{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i każdej liczby rzeczywistej 𝑦 takich, że 𝑥≠𝑦\nprawdziwa jest nierówność\n(1\n5 𝑥+ 4\n5 𝑦)\n2\n< 𝑥2 + 4𝑦2\n5\n\nEMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y takich, że x≠y prawdziwa jest nierówność (1/5x + 4/5y)² < x^2+4y^2/5.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy przekształci nierówność (1\n5 𝑥+ 4\n5 𝑦)\n2\n< 𝑥2 + 4𝑦2\n5\ndo postaci 𝑐⋅[𝑊(𝑥, 𝑦)]2 > 0 lub\n-𝑐⋅[𝑊(𝑥, 𝑦)]2 < 0 (gdzie 𝑊 jest wielomianem, 𝑐> 0).\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie, tj. spełni warunek określony w zasadach oceniania za\n1 pkt i, korzystając z założenia, przeprowadzi wnioskowanie o prawdziwości tezy.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równoważnie nierówność (1\n5 𝑥+ 4\n5 𝑦)\n2\n< 𝑥2 + 4𝑦2\n5\n:\n(1\n5 𝑥+ 4\n5 𝑦)\n2\n< 𝑥2 + 4𝑦2\n5\n1\n25 𝑥2 + 8\n25 𝑥𝑦+ 16\n25 𝑦2 < 𝑥2 + 4𝑦2\n5\n𝑥2 + 8𝑥𝑦+ 16𝑦2 < 5𝑥2 + 20𝑦2\n-4𝑥2 + 8𝑥𝑦-4𝑦2 < 0\n𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2 > 0\n(𝑥-𝑦)2 > 0\nZ założenia wiadomo, że 𝑥≠𝑦, więc (𝑥-𝑦)2 jest liczbą dodatnią jako kwadrat liczby\nrzeczywistej 𝑥-𝑦 różnej od zera. Ponieważ nierówność (𝑥-𝑦)2 > 0 jest prawdziwa,\nwięc nierówność (1\n5 𝑥+ 4\n5 𝑦)\n2\n< 𝑥2 + 4𝑦2\n5\nrównież jest prawdziwa. To należało pokazać.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich $x \\neq y$\n\nZadanie polega na udowodnieniu nierówności - nie ma wyboru odpowiedzi. Dowód przeprowadzimy dwoma metodami.\n\n## Sposób 1 - Algebraiczne przekształcenie do postaci oczywistej\n\n**Idea:** Pokażemy, że lewa strona odjęta od prawej daje wyrażenie, które jest zawsze dodatnie gdy $x \\neq y$.\n\n**Krok 1.** Rozpisujemy lewą stronę nierówności:\n\\[\\left(\\frac{1}{5}x + \\frac{4}{5}y\\right)^2 = \\left(\\frac{x + 4y}{5}\\right)^2 = \\frac{(x+4y)^2}{25}\\]\n\n**Krok 2.** Chcemy pokazać, że:\n\\[\\frac{(x+4y)^2}{25} < \\frac{x^2 + 4y^2}{5}\\]\n\nMnożymy obie strony przez $25 > 0$ (nierówność nie zmienia kierunku):\n\\[(x + 4y)^2 < 5(x^2 + 4y^2)\\]\n\n**Krok 3.** Rozwijamy lewą stronę (wzór skróconego mnożenia):\n\\[x^2 + 8xy + 16y^2 < 5x^2 + 20y^2\\]\n\n**Krok 4.** Przenosimy wszystko na prawą stronę:\n\\[0 < 4x^2 - 8xy + 4y^2\\]\n\n**Krok 5.** Wyciągamy $4$ przed nawias i rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:\n\\[0 < 4(x^2 - 2xy + y^2) = 4(x - y)^2\\]\n\n**Krok 6.** Korzystamy z założenia $x \\neq y$:\n\nPonieważ $x \\neq y$, mamy $x - y \\neq 0$, a zatem $(x-y)^2 > 0$.\n\nStąd $4(x-y)^2 > 0$. ✓\n\nKażde przekształcenie było równoważne, zatem **nierówność jest udowodniona**. $\\blacksquare$\n\n## Sposób 2 - Nierówność Cauchy'ego-Schwarza\n\n**Idea:** Nierówność Cauchy'ego-Schwarza daje gotowe narzędzie, dzięki któremu dowód jest jednolinijkowy - wystarczy dobrać odpowiednie wektory.\n\n**Nierówność C-S** dla wektorów $(p_1, p_2)$ i $(q_1, q_2)$:\n\\[(p_1 q_1 + p_2 q_2)^2 \\leq (p_1^2 + p_2^2)(q_1^2 + q_2^2)\\]\nz równością wtedy i tylko wtedy, gdy $\\dfrac{p_1}{q_1} = \\dfrac{p_2}{q_2}$.\n\n**Dobieramy wektory:** niech $p_1 = 1,\\ p_2 = 2,\\ q_1 = x,\\ q_2 = 2y$.\n\nPodstawiamy do C-S:\n\\[\\underbrace{(1 \\cdot x + 2 \\cdot 2y)^2}_{(x+4y)^2} \\leq \\underbrace{(1^2 + 2^2)}_{5} \\cdot \\underbrace{(x^2 + (2y)^2)}_{x^2 + 4y^2}\\]\n\nZatem:\n\\[(x + 4y)^2 \\leq 5(x^2 + 4y^2)\\]\n\n**Kiedy zachodzi równość?** Tylko gdy $\\dfrac{p_1}{q_1} = \\dfrac{p_2}{q_2}$, czyli $\\dfrac{1}{x} = \\dfrac{2}{2y}$, co daje $x = y$.\n\nSkoro $x \\neq y$ - równość **nie zachodzi**, mamy nierówność ostrą:\n\\[(x + 4y)^2 < 5(x^2 + 4y^2)\\]\n\nDzielimy obie strony przez $25 > 0$:\n\\[\\frac{(x+4y)^2}{25} < \\frac{x^2 + 4y^2}{5}\\]\n\nCo jest dokładnie dowodziną nierównością:\n\\[\\left(\\frac{1}{5}x + \\frac{4}{5}y\\right)^2 < \\frac{x^2 + 4y^2}{5} \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyty w Sposobie 1 (krok 5) do rozpoznania, że $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.\n\nPoza tym dowód korzysta wyłącznie z podstawowych działań algebraicznych - nierówność Cauchy'ego-Schwarza **nie znajduje się na karcie wzorów CKE**, ale jest twierdzeniem matematycznym, które można przywołać lub udowodnić wprost. Na maturze zdecydowanie bezpieczniejszy jest Sposób 1.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to rozwinięcie lewej strony i przeniesienie wyrazów, ale bez zamiany nierówności $<$ na $\\leq$ lub $>$ - pilnuj kierunku nierówności przy każdym mnożeniu przez liczbę ujemną!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek $x \\neq y$ jest **kluczowy** - bez niego $(x-y)^2 = 0$ i nierówność byłaby nieostra (lewa strona równałaby się prawej). Koniecznie wspomnij o tym w dowodzie - bez tego ostatni krok jest niekompletny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno „sprawdzać\" nierówności dla konkretnych wartości $x, y$ i uważać to za dowód. Zadanie mówi „dla każdej\" - wymagany jest dowód ogólny, nie przykład.\n\n**Poprawna odpowiedź: Dowód**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - wzory skróconego mnożenia\nPrzekształcamy równoważnie nierówność:\n\\[\\left(\\dfrac{1}{5}x + \\dfrac{4}{5}y\\right)^{2} < \\dfrac{x^{2} + 4y^{2}}{5}.\\]\nLewa strona: \\(\\dfrac{1}{25}x^{2} + \\dfrac{8}{25}xy + \\dfrac{16}{25}y^{2}\\).\nMnożymy obie strony przez 25:\n\\[x^{2} + 8xy + 16y^{2} < 5x^{2} + 20y^{2}.\\]\nPrzenosimy:\n\\[0 < 4x^{2} - 8xy + 4y^{2} = 4(x^{2} - 2xy + y^{2}) = 4(x - y)^{2}.\\]\nZ założenia \\(x \\neq y\\) mamy \\((x-y)^{2} > 0\\), więc \\(4(x-y)^{2} > 0\\). To było do wykazania. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - nierówność Jensena (Schwarza) dla kwadratów\nDla średniej ważonej: \\(\\left(\\tfrac{1}{5}a + \\tfrac{4}{5}b\\right)^{2} \\leq \\tfrac{1}{5}a^{2} + \\tfrac{4}{5}b^{2}\\) (nierówność wypukłości), z równością gdy \\(a = b\\). Podstawiając \\(a = x\\), \\(b = 2y\\) (bo \\(\\tfrac{4}{5}\\cdot 2y = \\tfrac{8}{5}y\\), ale to inna struktura) - można dokładniej dowodzić wprost jak w Sposobie 1.\n\n### Uwagi o punktacji\n- **1 pkt** za przekształcenie do postaci \\(c\\cdot [W(x,y)]^{2} > 0\\) lub \\(-c\\cdot [W]^{2} < 0\\), \\(c>0\\).\n- **2 pkt** za pełne rozumowanie: z założenia \\(x \\neq y\\) wynika \\((x-y)^{2}>0\\), stąd teza.\n- **Uwaga**: sprawdzenie dla konkretnych wartości \\(x, y\\) to **0 pkt**.\n\n**Trik:** przy dowodach nierówności staraj się sprowadzić do postaci \\((\\ldots)^{2} > 0\\) - zawsze prawdziwej dla niezerowego argumentu.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"algebra","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i każdej liczby rzeczywistej 𝑦 takich, że 𝑥≠𝑦
prawdziwa jest nierówność
(1
5 𝑥+ 4
5 𝑦)
2
< 𝑥2 + 4𝑦2
5

\n

EMAP-P0_100
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y takich, że x≠y prawdziwa jest nierówność (1/5x + 4/5y)² < x^2+4y^2/5.

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:
2.1) używa wzorów skróconego mnożenia
na (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy przekształci nierówność (1
5 𝑥+ 4
5 𝑦)
2
< 𝑥2 + 4𝑦2
5
do postaci 𝑐⋅[𝑊(𝑥, 𝑦)]2 > 0 lub
-𝑐⋅[𝑊(𝑥, 𝑦)]2 < 0 (gdzie 𝑊 jest wielomianem, 𝑐> 0).
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie, tj. spełni warunek określony w zasadach oceniania za
1 pkt i, korzystając z założenia, przeprowadzi wnioskowanie o prawdziwości tezy.
Uwaga:
Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przekształcamy równoważnie nierówność (1
5 𝑥+ 4
5 𝑦)
2
< 𝑥2 + 4𝑦2
5
:
(1
5 𝑥+ 4
5 𝑦)
2
< 𝑥2 + 4𝑦2
5
1
25 𝑥2 + 8
25 𝑥𝑦+ 16
25 𝑦2 < 𝑥2 + 4𝑦2
5
𝑥2 + 8𝑥𝑦+ 16𝑦2 < 5𝑥2 + 20𝑦2
-4𝑥2 + 8𝑥𝑦-4𝑦2 < 0
𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2 > 0
(𝑥-𝑦)2 > 0
Z założenia wiadomo, że 𝑥≠𝑦, więc (𝑥-𝑦)2 jest liczbą dodatnią jako kwadrat liczby
rzeczywistej 𝑥-𝑦 różnej od zera. Ponieważ nierówność (𝑥-𝑦)2 > 0 jest prawdziwa,
więc nierówność (1
5 𝑥+ 4
5 𝑦)
2
< 𝑥2 + 4𝑦2
5
również jest prawdziwa. To należało pokazać.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich $x \\neq y$

\n

Zadanie polega na udowodnieniu nierówności - nie ma wyboru odpowiedzi. Dowód przeprowadzimy dwoma metodami.

\n

Sposób 1 - Algebraiczne przekształcenie do postaci oczywistej

\n

Idea: Pokażemy, że lewa strona odjęta od prawej daje wyrażenie, które jest zawsze dodatnie gdy $x \\neq y$.

\n

Krok 1. Rozpisujemy lewą stronę nierówności:
\\[\\left(\\frac{1}{5}x + \\frac{4}{5}y\\right)^2 = \\left(\\frac{x + 4y}{5}\\right)^2 = \\frac{(x+4y)^2}{25}\\]

\n

Krok 2. Chcemy pokazać, że:
\\[\\frac{(x+4y)^2}{25} < \\frac{x^2 + 4y^2}{5}\\]

\n

Mnożymy obie strony przez $25 > 0$ (nierówność nie zmienia kierunku):
\\[(x + 4y)^2 < 5(x^2 + 4y^2)\\]

\n

Krok 3. Rozwijamy lewą stronę (wzór skróconego mnożenia):
\\[x^2 + 8xy + 16y^2 < 5x^2 + 20y^2\\]

\n

Krok 4. Przenosimy wszystko na prawą stronę:
\\[0 < 4x^2 - 8xy + 4y^2\\]

\n

Krok 5. Wyciągamy $4$ przed nawias i rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:
\\[0 < 4(x^2 - 2xy + y^2) = 4(x - y)^2\\]

\n

Krok 6. Korzystamy z założenia $x \\neq y$:

\n

Ponieważ $x \\neq y$, mamy $x - y \\neq 0$, a zatem $(x-y)^2 > 0$.

\n

Stąd $4(x-y)^2 > 0$. ✓

\n

Każde przekształcenie było równoważne, zatem nierówność jest udowodniona. $\\blacksquare$

\n

Sposób 2 - Nierówność Cauchy'ego-Schwarza

\n

Idea: Nierówność Cauchy'ego-Schwarza daje gotowe narzędzie, dzięki któremu dowód jest jednolinijkowy - wystarczy dobrać odpowiednie wektory.

\n

Nierówność C-S dla wektorów $(p_1, p_2)$ i $(q_1, q_2)$:
\\[(p_1 q_1 + p_2 q_2)^2 \\leq (p_1^2 + p_2^2)(q_1^2 + q_2^2)\\]
z równością wtedy i tylko wtedy, gdy $\\dfrac{p_1}{q_1} = \\dfrac{p_2}{q_2}$.

\n

Dobieramy wektory: niech $p_1 = 1,\\ p_2 = 2,\\ q_1 = x,\\ q_2 = 2y$.

\n

Podstawiamy do C-S:
\\[\\underbrace{(1 \\cdot x + 2 \\cdot 2y)^2}{(x+4y)^2} \\leq \\underbrace{(1^2 + 2^2)}{5} \\cdot \\underbrace{(x^2 + (2y)^2)}_{x^2 + 4y^2}\\]

\n

Zatem:
\\[(x + 4y)^2 \\leq 5(x^2 + 4y^2)\\]

\n

Kiedy zachodzi równość? Tylko gdy $\\dfrac{p_1}{q_1} = \\dfrac{p_2}{q_2}$, czyli $\\dfrac{1}{x} = \\dfrac{2}{2y}$, co daje $x = y$.

\n

Skoro $x \\neq y$ - równość nie zachodzi, mamy nierówność ostrą:
\\[(x + 4y)^2 < 5(x^2 + 4y^2)\\]

\n

Dzielimy obie strony przez $25 > 0$:
\\[\\frac{(x+4y)^2}{25} < \\frac{x^2 + 4y^2}{5}\\]

\n

Co jest dokładnie dowodziną nierównością:
\\[\\left(\\frac{1}{5}x + \\frac{4}{5}y\\right)^2 < \\frac{x^2 + 4y^2}{5} \\qquad \\blacksquare\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyty w Sposobie 1 (krok 5) do rozpoznania, że $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.

\n

Poza tym dowód korzysta wyłącznie z podstawowych działań algebraicznych - nierówność Cauchy'ego-Schwarza nie znajduje się na karcie wzorów CKE, ale jest twierdzeniem matematycznym, które można przywołać lub udowodnić wprost. Na maturze zdecydowanie bezpieczniejszy jest Sposób 1.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to rozwinięcie lewej strony i przeniesienie wyrazów, ale bez zamiany nierówności $<$ na $\\leq$ lub $>$ - pilnuj kierunku nierówności przy każdym mnożeniu przez liczbę ujemną!
\n
⚠️ Uwaga: Warunek $x \\neq y$ jest kluczowy - bez niego $(x-y)^2 = 0$ i nierówność byłaby nieostra (lewa strona równałaby się prawej). Koniecznie wspomnij o tym w dowodzie - bez tego ostatni krok jest niekompletny.
\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno „sprawdzać" nierówności dla konkretnych wartości $x, y$ i uważać to za dowód. Zadanie mówi „dla każdej" - wymagany jest dowód ogólny, nie przykład.
\n

Poprawna odpowiedź: Dowód

\n
Sposób 1 (karta wzorów) - wzory skróconego mnożenia
\n

Przekształcamy równoważnie nierówność:
\\[\\left(\\dfrac{1}{5}x + \\dfrac{4}{5}y\\right)^{2} < \\dfrac{x^{2} + 4y^{2}}{5}.\\]
Lewa strona: \\(\\dfrac{1}{25}x^{2} + \\dfrac{8}{25}xy + \\dfrac{16}{25}y^{2}\\).
Mnożymy obie strony przez 25:
\\[x^{2} + 8xy + 16y^{2} < 5x^{2} + 20y^{2}.\\]
Przenosimy:
\\[0 < 4x^{2} - 8xy + 4y^{2} = 4(x^{2} - 2xy + y^{2}) = 4(x - y)^{2}.\\]
Z założenia \\(x \\neq y\\) mamy \\((x-y)^{2} > 0\\), więc \\(4(x-y)^{2} > 0\\). To było do wykazania. \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 2 - nierówność Jensena (Schwarza) dla kwadratów
\n

Dla średniej ważonej: \\(\\left(\\tfrac{1}{5}a + \\tfrac{4}{5}b\\right)^{2} \\leq \\tfrac{1}{5}a^{2} + \\tfrac{4}{5}b^{2}\\) (nierówność wypukłości), z równością gdy \\(a = b\\). Podstawiając \\(a = x\\), \\(b = 2y\\) (bo \\(\\tfrac{4}{5}\\cdot 2y = \\tfrac{8}{5}y\\), ale to inna struktura) - można dokładniej dowodzić wprost jak w Sposobie 1.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: przy dowodach nierówności staraj się sprowadzić do postaci \\((\\ldots)^{2} > 0\\) - zawsze prawdziwej dla niezerowego argumentu.

"}]}