Zadanie 34. (0-2)
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych wi臋kszych od 53 losujemy jedn膮 liczb臋.
Niech 饾惔 oznacza zdarzenie polegaj膮ce na wylosowaniu liczby podzielnej przez 7. Oblicz
prawdopodobie艅stwo zdarzenia 饾惔.
EMAP-P0_100
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych wi臋kszych od 53 losujemy jedn膮 liczb臋. Niech A oznacza zdarzenie polegaj膮ce na wylosowaniu liczby podzielnej przez 7. Oblicz prawdopodobie艅stwo zdarzenia A.
Zadanie 34. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie og贸lne
Wymaganie szczeg贸艂owe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdaj膮cy:
10.2) oblicza prawdopodobie艅stwa
w prostych sytuacjach, stosuj膮c klasyczn膮
definicj臋 prawdopodobie艅stwa.
Zasady oceniania
Zdaj膮cy otrzymuje 1 p.
gdy:
wypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub poda ich liczb臋: |惟| = 46
ALBO
wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjaj膮ce zdarzeniu 饾惔 i nie wypisze
偶adnego niew艂a艣ciwego: 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98,
ALBO
zapisze liczb臋 wszystkich zdarze艅 elementarnych sprzyjaj膮cych zdarzeniu 饾惔: |饾惔| = 7,
ALBO
sporz膮dzi fragment drzewa do艣wiadczenia sk艂adaj膮cy si臋 jedynie z 7 istotnych ga艂臋zi,
ALBO
zapisze tylko 饾憙(饾惔) = 7
46 .
Zdaj膮cy otrzymuje 2 p.
gdy spe艂ni warunki okre艣lone w zasadach oceniania za 1 punkt oraz zastosuje poprawn膮
metod臋 obliczenia prawdopodobie艅stwa zdarzenia 饾惔 i uzyska poprawny wynik:
饾憙(饾惔) =
|饾惔|
|惟| = 7
46 .
Uwagi:
liczb, to otrzymuje 0 punkt贸w za ca艂e rozwi膮zanie.
\notrzymuje 0 punkt贸w za ca艂e rozwi膮zanie.
Przyk艂adowe pe艂ne rozwi膮zania
Spos贸b 1. (klasyczna definicja prawdopodobie艅stwa)
Zdarzeniami elementarnymi s膮 wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe wi臋ksze od 53.
Liczba wszystkich zdarze艅 elementarnych jest r贸wna |惟| = 99 -53 = 46.
Zdarzeniu 饾惔 sprzyjaj膮 nast臋puj膮ce zdarzenia elementarne: 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98,
wi臋c |饾惔| = 7.
Prawdopodobie艅stwo zdarzenia 饾惔 jest r贸wne: 饾憙(饾惔) =
|饾惔|
|惟| = 7
46 .
Spos贸b 2. (drzewo stochastyczne)
Zdarzeniami elementarnymi s膮 wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe wi臋ksze od 53.
Liczba wszystkich zdarze艅 elementarnych jest r贸wna |惟| = 99 -53 = 46.
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozwa偶anego do艣wiadczenia, kt贸re zawiera 7
istotnych ga艂臋zi, kt贸re odpowiadaj膮 zdarzeniom elementarnym sprzyjaj膮cym zdarzeniu 饾惔.
Prawdopodobie艅stwo zdarzenia 饾惔 jest r贸wne
饾憙(饾惔) = 1
46 + 1
46 + 1
46 + 1
46 + 1
46 + 1
46 + 1
46 = 7
46
56
63
70
77
1
46
1
46
1
46
1
46
1
46
1
46
98
91
84
1
46
Zasady oceniania rozwi膮za艅 zada艅
Krok 1: Wyznacz przestrze艅 zdarze艅 \\(\\Omega\\)
\nSzukamy wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych wi臋kszych od 53.
\nLiczby dwucyfrowe to: \\(10, 11, \\ldots, 99\\).
\nWarunek "wi臋kszych od 53" oznacza: \\(54, 55, 56, \\ldots, 99\\).
\nLiczba element贸w przestrzeni:
\\[|\\Omega| = 99 - 54 + 1 = 46\\]
Krok 2: Wyznacz zdarzenie \\(A\\) - liczby podzielne przez 7
\nSzukamy wielokrotno艣ci 7 w przedziale \\(\\langle 54, 99 \\rangle\\).
\nPierwsza wielokrotno艣膰 7 po 53:
\\[7 \\cdot 8 = 56 \\geq 54 \\quad \\checkmark\\]
Wypisuj臋 kolejne:
\\[56, \\quad 63, \\quad 70, \\quad 77, \\quad 84, \\quad 91, \\quad 98\\]
Sprawdzam ostatni膮: \\(7 \\cdot 15 = 105 > 99\\) - nie spe艂nia warunku.
\nZatem:
\\[|A| = 7\\]
Krok 3: Oblicz prawdopodobie艅stwo
\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{7}{46}\\]
\nWyznaczam zakres wielokrotno艣ci 7 wprost ze wzoru \\(a_n = 7n\\):
\nWarunek: \\(54 \\leq 7n \\leq 99\\)
\n\\[\\frac{54}{7} \\leq n \\leq \\frac{99}{7}\\]
\\[7{,}71\\ldots \\leq n \\leq 14{,}14\\ldots\\]
Warto艣ci ca艂kowite \\(n\\): \\(n \\in \\{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\\}\\)
\nLiczba takich \\(n\\): \\(14 - 8 + 1 = 7\\)
\nPrzestrze艅 zdarze艅 bez wyliczania:
\\[|\\Omega| = 99 - 53 = 46\\]
(liczby od 54 do 99 - czyli 99 minus 53, bo "wi臋ksze od 53")
\nWynik identyczny:
\\[\\boxed{P(A) = \\frac{7}{46}}\\]
Dzia艂 14 (Rachunek prawdopodobie艅stwa, s. 29-30) - prawdopodobie艅stwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Zastosowanie: podzielili艣my liczb臋 sprzyjaj膮cych wynik贸w (liczby podzielne przez 7) przez ca艂kowit膮 liczb臋 mo偶liwych wynik贸w (wszystkie liczby dwucyfrowe wi臋ksze od 53).
鈿狅笍 Uwaga: "Dwucyfrowe wi臋ksze od 53" - to liczby od 54, nie od 53! S艂owo "wi臋ksze" oznacza nier贸wno艣膰 ostr膮 (\\(> 53\\)), wi臋c 53 nie wchodzi do \\(\\Omega\\). Gdyby zadanie m贸wi艂o "nie mniejsze ni偶 53", by艂oby 47 element贸w.\n
鈿狅笍 Uwaga: Przy liczeniu \\(|\\Omega| = 99 - 54 + 1\\) - pami臋taj o +1! Uczniowie cz臋sto pisz膮 \\(99 - 54 = 45\\) i otrzymuj膮 z艂y mianownik. Og贸lna zasada: liczba ca艂kowitych od \\(a\\) do \\(b\\) to \\(b - a + 1\\).\n
鈿狅笍 Uwaga: Przy szukaniu wielokrotno艣ci 7 w przedziale - wyznacz pierwsz膮 i ostatni膮 wielokrotno艣膰 w zakresie, a potem policz: \\(\\text{ostatni indeks} - \\text{pierwszy indeks} + 1 = 14 - 8 + 1 = 7\\). To szybsze ni偶 r臋czne wypisywanie (i bezpieczniejsze - nie zgubisz 偶adnej liczby).\n
Poprawna odpowied藕: \\(P(A) = \\dfrac{7}{46}\\)
\n\\(P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|}\\).
\nZdarzenia elementarne: wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe wi臋ksze od \\(53\\), czyli \\(54, 55, \\ldots, 99\\).
\\[|\\Omega| = 99 - 53 = 46.\\]
Liczby podzielne przez 7 w tym zakresie: \\(56, 63, 70, 77, 84, 91, 98\\) (bo \\(7\\cdot 8 = 56\\), a \\(7\\cdot 14 = 98\\)).
\\[|A| = 7.\\]
\\[P(A) = \\dfrac{7}{46}.\\]
Najmniejsza liczba \\(>53\\) podzielna przez 7: \\(7\\cdot \\lceil 54/7\\rceil = 7\\cdot 8 = 56\\).
Najwi臋ksza liczba dwucyfrowa podzielna przez 7: \\(7\\cdot 14 = 98\\).
Liczba wielokrotno艣ci 7 w przedziale \\([56, 98]\\): \\(14 - 8 + 1 = 7\\).
Trik: liczba wielokrotno艣ci liczby \\(k\\) w przedziale \\([a, b]\\) to \\(\\left\\lfloor \\tfrac{b}{k}\\right\\rfloor - \\left\\lfloor \\tfrac{a-1}{k}\\right\\rfloor\\).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$P(A) = \\\\dfrac{7}{46}$
"}]}