{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 2. Ponadto 𝑓(0) = 8.\nWyznacz wzór funkcji 𝑓.\n\nEMAP-P0_100\nFunkcja kwadratowa f ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 2. Ponadto f(0)=8. Wyznacz wzór funkcji f.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji\nlub o jej wykresie.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nzapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej/kanonicznej z uwzględnieniem\ninformacji, że liczba 2 jest jedynym miejscem zerowym funkcji: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2\nALBO\nskorzysta z własności funkcji kwadratowej i zapisze wartość wyrazu wolnego\nfunkcji 𝑓, np. 𝑐= 8, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 8,\nALBO\nzapisze równanie 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 lub -𝑏\n2𝑎= 2.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i zapisze wzór funkcji 𝑓 z poprawnymi wartościami\nwspółczynników, np.: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -8𝑥+ 8, 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-2)2.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej/kanonicznej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 ,\ngdzie 𝑎≠0. Ponieważ 𝑓(0) = 8, więc 8 = 𝑎(0 -2)2, skąd 𝑎= 2.\nZatem 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-2)2.\nSposób 2.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐,\ngdzie 𝑎≠0 oraz 𝑏, 𝑐∈ℝ. Ponieważ 𝑓(0) = 8, więc 𝑐= 8. Funkcja 𝑓 ma dokładnie\njedno miejsce zerowe równe 2, więc\nΔ = 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 i 𝑥0 = -𝑏\n2𝑎= 2.\nZatem 𝑏2 -4𝑎⋅8 = 0 i 𝑏= -4𝑎. Stąd otrzymujemy (-4𝑎)2 -4𝑎⋅8 = 0.\nRozwiązujemy równanie (-4𝑎)2 -4𝑎⋅8 = 0:\n(-4𝑎)2 -4𝑎⋅8 = 0\n16𝑎2 -32𝑎= 0\n16𝑎(𝑎-2) = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎= 0 lub 𝑎= 2\nFunkcja 𝑓 jest kwadratowa, więc 𝑎= 2 i wówczas 𝑏= -4𝑎= -8.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -8𝑥+ 8.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = 2(x-2)^2\\)\n\n## Sposób 1 - Postać kanoniczna (jedno miejsce zerowe → wiedza o wierzchołku)\n\n**Kluczowa obserwacja:** Funkcja kwadratowa ma *dokładnie jedno* miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy \\(\\Delta = 0\\), czyli gdy to miejsce zerowe jest jednocześnie wierzchołkiem paraboli.\n\nSkoro jedyne miejsce zerowe to \\(x_0 = 2\\), to wierzchołek leży na osi \\(OX\\) w punkcie \\(W = (2, 0)\\).\n\n**Korzystamy z postaci kanonicznej:**\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\nPodstawiamy \\(p = 2\\), \\(q = 0\\):\n\\[f(x) = a(x - 2)^2\\]\n\nTeraz wyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\):\n\\[f(0) = a(0 - 2)^2 = 4a = 8\\]\n\\[a = 2\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\\boxed{f(x) = 2(x-2)^2}\\]\n\nMożemy też zapisać w postaci ogólnej:\n\\[f(x) = 2(x^2 - 4x + 4) = 2x^2 - 8x + 8\\]\n\n## Sposób 2 - Postać iloczynowa\n\nFunkcja kwadratowa z jednym miejscem zerowym \\(x_1 = x_2 = 2\\) w postaci iloczynowej:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x-2)(x-2) = a(x-2)^2\\]\n\nTo identyczny punkt startowy jak w Sposobie 1 - dalej wyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\):\n\\[f(0) = a \\cdot (0-2)^2 = 4a = 8 \\implies a = 2\\]\n\n**Weryfikacja pełna:**\n- Miejsce zerowe: \\(f(2) = 2(2-2)^2 = 2 \\cdot 0 = 0\\) ✓\n- Wartość w \\(x=0\\): \\(f(0) = 2(0-2)^2 = 2 \\cdot 4 = 8\\) ✓\n- Jeden pierwiastek (podwójny): \\(\\Delta = 0\\) ✓\n\n\\[\\boxed{f(x) = 2(x-2)^2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]\nUżyta w Sposobie 1 - wiedząc, że jedyne miejsce zerowe to \\(x = 2\\), od razu wiemy, że \\(p = 2\\) i \\(q = 0\\).\n\nPostać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyta w Sposobie 2 - gdy \\(x_1 = x_2 = 2\\), obie postaci dają ten sam wynik.\n\nWarunek jednego miejsca zerowego:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 0\\]\nTo właśnie sprawia, że parabola dotyka osi \\(OX\\) w jednym punkcie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Dokładnie jedno miejsce zerowe\" nie znaczy, że \\(f\\) jest liniowa - to funkcja *kwadratowa* z podwójnym pierwiastkiem (\\(\\Delta = 0\\)). Nie zapominaj o współczynniku \\(a\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że mamy dwa warunki - miejsce zerowe i \\(f(0) = 8\\). Sam fakt \\(x_0 = 2\\) nie wyznacza \\(f\\) jednoznacznie: \\(a(x-2)^2\\) to cała rodzina parabol. Dopiero wartość \\(f(0) = 8\\) \"przypina\" konkretną parabolę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno automatycznie przyjąć \\(a = 1\\). Współczynnik \\(a\\) zawsze wyznaczamy z dodatkowego warunku (tu: \\(f(0) = 8\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = 2(x - 2)^{2} = 2x^{2} - 8x + 8\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - postać iloczynowa/kanoniczna\nSkoro funkcja kwadratowa ma DOKŁADNIE JEDNO miejsce zerowe \\(x_{0} = 2\\), to:\n\\[f(x) = a(x - 2)^{2},\\qquad a \\ne 0.\\]\nZ warunku \\(f(0) = 8\\): \\(a(0 - 2)^{2} = 8\\Rightarrow 4a = 8\\Rightarrow a = 2\\).\nZatem \\(f(x) = 2(x - 2)^{2} = 2x^{2} - 8x + 8\\).\n\n### Sposób 2 - postać ogólna\n\\(f(x) = ax^{2} + bx + c\\). Z \\(f(0) = c = 8\\). Jedno miejsce zerowe: \\(\\Delta = b^{2} - 4ac = 0\\) i wierzchołek w \\(x_{0} = 2\\), więc \\(-\\dfrac{b}{2a} = 2\\Rightarrow b = -4a\\).\nPodstawiamy do \\(\\Delta = 0\\): \\((-4a)^{2} - 4a\\cdot 8 = 0\\Rightarrow 16a^{2} - 32a = 0\\Rightarrow 16a(a-2) = 0\\). \\(a \\ne 0\\), więc \\(a = 2\\) i \\(b = -8\\).\n\\(f(x) = 2x^{2} - 8x + 8\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- **1 pkt** za postać \\(f(x) = a(x-2)^{2}\\) albo zapisanie \\(c = 8\\), albo ustalenie warunku \\(\\Delta = 0\\).\n- **2 pkt** za prawidłowe \\(f(x) = 2x^{2} - 8x + 8\\).\n\n**Trik:** \"dokładnie jedno miejsce zerowe\" funkcji kwadratowej = podwójny pierwiastek = \\(\\Delta = 0\\) = postać \\(a(x - x_{0})^{2}\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"funkcje","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 31. (0-2)<br>Funkcja kwadratowa 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 2. Ponadto 𝑓(0) = 8.<br>Wyznacz wzór funkcji 𝑓.</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Funkcja kwadratowa f ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 2. Ponadto f(0)=8. Wyznacz wzór funkcji f.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 31. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na<br>podstawie pewnych informacji o tej funkcji<br>lub o jej wykresie.<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy:<br>zapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej/kanonicznej z uwzględnieniem<br>informacji, że liczba 2 jest jedynym miejscem zerowym funkcji: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2<br>ALBO<br>skorzysta z własności funkcji kwadratowej i zapisze wartość wyrazu wolnego<br>funkcji 𝑓, np. 𝑐= 8, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 8,<br>ALBO<br>zapisze równanie 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 lub -𝑏<br>2𝑎= 2.<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy zastosuje poprawną metodę i zapisze wzór funkcji 𝑓 z poprawnymi wartościami<br>współczynników, np.: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -8𝑥+ 8, 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-2)2.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej/kanonicznej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 ,<br>gdzie 𝑎≠0. Ponieważ 𝑓(0) = 8, więc 8 = 𝑎(0 -2)2, skąd 𝑎= 2.<br>Zatem 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-2)2.<br>Sposób 2.<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐,<br>gdzie 𝑎≠0 oraz 𝑏, 𝑐∈ℝ. Ponieważ 𝑓(0) = 8, więc 𝑐= 8. Funkcja 𝑓 ma dokładnie<br>jedno miejsce zerowe równe 2, więc<br>Δ = 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 i 𝑥0 = -𝑏<br>2𝑎= 2.<br>Zatem 𝑏2 -4𝑎⋅8 = 0 i 𝑏= -4𝑎. Stąd otrzymujemy (-4𝑎)2 -4𝑎⋅8 = 0.<br>Rozwiązujemy równanie (-4𝑎)2 -4𝑎⋅8 = 0:<br>(-4𝑎)2 -4𝑎⋅8 = 0<br>16𝑎2 -32𝑎= 0<br>16𝑎(𝑎-2) = 0<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>𝑎= 0 lub 𝑎= 2<br>Funkcja 𝑓 jest kwadratowa, więc 𝑎= 2 i wówczas 𝑏= -4𝑎= -8.<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -8𝑥+ 8.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = 2(x-2)^2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Postać kanoniczna (jedno miejsce zerowe → wiedza o wierzchołku)</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> Funkcja kwadratowa ma <em>dokładnie jedno</em> miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy \\(\\Delta = 0\\), czyli gdy to miejsce zerowe jest jednocześnie wierzchołkiem paraboli.</p>\n<p>Skoro jedyne miejsce zerowe to \\(x_0 = 2\\), to wierzchołek leży na osi \\(OX\\) w punkcie \\(W = (2, 0)\\).</p>\n<p><strong>Korzystamy z postaci kanonicznej:</strong><br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(p = 2\\), \\(q = 0\\):<br>\\[f(x) = a(x - 2)^2\\]</p>\n<p>Teraz wyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\):<br>\\[f(0) = a(0 - 2)^2 = 4a = 8\\]<br>\\[a = 2\\]</p>\n<p><strong>Wynik:</strong><br>\\[\\boxed{f(x) = 2(x-2)^2}\\]</p>\n<p>Możemy też zapisać w postaci ogólnej:<br>\\[f(x) = 2(x^2 - 4x + 4) = 2x^2 - 8x + 8\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Postać iloczynowa</h4>\n<p>Funkcja kwadratowa z jednym miejscem zerowym \\(x_1 = x_2 = 2\\) w postaci iloczynowej:<br>\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x-2)(x-2) = a(x-2)^2\\]</p>\n<p>To identyczny punkt startowy jak w Sposobie 1 - dalej wyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\):<br>\\[f(0) = a \\cdot (0-2)^2 = 4a = 8 \\implies a = 2\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja pełna:</strong></p>\n<ul><li>Miejsce zerowe: \\(f(2) = 2(2-2)^2 = 2 \\cdot 0 = 0\\) ✓</li><li>Wartość w \\(x=0\\): \\(f(0) = 2(0-2)^2 = 2 \\cdot 4 = 8\\) ✓</li><li>Jeden pierwiastek (podwójny): \\(\\Delta = 0\\) ✓</li></ul>\n<p>\\[\\boxed{f(x) = 2(x-2)^2}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong></p>\n<p>Postać kanoniczna:<br>\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]<br>Użyta w Sposobie 1 - wiedząc, że jedyne miejsce zerowe to \\(x = 2\\), od razu wiemy, że \\(p = 2\\) i \\(q = 0\\).</p>\n<p>Postać iloczynowa:<br>\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]<br>Użyta w Sposobie 2 - gdy \\(x_1 = x_2 = 2\\), obie postaci dają ten sam wynik.</p>\n<p>Warunek jednego miejsca zerowego:<br>\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 0\\]<br>To właśnie sprawia, że parabola dotyka osi \\(OX\\) w jednym punkcie.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> &quot;Dokładnie jedno miejsce zerowe&quot; nie znaczy, że \\(f\\) jest liniowa - to funkcja <em>kwadratowa</em> z podwójnym pierwiastkiem (\\(\\Delta = 0\\)). Nie zapominaj o współczynniku \\(a\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo zapomnieć, że mamy dwa warunki - miejsce zerowe i \\(f(0) = 8\\). Sam fakt \\(x_0 = 2\\) nie wyznacza \\(f\\) jednoznacznie: \\(a(x-2)^2\\) to cała rodzina parabol. Dopiero wartość \\(f(0) = 8\\) &quot;przypina&quot; konkretną parabolę.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wolno automatycznie przyjąć \\(a = 1\\). Współczynnik \\(a\\) zawsze wyznaczamy z dodatkowego warunku (tu: \\(f(0) = 8\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = 2(x - 2)^{2} = 2x^{2} - 8x + 8\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (karta wzorów) - postać iloczynowa/kanoniczna</h5>\n<p>Skoro funkcja kwadratowa ma DOKŁADNIE JEDNO miejsce zerowe \\(x_{0} = 2\\), to:<br>\\[f(x) = a(x - 2)^{2},\\qquad a \\ne 0.\\]<br>Z warunku \\(f(0) = 8\\): \\(a(0 - 2)^{2} = 8\\Rightarrow 4a = 8\\Rightarrow a = 2\\).<br>Zatem \\(f(x) = 2(x - 2)^{2} = 2x^{2} - 8x + 8\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - postać ogólna</h5>\n<p>\\(f(x) = ax^{2} + bx + c\\). Z \\(f(0) = c = 8\\). Jedno miejsce zerowe: \\(\\Delta = b^{2} - 4ac = 0\\) i wierzchołek w \\(x_{0} = 2\\), więc \\(-\\dfrac{b}{2a} = 2\\Rightarrow b = -4a\\).<br>Podstawiamy do \\(\\Delta = 0\\): \\((-4a)^{2} - 4a\\cdot 8 = 0\\Rightarrow 16a^{2} - 32a = 0\\Rightarrow 16a(a-2) = 0\\). \\(a \\ne 0\\), więc \\(a = 2\\) i \\(b = -8\\).<br>\\(f(x) = 2x^{2} - 8x + 8\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong> za postać \\(f(x) = a(x-2)^{2}\\) albo zapisanie \\(c = 8\\), albo ustalenie warunku \\(\\Delta = 0\\).</li><li><strong>2 pkt</strong> za prawidłowe \\(f(x) = 2x^{2} - 8x + 8\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> &quot;dokładnie jedno miejsce zerowe&quot; funkcji kwadratowej = podwójny pierwiastek = \\(\\Delta = 0\\) = postać \\(a(x - x_{0})^{2}\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od zapisu wzoru funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej: $$f(x) = a(x - 2)^2$$. Ponieważ funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe w punkcie $2$, to postać ta jest odpowiednia.\\</li></ol>\n<p>\\</p>\n<ol><li>Zauważamy, że parametr $a$ jest różny od zera, ponieważ funkcja jest kwadratowa.\\</li></ol>\n<p>\\</p>\n<ol><li>Skorzystamy z informacji, że $f(0) = 8$. Podstawiamy $x = 0$ do wzoru: $$f(0) = a(0 - 2)^2 = 8$$.\\</li></ol>\n<p>\\</p>\n<ol><li>Obliczamy wartość wyrażenia: $$f(0) = a(-2)^2 = 8$$, co daje $$f(0) = 4a$$.\\</li></ol>\n<p>\\</p>\n<ol><li>Możemy uzyskać równanie: $$4a = 8$$.\\</li></ol>\n<p>\\</p>\n<ol><li>Dzielimy obie strony równania przez $4$: $$a = 2$$.\\</li></ol>\n<p>\\</p>\n<ol><li>Teraz, mając wartość $a = 2$, możemy podstawić ją z powrotem do wzoru funkcji: $$f(x) = 2(x - 2)^2$$.\\</li></ol>\n<p>\\</p>\n<ol><li>Opcjonalnie, możemy przekształcić tę funkcję do postaci ogólnej, rozkładając nawiasy: $$f(x) = 2(x^2 - 4x + 4)$$.\\</li></ol>\n<p>\\</p>\n<ol><li>Rozpoczynamy rozwinięcie: $$f(x) = 2x^2 - 8x + 8$$.\\</li></ol>\n<p>\\</p>\n<ol><li>Ostatecznie uzyskujemy wzór funkcji w postaci ogólnej: $$f(x) = 2x^2 - 8x + 8$$.\\</li></ol>\n<p>\\<br><strong>Odpowiedź:</strong> Wzór funkcji $f$ to $f(x) = 2x^2 - 8x + 8$.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$f(x) = 2(x - 2)^2$</p>"}]}