n

To trójmian z \\(a = -3 < 0\\) - parabola skierowana ramionami w dół. Taki trójmian jest nieujemny między pierwiastkami (bo między nimi parabola jest powyżej osi \\(x\\)).

\n

Szukamy pierwiastków \\(-3x^2 - 10x + 8 = 0\\):

\n

\\[\\Delta = (-10)^2 - 4 \\cdot (-3) \\cdot 8 = 100 + 96 = 196, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 14\\]

\n

\\[x_1 = \\frac{10 - 14}{2 \\cdot (-3)} = \\frac{-4}{-6} = \\frac{2}{3}\\]
\\[x_2 = \\frac{10 + 14}{2 \\cdot (-3)} = \\frac{24}{-6} = -4\\]

\n

Parabola z \\(a < 0\\) jest \\(\\geq 0\\) między pierwiastkami, czyli dla \\(x \\in \\left\\langle -4, \\frac{2}{3} \\right\\rangle\\).

\n

Weryfikacja (podstawiamy \\(x = 0\\), które leży w przedziale):
\\[-3 \\cdot 0^2 + 8 \\geq 10 \\cdot 0 \\implies 8 \\geq 0 \\checkmark\\]

\n

Weryfikacja (podstawiamy \\(x = 1\\), które leży poza przedziałem):
\\[-3 \\cdot 1 + 8 \\geq 10 \\cdot 1 \\implies 5 \\geq 10 \\quad \\text{✗ - poprawnie poza rozwiązaniem}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy do wyznaczenia pierwiastków trójmianu po przestawieniu nierówności.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - znak trójmianu:

\n\n

To kluczowa reguła przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych!

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Mnożenie obu stron nierówności przez liczbę ujemną odwraca znak. Najczęstszy błąd: mnożenie przez \\(-1\\) i pozostawienie \\(\\geq\\) zamiast \\(\\leq\\).
\n
⚠️ Uwaga: Gdy \\(a < 0\\), parabola jest skierowana w dół - trójmian jest nieujemny między pierwiastkami, nie na zewnątrz. Wielu uczniów odruchowo pisze odpowiedź "na zewnątrz" jak dla \\(a > 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nierówność jest nieostra (\\(\\geq\\)), więc granice przedziału są domknięte - piszemy \\(\\langle -4, \\frac{2}{3} \\rangle\\), nie otwarty nawias. Sprawdź to przez podstawienie \\(x = -4\\): \\(-3 \\cdot 16 + 8 = -40 \\geq 10 \\cdot (-4) = -40\\) ✓.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle -4, \\dfrac{2}{3}\\right\\rangle\\)

\n
Sposób 1 (karta wzorów) - wyróżnik
\n

Przenosimy na jedną stronę: \\(-3x^{2} - 10x + 8 \\geq 0\\).
Wyróżnik: \\(\\Delta = (-10)^{2} - 4\\cdot (-3)\\cdot 8 = 100 + 96 = 196\\). \\(\\sqrt{\\Delta} = 14\\).
\\[x_{1} = \\dfrac{10 - 14}{-6} = \\dfrac{-4}{-6} = \\dfrac{2}{3},\\qquad x_{2} = \\dfrac{10 + 14}{-6} = \\dfrac{24}{-6} = -4.\\]
Zatem pierwiastki: \\(-4\\) i \\(\\dfrac{2}{3}\\). Ponieważ \\(a = -3 < 0\\) (ramiona w dół), parabola jest \\(\\geq 0\\) MIĘDZY pierwiastkami:
\\[x\\in \\left\\langle -4, \\dfrac{2}{3}\\right\\rangle.\\]

\n
Sposób 2 - wzory Viety
\n

Zauważmy, że \\(-4\\) jest pierwiastkiem: \\(-3\\cdot 16 - 10\\cdot (-4) + 8 = -48 + 40 + 8 = 0\\). ✓
Z Viety dla \\(-3x^{2} - 10x + 8\\): \\(x_{1}x_{2} = \\dfrac{8}{-3} = -\\dfrac{8}{3}\\). Jeśli \\(x_{1} = -4\\), to \\(x_{2} = \\dfrac{-8/3}{-4} = \\dfrac{2}{3}\\). ✓

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: gdy współczynnik \\(a < 0\\), parabola z ramionami w dół - nierówność \\(\\geq 0\\) daje MIĘDZY pierwiastkami (nie na zewnątrz).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\\\in \\\\langle -4, \\\\dfrac{2}{3} \\\\rangle$

"}]}