{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nTrójwyrazowy ciąg (𝑥, 3𝑥+ 2, 9𝑥+ 16) jest geometryczny. Oblicz 𝑥.\n\nEMAP-P0_100\nTrójwyrazowy ciąg (x, 3x+2, 9x+16) jest geometryczny. Oblicz x.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.7) rozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nzapisze równanie z niewiadomą 𝑥, wynikające z zastosowania definicji/własności\nciągu geometrycznego, np. (3𝑥+ 2)2 = 𝑥⋅(9𝑥+ 16)\nALBO\nzapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi (z których jedną jest 𝑥), wynikające\nz treści zadania, np. 3𝑥+ 2 = 𝑥⋅𝑞 oraz 9𝑥+ 16 = 𝑥⋅𝑞2.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy spełni kryterium z zasad oceniania za 1 pkt i obliczy wszystkie wartości 𝑥, dla których\nciąg (𝑥, 3𝑥+ 2, 9𝑥+ 16) jest geometryczny: 𝑥= 1.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze tylko 𝑥= 1, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ ciąg (0, 2, 16) nie jest geometryczny, więc 𝑥≠0. Ciąg (-2\n3 , 0, 10) nie jest\ngeometryczny, więc 𝑥≠-2\n3 . Korzystamy z definicji/własności ciągu geometrycznego\ni zapisujemy równanie\n3𝑥+ 2\n𝑥\n= 9𝑥+ 16\n3𝑥+ 2\nStąd dalej otrzymujemy\n(9𝑥+ 16)𝑥= (3𝑥+ 2)2\n9𝑥2 + 16𝑥= 9𝑥2 + 12𝑥+ 4\n4𝑥= 4\n𝑥= 1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób 2.\nKorzystamy z własności ciągu geometrycznego i zapisujemy równanie\n𝑥⋅(9𝑥+ 16) = (3𝑥+ 2)2\nStąd otrzymujemy dalej\n9𝑥2 + 16𝑥= 9𝑥2 + 12𝑥+ 4\n4𝑥= 4\n𝑥= 1\nCiąg (1, 5, 25) jest geometryczny, więc 𝑥= 1.\nSposób 3.\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego. Stosujemy wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu\ni otrzymujemy równania\n3𝑥+ 2 = 𝑥⋅𝑞 oraz 9𝑥+ 16 = 𝑥⋅𝑞2\nLiczba 𝑥= 0 nie spełnia żadnego z tych dwóch równań, więc 𝑥≠0. Zatem\n𝑞= 3𝑥+2\n𝑥\noraz 9𝑥+ 16 = 𝑥⋅𝑞2\nStąd dalej otrzymujemy\n9𝑥+ 16 = 𝑥⋅(3𝑥+ 2\n𝑥\n)\n2\n(9𝑥+ 16)𝑥= (3𝑥+ 2)2\n9𝑥2 + 16𝑥= 9𝑥2 + 12𝑥+ 4\n4𝑥= 4\n𝑥= 1\nCiąg (1, 5, 25) jest geometryczny, więc 𝑥= 1.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 1\\)\n\nCiąg ma wyrazy \\((1,\\ 5,\\ 25)\\) - iloraz \\(q = 5\\).\n\n## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym środkowy wyraz spełnia:\n\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy nasze wyrazy:\n\\[(3x + 2)^2 = x \\cdot (9x + 16)\\]\n\nRozwijamy lewą stronę wzorem \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\):\n\\[9x^2 + 12x + 4 = 9x^2 + 16x\\]\n\nOdejmujemy \\(9x^2\\) od obu stron:\n\\[12x + 4 = 16x\\]\n\n\\[4 = 4x\\]\n\n\\[\\boxed{x = 1}\\]\n\n**Sprawdzenie:** wyrazy ciągu to \\((1,\\ 5,\\ 25)\\). Iloraz: \\(\\frac{5}{1} = 5\\), \\(\\frac{25}{5} = 5\\). ✓\n\n## Sposób 2 - warunek stałości ilorazu\n\nCiąg jest geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{3x + 2}{x} = \\frac{9x + 16}{3x + 2}\\]\n\nMnożymy na krzyż (to samo co Sposób 1, ale inny punkt wyjścia):\n\\[(3x+2)^2 = x(9x+16)\\]\n\\[9x^2 + 12x + 4 = 9x^2 + 16x\\]\n\\[4 = 4x \\implies x = 1\\]\n\n**Uwaga:** oba sposoby prowadzą do tego samego równania, bo własność \\((a_2)^2 = a_1 a_3\\) jest dokładnie równoważna stałości ilorazu. Ważne, żeby rozumieć dlaczego - oba zapisy mówią to samo.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 dla \\(n = 2\\): \\((a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy do rozwinięcia \\((3x+2)^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy napisać \\((3x+2) - x = (9x+16) - (3x+2)\\) - to warunek ciągu **arytmetycznego**, nie geometrycznego! To jest najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(x\\) sprawdź, czy **żaden wyraz nie jest zerem** - w ciągu geometrycznym wszystkie wyrazy muszą być niezerowe. Tu \\(x = 1 \\neq 0\\), \\(3(1)+2 = 5 \\neq 0\\) - jest OK.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\((3x+2)^2 = x(9x+16)\\) jest **kwadratowe**, ale po rozwinięciu wyrazy \\(9x^2\\) znoszą się - zostaje równanie liniowe z jednym rozwiązaniem. Nie panikuj, że \"za mało\" rozwiązań - tak ma być.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = 1\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - własność ciągu geometrycznego\nDla ciągu geometrycznego \\((a, b, c)\\) zachodzi: \\(b^{2} = a\\cdot c\\).\nPonadto \\(x \\neq 0\\) (ciąg \\((0, 2, 16)\\) nie jest geometryczny).\n\\[(3x + 2)^{2} = x(9x + 16).\\]\n\\[9x^{2} + 12x + 4 = 9x^{2} + 16x.\\]\n\\[4 = 4x\\Rightarrow x = 1.\\]\nSprawdzenie: \\((1, 5, 25)\\) - iloraz \\(\\dfrac{5}{1} = 5\\) i \\(\\dfrac{25}{5} = 5\\). ✓\n\n### Sposób 2 - przez iloraz\nIloraz \\(q = \\dfrac{3x+2}{x} = \\dfrac{9x+16}{3x+2}\\) (przy \\(x \\neq 0\\) i \\(3x+2 \\neq 0\\)).\nZ proporcji: \\((3x+2)^{2} = x(9x+16)\\) - to samo równanie, \\(x = 1\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- **1 pkt** za zapisanie równania z definicji/własności ciągu geometrycznego.\n- **2 pkt** za poprawny wynik \\(x = 1\\).\n- **Uwaga:** podanie tylko \\(x = 1\\) bez uzasadnienia = **0 pkt**.\n\n**Trik:** w ciągu geometrycznym każdy wyraz to ŚREDNIA GEOMETRYCZNA sąsiadów: \\(b = \\sqrt{ac}\\) (gdy wszystkie dodatnie), czyli \\(b^{2} = ac\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"ciagi","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (0-2)
Trójwyrazowy ciąg (𝑥, 3𝑥+ 2, 9𝑥+ 16) jest geometryczny. Oblicz 𝑥.

\n

EMAP-P0_100
Trójwyrazowy ciąg (x, 3x+2, 9x+16) jest geometryczny. Oblicz x.

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
3.7) rozwiązuje proste równania wymierne,
prowadzące do równań liniowych lub
kwadratowych […].
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
zapisze równanie z niewiadomą 𝑥, wynikające z zastosowania definicji/własności
ciągu geometrycznego, np. (3𝑥+ 2)2 = 𝑥⋅(9𝑥+ 16)
ALBO
zapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi (z których jedną jest 𝑥), wynikające
z treści zadania, np. 3𝑥+ 2 = 𝑥⋅𝑞 oraz 9𝑥+ 16 = 𝑥⋅𝑞2.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy spełni kryterium z zasad oceniania za 1 pkt i obliczy wszystkie wartości 𝑥, dla których
ciąg (𝑥, 3𝑥+ 2, 9𝑥+ 16) jest geometryczny: 𝑥= 1.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑥= 1, to otrzymuje 0 punktów.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Ponieważ ciąg (0, 2, 16) nie jest geometryczny, więc 𝑥≠0. Ciąg (-2
3 , 0, 10) nie jest
geometryczny, więc 𝑥≠-2
3 . Korzystamy z definicji/własności ciągu geometrycznego
i zapisujemy równanie
3𝑥+ 2
𝑥
= 9𝑥+ 16
3𝑥+ 2
Stąd dalej otrzymujemy
(9𝑥+ 16)𝑥= (3𝑥+ 2)2
9𝑥2 + 16𝑥= 9𝑥2 + 12𝑥+ 4
4𝑥= 4
𝑥= 1
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób 2.
Korzystamy z własności ciągu geometrycznego i zapisujemy równanie
𝑥⋅(9𝑥+ 16) = (3𝑥+ 2)2
Stąd otrzymujemy dalej
9𝑥2 + 16𝑥= 9𝑥2 + 12𝑥+ 4
4𝑥= 4
𝑥= 1
Ciąg (1, 5, 25) jest geometryczny, więc 𝑥= 1.
Sposób 3.
Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego. Stosujemy wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu
i otrzymujemy równania
3𝑥+ 2 = 𝑥⋅𝑞 oraz 9𝑥+ 16 = 𝑥⋅𝑞2
Liczba 𝑥= 0 nie spełnia żadnego z tych dwóch równań, więc 𝑥≠0. Zatem
𝑞= 3𝑥+2
𝑥
oraz 9𝑥+ 16 = 𝑥⋅𝑞2
Stąd dalej otrzymujemy
9𝑥+ 16 = 𝑥⋅(3𝑥+ 2
𝑥
)
2
(9𝑥+ 16)𝑥= (3𝑥+ 2)2
9𝑥2 + 16𝑥= 9𝑥2 + 12𝑥+ 4
4𝑥= 4
𝑥= 1
Ciąg (1, 5, 25) jest geometryczny, więc 𝑥= 1.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 1\\)

\n

Ciąg ma wyrazy \\((1,\\ 5,\\ 25)\\) - iloraz \\(q = 5\\).

\n

Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego

\n

W ciągu geometrycznym środkowy wyraz spełnia:
\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]

\n

Podstawiamy nasze wyrazy:
\\[(3x + 2)^2 = x \\cdot (9x + 16)\\]

\n

Rozwijamy lewą stronę wzorem \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\):
\\[9x^2 + 12x + 4 = 9x^2 + 16x\\]

\n

Odejmujemy \\(9x^2\\) od obu stron:
\\[12x + 4 = 16x\\]

\n

\\[4 = 4x\\]

\n

\\[\\boxed{x = 1}\\]

\n

Sprawdzenie: wyrazy ciągu to \\((1,\\ 5,\\ 25)\\). Iloraz: \\(\\frac{5}{1} = 5\\), \\(\\frac{25}{5} = 5\\). ✓

\n

Sposób 2 - warunek stałości ilorazu

\n

Ciąg jest geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy:
\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]

\n

Podstawiamy:
\\[\\frac{3x + 2}{x} = \\frac{9x + 16}{3x + 2}\\]

\n

Mnożymy na krzyż (to samo co Sposób 1, ale inny punkt wyjścia):
\\[(3x+2)^2 = x(9x+16)\\]
\\[9x^2 + 12x + 4 = 9x^2 + 16x\\]
\\[4 = 4x \\implies x = 1\\]

\n

Uwaga: oba sposoby prowadzą do tego samego równania, bo własność \\((a_2)^2 = a_1 a_3\\) jest dokładnie równoważna stałości ilorazu. Ważne, żeby rozumieć dlaczego - oba zapisy mówią to samo.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność ciągu geometrycznego:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 dla \\(n = 2\\): \\((a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\).

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]
Użyliśmy do rozwinięcia \\((3x+2)^2\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy napisać \\((3x+2) - x = (9x+16) - (3x+2)\\) - to warunek ciągu arytmetycznego, nie geometrycznego! To jest najczęstszy błąd w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu \\(x\\) sprawdź, czy żaden wyraz nie jest zerem - w ciągu geometrycznym wszystkie wyrazy muszą być niezerowe. Tu \\(x = 1 \\neq 0\\), \\(3(1)+2 = 5 \\neq 0\\) - jest OK.
\n
⚠️ Uwaga: Równanie \\((3x+2)^2 = x(9x+16)\\) jest kwadratowe, ale po rozwinięciu wyrazy \\(9x^2\\) znoszą się - zostaje równanie liniowe z jednym rozwiązaniem. Nie panikuj, że "za mało" rozwiązań - tak ma być.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = 1\\)

\n
Sposób 1 (karta wzorów) - własność ciągu geometrycznego
\n

Dla ciągu geometrycznego \\((a, b, c)\\) zachodzi: \\(b^{2} = a\\cdot c\\).
Ponadto \\(x \\neq 0\\) (ciąg \\((0, 2, 16)\\) nie jest geometryczny).
\\[(3x + 2)^{2} = x(9x + 16).\\]
\\[9x^{2} + 12x + 4 = 9x^{2} + 16x.\\]
\\[4 = 4x\\Rightarrow x = 1.\\]
Sprawdzenie: \\((1, 5, 25)\\) - iloraz \\(\\dfrac{5}{1} = 5\\) i \\(\\dfrac{25}{5} = 5\\). ✓

\n
Sposób 2 - przez iloraz
\n

Iloraz \\(q = \\dfrac{3x+2}{x} = \\dfrac{9x+16}{3x+2}\\) (przy \\(x \\neq 0\\) i \\(3x+2 \\neq 0\\)).
Z proporcji: \\((3x+2)^{2} = x(9x+16)\\) - to samo równanie, \\(x = 1\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: w ciągu geometrycznym każdy wyraz to ŚREDNIA GEOMETRYCZNA sąsiadów: \\(b = \\sqrt{ac}\\) (gdy wszystkie dodatnie), czyli \\(b^{2} = ac\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = 1$

"}]}