{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nDany jest trapez prostokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷. Podstawa 𝐴𝐵 tego trapezu jest równa 26, a ramię 𝐵𝐶\nma długość 24. Przekątna 𝐴𝐶 tego trapezu jest prostopadła do ramienia 𝐵𝐶 (zobacz\nrysunek). Oblicz długość ramienia 𝐴𝐷.\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n26\n24\n\nEMAP-P0_100\nDany jest trapez prostokątny ABCD. Podstawa AB tego trapezu jest równa 26, a ramię BC ma długość 24. Przekątna AC tego trapezu jest prostopadła do ramienia BC (zobacz rysunek). Oblicz długość ramienia AD.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nobliczy długość przekątnej 𝐴𝐶: |𝐴𝐶| = 10\nALBO\nzapisze, że trójkąty 𝐷𝐶𝐴 i 𝐶𝐴𝐵 są podobne,\nALBO\nzapisze związek między długościami odpowiednich boków trójkątów 𝐷𝐶𝐴 i 𝐶𝐵𝐴\nwynikający z podobieństwa tych trójkątów, np. |𝐴𝐷|\n|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|\n|𝐵𝐴|.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia długości ramienia 𝐴𝐷 i otrzyma poprawny\nwynik: |𝐴𝐷| = 10 ⋅24\n26 .\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość przekątnej 𝐴𝐶 trapezu:\n|𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐵|2\n|𝐴𝐶|2 + 242 = 262\n|𝐴𝐶| = √100 = 10\nPonieważ 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 są równoległe, więc kąty naprzemianległe 𝐶𝐴𝐵 oraz 𝐷𝐶𝐴 mają\nrówne miary. Z równości |∡𝐶𝐴𝐵| = |∡𝐷𝐶𝐴| oraz |∡𝐴𝐶𝐵| = |∡𝐶𝐷𝐴| = 90° otrzymujemy\n|∡𝐶𝐵𝐴| = |∡𝐷𝐴𝐶|. Zatem trójkąty 𝐷𝐶𝐴 i 𝐶𝐴𝐵 są podobne na podstawie cechy kkk\npodobieństwa trójkątów. Stąd\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|\n|𝐵𝐴|\n|𝐴𝐷|\n10 = 24\n26\n|𝐴𝐷| = 120\n13\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(AD = \\dfrac{120}{13}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + wysokość w trójkącie prostokątnym\n\n**Krok 1. Wyznaczamy AC z warunku AC ⊥ BC.**\n\nSkoro przekątna \\(AC\\) jest prostopadła do ramienia \\(BC\\), w trójkącie \\(ABC\\) mamy kąt prosty przy wierzchołku \\(C\\). Odcinek \\(AB = 26\\) jest zatem przeciwprostokątną. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\n\\[AB^2 = AC^2 + BC^2\\]\n\\[26^2 = AC^2 + 24^2\\]\n\\[676 = AC^2 + 576\\]\n\\[AC^2 = 100 \\implies \\boxed{AC = 10}\\]\n\nZauważ: to trójkąt podobny do trójkąta \\(5{-}12{-}13\\), skalowanego przez \\(2\\).\n\n**Krok 2. Identyfikujemy kąt prosty trapezu.**\n\nW trapez prostokątnym \\(ABCD\\) z podstawą \\(AB\\) kąt prosty jest przy ramieniu **AD** (tzn. \\(AD \\perp AB\\) i \\(AD \\perp DC\\)). Dlaczego nie przy \\(BC\\)? Bo gdyby \\(BC \\perp AB\\), wtedy \\(|AC| = \\sqrt{26^2 + 24^2} \\approx 35{,}4\\), co stoi w sprzeczności z otrzymanym \\(AC = 10\\). Kąt prosty musi być przy A i D.\n\n**Krok 3. Wyznaczamy AD jako wysokość trapezu.**\n\nUstawiamy: \\(A = (0,0)\\), \\(B = (26, 0)\\), \\(D = (0, AD)\\), \\(C = (DC, AD)\\).\n\nWysokość trapezu to odległość między podstawami, równa \\(AD\\). Jednocześnie jest to odległość punktu \\(C\\) od prostej \\(AB\\) - czyli **wysokość opuszczona z wierzchołka \\(C\\) na przeciwprostokątną \\(AB\\)** w trójkącie prostokątnym \\(ABC\\).\n\nWzór na tę wysokość (z twierdzenia o wysokości w trójkącie prostokątnym):\n\n\\[h_c = \\frac{AC \\cdot BC}{AB} = \\frac{10 \\cdot 24}{26} = \\frac{240}{26} = \\boxed{\\frac{120}{13}}\\]\n\nPonieważ \\(AD = h_c\\):\n\n\\[\\boxed{AD = \\frac{120}{13}}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda współrzędnych (weryfikacja)\n\nUstawiamy układ współrzędnych: \\(A = (0, 0)\\), \\(B = (26, 0)\\), \\(D = (0, h)\\), \\(C = (c, h)\\), gdzie \\(h = AD\\).\n\n**Warunek AC ⊥ BC** (iloczyn skalarny wektorów \\(\\overrightarrow{CA}\\) i \\(\\overrightarrow{CB}\\) równy zero):\n\n\\[\\overrightarrow{CA} = (-c,\\, -h), \\qquad \\overrightarrow{CB} = (26 - c,\\, -h)\\]\n\n\\[\\overrightarrow{CA} \\cdot \\overrightarrow{CB} = (-c)(26-c) + (-h)(-h) = 0\\]\n\n\\[-26c + c^2 + h^2 = 0 \\implies c^2 + h^2 = 26c \\quad \\text{ (I)}\\]\n\n**Warunek BC = 24:**\n\n\\[(c - 26)^2 + h^2 = 576\\]\n\\[c^2 - 52c + 676 + h^2 = 576\\]\n\nPodstawiamy (I): \\(c^2 + h^2 = 26c\\):\n\n\\[26c - 52c + 676 = 576\\]\n\\[-26c = -100 \\implies c = \\frac{50}{13}\\]\n\nZ równania (I):\n\n\\[h^2 = 26 \\cdot \\frac{50}{13} - \\left(\\frac{50}{13}\\right)^2 = 100 - \\frac{2500}{169} = \\frac{16900 - 2500}{169} = \\frac{14400}{169}\\]\n\n\\[h = \\frac{120}{13} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy } \\gamma = 90°\\text{)}\\]\nUżyliśmy go w Kroku 1 do wyznaczenia \\(AC = 10\\) z \\(AB^2 = AC^2 + BC^2\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16) - Pole trójkąta:**\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nPośrednio użyliśmy go, bo \\(h_c = \\frac{2P}{AB}\\), a \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot AC \\cdot BC\\). Stąd:\n\\[h_c = \\frac{AC \\cdot BC}{AB}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo założyć, że kąt prosty trapezu jest przy B (tzn. \\(BC \\perp AB\\)). Wtedy \\(AC = \\sqrt{26^2 + 24^2} \\approx 35{,}4\\) - a warunek \\(AC \\perp BC\\) nie może być spełniony. Najpierw sprawdź, która konfiguracja jest spójna!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro \\(AC \\perp BC\\) i odcinek \\(AB\\) jest przeciwprostokątną, to szukamy \\(AC = \\sqrt{AB^2 - BC^2}\\), a **nie** \\(\\sqrt{AB^2 + BC^2}\\). Pomylenie znaku to klasyczny błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trapezu (= \\(AD\\)) jest równa wysokości opuszczonej z C na AB w trójkącie ABC, bo \\(DC \\parallel AB\\) i \\(AD \\perp AB\\). Dopiero po dostrzeżeniu tej zależności rachunki stają się proste.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(|AD| = \\dfrac{120}{13}\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - twierdzenie Pitagorasa + podobieństwo trójkątów\nW trójkącie prostokątnym \\(ABC\\) (\\(\\angle ACB = 90^{\\circ}\\)):\n\\[|AC|^{2} + |BC|^{2} = |AB|^{2}\\Rightarrow |AC|^{2} + 576 = 676\\Rightarrow |AC| = 10.\\]\nPonieważ \\(AB \\parallel CD\\) (podstawy trapezu), kąty naprzemianległe \\(\\angle CAB = \\angle ACD\\), a \\(\\angle ACB = \\angle ADC = 90^{\\circ}\\) (trapez prostokątny). Stąd \\(\\triangle DCA \\sim \\triangle CAB\\) (kkk).\nZ podobieństwa:\n\\[\\dfrac{|AD|}{|AC|} = \\dfrac{|BC|}{|AB|}\\Rightarrow \\dfrac{|AD|}{10} = \\dfrac{24}{26}\\Rightarrow |AD| = \\dfrac{240}{26} = \\dfrac{120}{13}.\\]\n\n### Sposób 2 - funkcje trygonometryczne\nW \\(\\triangle ABC\\): \\(\\sin(\\angle BAC) = \\dfrac{|BC|}{|AB|} = \\dfrac{24}{26} = \\dfrac{12}{13}\\). Kąt \\(\\angle DAC = \\angle BAC\\) nie - ale kąt \\(\\angle ACD\\) jest naprzemianległy do \\(\\angle CAB\\), a w \\(\\triangle ACD\\) (prostokątny, \\(\\angle D = 90^{\\circ}\\)): \\(\\sin(\\angle ACD) = \\dfrac{|AD|}{|AC|}\\), czyli \\(|AD| = 10\\cdot \\sin(\\angle BAC) = 10\\cdot \\dfrac{12}{13} = \\dfrac{120}{13}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- **1 pkt** za obliczenie \\(|AC| = 10\\) lub zauważenie podobieństwa \\(\\triangle DCA \\sim \\triangle CAB\\) lub zapisanie proporcji.\n- **2 pkt** za pełne rozwiązanie z \\(|AD| = \\tfrac{120}{13}\\).\n\n**Trik:** w trapezie prostokątnym z przekątną prostopadłą do ramienia powstają dwa trójkąty podobne - zapamiętaj ten typ zadania.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 33. (0-2)<br>Dany jest trapez prostokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷. Podstawa 𝐴𝐵 tego trapezu jest równa 26, a ramię 𝐵𝐶<br>ma długość 24. Przekątna 𝐴𝐶 tego trapezu jest prostopadła do ramienia 𝐵𝐶 (zobacz<br>rysunek). Oblicz długość ramienia 𝐴𝐷.<br>𝐴<br>𝐶<br>𝐵<br>𝐷<br>26<br>24</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Dany jest trapez prostokątny ABCD. Podstawa AB tego trapezu jest równa 26, a ramię BC ma długość 24. Przekątna AC tego trapezu jest prostopadła do ramienia BC (zobacz rysunek). Oblicz długość ramienia AD.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>7.3) rozpoznaje trójkąty podobne<br>i wykorzystuje cechy podobieństwa<br>trójkątów.<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy:<br>obliczy długość przekątnej 𝐴𝐶: |𝐴𝐶| = 10<br>ALBO<br>zapisze, że trójkąty 𝐷𝐶𝐴 i 𝐶𝐴𝐵 są podobne,<br>ALBO<br>zapisze związek między długościami odpowiednich boków trójkątów 𝐷𝐶𝐴 i 𝐶𝐵𝐴<br>wynikający z podobieństwa tych trójkątów, np. |𝐴𝐷|<br>|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|<br>|𝐵𝐴|.<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia długości ramienia 𝐴𝐷 i otrzyma poprawny<br>wynik: |𝐴𝐷| = 10 ⋅24<br>26 .<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość przekątnej 𝐴𝐶 trapezu:<br>|𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐵|2<br>|𝐴𝐶|2 + 242 = 262<br>|𝐴𝐶| = √100 = 10<br>Ponieważ 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 są równoległe, więc kąty naprzemianległe 𝐶𝐴𝐵 oraz 𝐷𝐶𝐴 mają<br>równe miary. Z równości |∡𝐶𝐴𝐵| = |∡𝐷𝐶𝐴| oraz |∡𝐴𝐶𝐵| = |∡𝐶𝐷𝐴| = 90° otrzymujemy<br>|∡𝐶𝐵𝐴| = |∡𝐷𝐴𝐶|. Zatem trójkąty 𝐷𝐶𝐴 i 𝐶𝐴𝐵 są podobne na podstawie cechy kkk<br>podobieństwa trójkątów. Stąd<br>|𝐴𝐷|<br>|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|<br>|𝐵𝐴|<br>|𝐴𝐷|<br>10 = 24<br>26<br>|𝐴𝐷| = 120<br>13<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(AD = \\dfrac{120}{13}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + wysokość w trójkącie prostokątnym</h4>\n<p><strong>Krok 1. Wyznaczamy AC z warunku AC ⊥ BC.</strong></p>\n<p>Skoro przekątna \\(AC\\) jest prostopadła do ramienia \\(BC\\), w trójkącie \\(ABC\\) mamy kąt prosty przy wierzchołku \\(C\\). Odcinek \\(AB = 26\\) jest zatem przeciwprostokątną. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:</p>\n<p>\\[AB^2 = AC^2 + BC^2\\]<br>\\[26^2 = AC^2 + 24^2\\]<br>\\[676 = AC^2 + 576\\]<br>\\[AC^2 = 100 \\implies \\boxed{AC = 10}\\]</p>\n<p>Zauważ: to trójkąt podobny do trójkąta \\(5{-}12{-}13\\), skalowanego przez \\(2\\).</p>\n<p><strong>Krok 2. Identyfikujemy kąt prosty trapezu.</strong></p>\n<p>W trapez prostokątnym \\(ABCD\\) z podstawą \\(AB\\) kąt prosty jest przy ramieniu <strong>AD</strong> (tzn. \\(AD \\perp AB\\) i \\(AD \\perp DC\\)). Dlaczego nie przy \\(BC\\)? Bo gdyby \\(BC \\perp AB\\), wtedy \\(|AC| = \\sqrt{26^2 + 24^2} \\approx 35{,}4\\), co stoi w sprzeczności z otrzymanym \\(AC = 10\\). Kąt prosty musi być przy A i D.</p>\n<p><strong>Krok 3. Wyznaczamy AD jako wysokość trapezu.</strong></p>\n<p>Ustawiamy: \\(A = (0,0)\\), \\(B = (26, 0)\\), \\(D = (0, AD)\\), \\(C = (DC, AD)\\).</p>\n<p>Wysokość trapezu to odległość między podstawami, równa \\(AD\\). Jednocześnie jest to odległość punktu \\(C\\) od prostej \\(AB\\) - czyli <strong>wysokość opuszczona z wierzchołka \\(C\\) na przeciwprostokątną \\(AB\\)</strong> w trójkącie prostokątnym \\(ABC\\).</p>\n<p>Wzór na tę wysokość (z twierdzenia o wysokości w trójkącie prostokątnym):</p>\n<p>\\[h_c = \\frac{AC \\cdot BC}{AB} = \\frac{10 \\cdot 24}{26} = \\frac{240}{26} = \\boxed{\\frac{120}{13}}\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(AD = h_c\\):</p>\n<p>\\[\\boxed{AD = \\frac{120}{13}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Metoda współrzędnych (weryfikacja)</h4>\n<p>Ustawiamy układ współrzędnych: \\(A = (0, 0)\\), \\(B = (26, 0)\\), \\(D = (0, h)\\), \\(C = (c, h)\\), gdzie \\(h = AD\\).</p>\n<p><strong>Warunek AC ⊥ BC</strong> (iloczyn skalarny wektorów \\(\\overrightarrow{CA}\\) i \\(\\overrightarrow{CB}\\) równy zero):</p>\n<p>\\[\\overrightarrow{CA} = (-c,\\, -h), \\qquad \\overrightarrow{CB} = (26 - c,\\, -h)\\]</p>\n<p>\\[\\overrightarrow{CA} \\cdot \\overrightarrow{CB} = (-c)(26-c) + (-h)(-h) = 0\\]</p>\n<p>\\[-26c + c^2 + h^2 = 0 \\implies c^2 + h^2 = 26c \\quad \\text{ (I)}\\]</p>\n<p><strong>Warunek BC = 24:</strong></p>\n<p>\\[(c - 26)^2 + h^2 = 576\\]<br>\\[c^2 - 52c + 676 + h^2 = 576\\]</p>\n<p>Podstawiamy (I): \\(c^2 + h^2 = 26c\\):</p>\n<p>\\[26c - 52c + 676 = 576\\]<br>\\[-26c = -100 \\implies c = \\frac{50}{13}\\]</p>\n<p>Z równania (I):</p>\n<p>\\[h^2 = 26 \\cdot \\frac{50}{13} - \\left(\\frac{50}{13}\\right)^2 = 100 - \\frac{2500}{169} = \\frac{16900 - 2500}{169} = \\frac{14400}{169}\\]</p>\n<p>\\[h = \\frac{120}{13} \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:</strong><br>\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy } \\gamma = 90°\\text{)}\\]<br>Użyliśmy go w Kroku 1 do wyznaczenia \\(AC = 10\\) z \\(AB^2 = AC^2 + BC^2\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 16) - Pole trójkąta:</strong><br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]<br>Pośrednio użyliśmy go, bo \\(h_c = \\frac{2P}{AB}\\), a \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot AC \\cdot BC\\). Stąd:<br>\\[h_c = \\frac{AC \\cdot BC}{AB}\\]</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo założyć, że kąt prosty trapezu jest przy B (tzn. \\(BC \\perp AB\\)). Wtedy \\(AC = \\sqrt{26^2 + 24^2} \\approx 35{,}4\\) - a warunek \\(AC \\perp BC\\) nie może być spełniony. Najpierw sprawdź, która konfiguracja jest spójna!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Skoro \\(AC \\perp BC\\) i odcinek \\(AB\\) jest przeciwprostokątną, to szukamy \\(AC = \\sqrt{AB^2 - BC^2}\\), a <strong>nie</strong> \\(\\sqrt{AB^2 + BC^2}\\). Pomylenie znaku to klasyczny błąd.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wysokość trapezu (= \\(AD\\)) jest równa wysokości opuszczonej z C na AB w trójkącie ABC, bo \\(DC \\parallel AB\\) i \\(AD \\perp AB\\). Dopiero po dostrzeżeniu tej zależności rachunki stają się proste.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(|AD| = \\dfrac{120}{13}\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (karta wzorów) - twierdzenie Pitagorasa + podobieństwo trójkątów</h5>\n<p>W trójkącie prostokątnym \\(ABC\\) (\\(\\angle ACB = 90^{\\circ}\\)):<br>\\[|AC|^{2} + |BC|^{2} = |AB|^{2}\\Rightarrow |AC|^{2} + 576 = 676\\Rightarrow |AC| = 10.\\]<br>Ponieważ \\(AB \\parallel CD\\) (podstawy trapezu), kąty naprzemianległe \\(\\angle CAB = \\angle ACD\\), a \\(\\angle ACB = \\angle ADC = 90^{\\circ}\\) (trapez prostokątny). Stąd \\(\\triangle DCA \\sim \\triangle CAB\\) (kkk).<br>Z podobieństwa:<br>\\[\\dfrac{|AD|}{|AC|} = \\dfrac{|BC|}{|AB|}\\Rightarrow \\dfrac{|AD|}{10} = \\dfrac{24}{26}\\Rightarrow |AD| = \\dfrac{240}{26} = \\dfrac{120}{13}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - funkcje trygonometryczne</h5>\n<p>W \\(\\triangle ABC\\): \\(\\sin(\\angle BAC) = \\dfrac{|BC|}{|AB|} = \\dfrac{24}{26} = \\dfrac{12}{13}\\). Kąt \\(\\angle DAC = \\angle BAC\\) nie - ale kąt \\(\\angle ACD\\) jest naprzemianległy do \\(\\angle CAB\\), a w \\(\\triangle ACD\\) (prostokątny, \\(\\angle D = 90^{\\circ}\\)): \\(\\sin(\\angle ACD) = \\dfrac{|AD|}{|AC|}\\), czyli \\(|AD| = 10\\cdot \\sin(\\angle BAC) = 10\\cdot \\dfrac{12}{13} = \\dfrac{120}{13}\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong> za obliczenie \\(|AC| = 10\\) lub zauważenie podobieństwa \\(\\triangle DCA \\sim \\triangle CAB\\) lub zapisanie proporcji.</li><li><strong>2 pkt</strong> za pełne rozwiązanie z \\(|AD| = \\tfrac{120}{13}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w trapezie prostokątnym z przekątną prostopadłą do ramienia powstają dwa trójkąty podobne - zapamiętaj ten typ zadania.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$|AD| = \\\\dfrac{120}{13}$</p>"}]}