{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"35","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-5)\nPunkt 𝐴= (1, -3) jest wierzchołkiem trójkąta 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.\nPunkt 𝑆= (5, -1) jest środkiem odcinka 𝐴𝐵. Wierzchołek 𝐶 tego trójkąta leży na prostej\no równaniu 𝑦= 𝑥+ 10. Oblicz współrzędne wierzchołków 𝐵 i 𝐶 tego trójkąta.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nPunkt A=(1,-3) jest wierzchołkiem trójkąta ABC, w którym |AC|=|BC|. Punkt S=(5,-1) jest środkiem odcinka AB. Wierzchołek C tego trójkąta leży na prostej o równaniu y=x+10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 35. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dane dwa punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa lub prostopadła do prostej\ndanej w postaci kierunkowej i przechodzi\nprzez dany punkt;\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy spełni jeden z poniższych warunków:\n1) obliczy lub poda współrzędne wierzchołka 𝐵: 𝐵= (9, 1)\n2) obliczy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵 (𝐴𝑆): 𝑎𝐴𝐵= 𝑎𝐴𝑆= 1\n2\n3) zapisze współrzędne wierzchołka 𝐶 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝐶= (𝑥, 𝑥+ 10).\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy spełni dwa z warunków 1)-3) określonych w zasadach oceniania za 1 pkt.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\nobliczy współrzędne wierzchołka 𝐵 i wyznaczy równanie prostej 𝐶𝑆: 𝐵= (9,1) ,\n𝑦= -2(𝑥-5) -1\nALBO\nobliczy współrzędne wierzchołka 𝐵 i zapisze równanie z dwiema niewiadomymi\n(współrzędnymi wierzchołka 𝐶): 𝐵= (9,1) oraz\n(√(𝑥-1)2 + (𝑦-(-3))\n2)\n2\n= (√(𝑥-9)2 + (𝑦-1)2)\n2\n,\nALBO\nzapisze 𝐶= (𝑥, 𝑥+ 10) oraz\n(√(1 -5)2 + (-3 -(-1))\n2)\n2\n+ (√(𝑥-5)2 + (𝑦-(-1))\n2)\n2\n= (√(𝑥-1)2 + (𝑦-(-3)2)\n2\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy:\nobliczy współrzędne wierzchołka 𝐵 i zapisze równanie z jedną niewiadomą\n(współrzędną wierzchołka 𝐶): 𝐵= (9,1) oraz -2𝑥+ 9 = 𝑥+ 10 lub\n(√(𝑥-1)2 + (𝑥+ 10 -(-3))\n2)\n2\n= (√(𝑥-9)2 + (𝑥+ 10 -1)2)\n2\n, lub\n(√(1 -5)2 + (-3 -(-1))\n2)\n2\n+ (√(𝑥-5)2 + (𝑥+ 10 -(-1))\n2)\n2\n= (√(𝑥-1)2 + (𝑥+ 10 -(-3)2)\n2\nALBO\nobliczy współrzędne wierzchołka 𝐶 i nie obliczy poprawnie współrzędnych\nwierzchołka 𝐵: 𝐶= (-1\n3 , 29\n3 ).\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐶 oraz zapisze\npoprawny wynik: 𝐵= (9, 1), 𝐶= (-1\n3 , 29\n3 ).\nUwaga:\nJeśli zdający błędnie obliczy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do 𝐴𝐵\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (symetralna odcinka)\nKorzystamy ze wzorów na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne punktu\n𝐵= (𝑥𝐵, 𝑦𝐵):\n𝑥𝐴+ 𝑥𝐵\n2\n= 𝑥𝑆 i 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵\n2\n= 𝑦𝑆\n1 + 𝑥𝐵\n2\n= 5 i -3 + 𝑦𝐵\n2\n= -1\n𝑥𝐵= 9 i 𝑦𝐵= 1\nZatem 𝐵= (9, 1).\nPonieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc wierzchołek 𝐶 leży na prostej prostopadłej do 𝐴𝐵 (do 𝐴𝑆)\ni jednocześnie przechodzącej przez punkt 𝑆.\nWyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵 (𝐴𝑆):\n𝑎𝐴𝐵= 𝑎𝐴𝑆= -1 -(-3)\n5 -1\n= 1\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd współczynnik kierunkowy prostej 𝐶𝑆 jest równy 𝑎𝐶𝑆= -\n1\n𝑎𝐴𝐵 = -2. Zapisujemy\nrównanie prostej 𝐶𝑆: 𝑦= -2(𝑥-5) -1, czyli 𝑦= -2𝑥+ 9.\nPunkt 𝐶 jest punktem przecięcia prostej 𝐶𝑆 z prostą o równaniu 𝑦= 𝑥+ 10, więc\nwspółrzędne punktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) spełniają równania\n𝑦𝐶= 𝑥𝐶+ 10 oraz 𝑦𝐶= -2𝑥𝐶+ 9\nStąd otrzymujemy\n𝑥𝐶+ 10 = -2𝑥𝐶+ 9 oraz 𝑦𝐶= 𝑥𝐶+ 10\n𝑥𝐶= -1\n3 oraz 𝑦𝐶= -1\n3 + 10 = 29\n3\nZatem 𝐶= (-1\n3 , 29\n3 ).\nSposób 2. (równość długości ramion)\nWspółrzędne punktu 𝐵 wyznaczamy tak, jak w sposobie 1.\nWierzchołek 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 10, więc 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑥𝐶+ 10).\nPonieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc\n(√(𝑥𝐶-1)2 + (𝑦𝐶-(-3))\n2)\n2\n= (√(𝑥𝐶-9)2 + (𝑦𝐶-1)2)\n2\nStąd otrzymujemy dalej\n(√(𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 10 -(-3))\n2)\n2\n= (√(𝑥𝐶-9)2 + (𝑥𝐶+ 10 -1)2)\n2\n(𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 10 -(-3))\n2 = (𝑥𝐶-9)2 + (𝑥𝐶+ 10 -1)2\n(𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 13)2 = (𝑥𝐶-9)2 + (𝑥𝐶+ 9)2\n𝑥𝐶\n2 -2𝑥𝐶+ 1 + 𝑥𝐶\n2 + 26𝑥𝐶+ 169 = 𝑥𝐶\n2 -18𝑥𝐶+ 81 + 𝑥𝐶\n2 + 18𝑥𝐶+ 81\n24𝑥𝐶= -8\n𝑥𝐶= -1\n3\nZatem 𝑥𝐶+ 10 = -1\n3 + 10 = 29\n3 i 𝐶= (-1\n3 , 29\n3 ).\nSposób 3. (twierdzenie Pitagorasa)\nWspółrzędne wierzchołka 𝐵 obliczamy tak, jak w sposobie 1.\nWierzchołek 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 10, więc 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑥𝐶+ 10).\nPonieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc kąt 𝐴𝑆𝐶 jest prosty. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do\ntrójkąta 𝐴𝑆𝐶 i otrzymujemy\n|𝐴𝑆|2 + |𝐶𝑆|2 = |𝐶𝐴|2\n√20\n2 + (√(𝑥𝐶-5)2 + (𝑦𝐶-(-1))\n2)\n2\n= (√(𝑥𝐶-1)2 + (𝑦𝐶-(-3))2)\n2\nStąd otrzymujemy dalej\n20 + (𝑥𝐶-5)2 + (𝑦𝐶+ 1)2 = (𝑥𝐶-1)2 + (𝑦𝐶+ 3)2\n20 + (𝑥𝐶-5)2 + (𝑥𝐶+ 10 + 1)2 = (𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 10 + 3)2\n20 + (𝑥𝐶-5)2 + (𝑥𝐶+ 11)2 = (𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 13)2\n20 + 𝑥𝐶\n2 -10𝑥𝐶+ 25 + 𝑥𝐶\n2 + 22𝑥𝐶+ 121 = 𝑥𝐶\n2 -2𝑥𝐶+ 1 + 𝑥𝐶\n2 + 26𝑥𝐶+ 169\n-12𝑥𝐶= 4\n𝑥𝐶= -1\n3\nZatem 𝑥𝐶+ 10 = -1\n3 + 10 = 29\n3 i 𝐶= (-1\n3 , 29\n3 ).","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\(B = (9, 1)\\), \\quad \\(C = \\left(-\\frac{1}{3},\\ \\frac{29}{3}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Środek odcinka + symetralność\n\n**Krok 1: Wyznacz wierzchołek B ze środka S.**\n\nSkoro \\(S = (5, -1)\\) jest środkiem odcinka \\(AB\\), a \\(A = (1, -3)\\):\n\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2} \\implies 5 = \\frac{1 + x_B}{2} \\implies x_B = 9\\]\n\n\\[y_S = \\frac{y_A + y_B}{2} \\implies -1 = \\frac{-3 + y_B}{2} \\implies y_B = 1\\]\n\n**Zatem \\(B = (9, 1)\\).**\n\n**Krok 2: Użyj warunku \\(|AC| = |BC|\\).**\n\nWarunek \\(|AC| = |BC|\\) oznacza, że punkt \\(C\\) leży na **symetralnej odcinka \\(AB\\)** (czyli na prostej prostopadłej do \\(AB\\) przechodzącej przez jego środek \\(S\\)).\n\nWyznaczamy nachylenie \\(AB\\):\n\n\\[a_{AB} = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{1 - (-3)}{9 - 1} = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}\\]\n\nNachylenie symetralnej (prostopadłej do \\(AB\\)):\n\n\\[a_\\perp = -\\frac{1}{a_{AB}} = -2\\]\n\nRównanie symetralnej \\(AB\\) (przechodzi przez \\(S = (5, -1)\\)):\n\n\\[y - (-1) = -2(x - 5)\\]\n\\[y = -2x + 10 - 1\\]\n\\[y = -2x + 9\\]\n\n**Krok 3: Znajdź C jako przecięcie symetralnej z prostą \\(y = x + 10\\).**\n\n\\[\\begin{cases} y = -2x + 9 \\\\ y = x + 10 \\end{cases}\\]\n\n\\[-2x + 9 = x + 10\\]\n\\[-3x = 1\\]\n\\[x = -\\frac{1}{3}\\]\n\n\\[y = -\\frac{1}{3} + 10 = \\frac{29}{3}\\]\n\n**Zatem \\(C = \\left(-\\dfrac{1}{3},\\ \\dfrac{29}{3}\\right)\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie odległości\n\nSprawdzamy, czy rzeczywiście \\(|AC| = |BC|\\).\n\n\\[|AC|^2 = \\left(-\\frac{1}{3} - 1\\right)^2 + \\left(\\frac{29}{3} - (-3)\\right)^2 = \\left(-\\frac{4}{3}\\right)^2 + \\left(\\frac{38}{3}\\right)^2 = \\frac{16}{9} + \\frac{1444}{9} = \\frac{1460}{9}\\]\n\n\\[|BC|^2 = \\left(-\\frac{1}{3} - 9\\right)^2 + \\left(\\frac{29}{3} - 1\\right)^2 = \\left(-\\frac{28}{3}\\right)^2 + \\left(\\frac{26}{3}\\right)^2 = \\frac{784}{9} + \\frac{676}{9} = \\frac{1460}{9}\\]\n\n\\(|AC|^2 = |BC|^2 = \\dfrac{1460}{9}\\) ✓\n\nSprawdzamy też, czy \\(C\\) leży na prostej \\(y = x + 10\\):\n\n\\[\\frac{29}{3} \\stackrel{?}{=} -\\frac{1}{3} + 10 = \\frac{-1 + 30}{3} = \\frac{29}{3} \\checkmark\\]\n\nWszystko się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(B\\) ze środka \\(S\\).\n\nDługość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy w weryfikacji (Sposób 2) do sprawdzenia \\(|AC| = |BC|\\).\n\nProste prostopadłe:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia nachylenia symetralnej \\(AB\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(|AC| = |BC|\\) nie oznacza, że \\(C\\) leży na środku \\(AB\\) - oznacza, że \\(C\\) leży na **symetralnej** \\(AB\\). To prosty błąd koncepcyjny, który całkowicie zmienia rozwiązanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nachylenie prostej **prostopadłej** to \\(-\\dfrac{1}{a}\\), nie \\(\\dfrac{1}{a}\\). Łatwo tu o pomyłkę ze znakiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(B\\) ze wzoru na środek - pamiętaj, że \\(S\\) to środek całego odcinka \\(AB\\), więc \\(x_B = 2x_S - x_A\\). Można też podstawiać bezpośrednio do definicji środka - oba podejścia są równoważne.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(B = (9, 1)\\), \\(C = \\left(-\\dfrac{1}{3}, \\dfrac{29}{3}\\right)\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - symetralna odcinka\n**Krok 1 - wyznaczenie \\(B\\):** ze wzoru na środek odcinka \\(S = \\left(\\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}, \\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\\right)\\):\n\\[\\dfrac{1 + x_{B}}{2} = 5\\Rightarrow x_{B} = 9,\\qquad \\dfrac{-3 + y_{B}}{2} = -1\\Rightarrow y_{B} = 1.\\]\nZatem \\(B = (9, 1)\\).\n\n**Krok 2 - wyznaczenie \\(C\\):** Ponieważ \\(|AC| = |BC|\\), wierzchołek \\(C\\) leży na symetralnej \\(AB\\), czyli na prostej prostopadłej do \\(AB\\) przechodzącej przez \\(S\\).\nWspółczynnik kierunkowy prostej \\(AB\\): \\(a_{AB} = \\dfrac{1 - (-3)}{9 - 1} = \\dfrac{4}{8} = \\dfrac{1}{2}\\).\nWspółczynnik symetralnej: \\(a_{CS} = -\\dfrac{1}{a_{AB}} = -2\\).\nRównanie \\(CS\\): \\(y - (-1) = -2(x - 5)\\Rightarrow y = -2x + 9\\).\n\n**Krok 3 - przecięcie z prostą \\(y = x + 10\\):**\n\\(-2x + 9 = x + 10\\Rightarrow -3x = 1\\Rightarrow x = -\\dfrac{1}{3}\\).\n\\(y = -\\dfrac{1}{3} + 10 = \\dfrac{29}{3}\\).\nZatem \\(C = \\left(-\\dfrac{1}{3}, \\dfrac{29}{3}\\right)\\).\n\n### Sposób 2 - równość długości ramion\nJak wyżej wyznaczamy \\(B = (9, 1)\\). Następnie \\(C = (x_{C}, x_{C} + 10)\\) (leży na danej prostej). Z warunku \\(|AC|^{2} = |BC|^{2}\\):\n\\[(x_{C}-1)^{2} + (x_{C}+10+3)^{2} = (x_{C}-9)^{2} + (x_{C}+10-1)^{2}.\\]\nRozwijamy: \\((x_{C}-1)^{2} + (x_{C}+13)^{2} = (x_{C}-9)^{2} + (x_{C}+9)^{2}\\).\n\\[x_{C}^{2} - 2x_{C} + 1 + x_{C}^{2} + 26x_{C} + 169 = x_{C}^{2} - 18x_{C} + 81 + x_{C}^{2} + 18x_{C} + 81.\\]\n\\[24x_{C} + 170 = 162\\Rightarrow 24x_{C} = -8\\Rightarrow x_{C} = -\\dfrac{1}{3}.\\]\n\\(y_{C} = -\\dfrac{1}{3} + 10 = \\dfrac{29}{3}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- **1 pkt** za jedno z: obliczenie \\(B = (9,1)\\), lub współczynnik \\(a_{AB} = \\tfrac{1}{2}\\), lub zapis \\(C = (x, x+10)\\).\n- **2 pkt** za dwa z powyższych.\n- **3 pkt** za \\(B\\) + równanie prostej \\(CS\\) lub \\(B\\) + równanie na \\(x_{C}\\).\n- **4 pkt** za zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego wyznaczyć \\(C\\), lub błędne wyznaczenie \\(B\\) ale poprawne \\(C\\).\n- **5 pkt** za pełną poprawną odpowiedź: \\(B = (9,1)\\), \\(C = \\left(-\\tfrac{1}{3}, \\tfrac{29}{3}\\right)\\).\n\n**Trik:** gdy dwa ramiona są równe (\\(|AC|=|BC|\\)), wierzchołek \\(C\\) leży na symetralnej przeciwległego boku \\(AB\\) - to najszybsza droga.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-35.svg","topics":"analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 35. (0-5)<br>Punkt 𝐴= (1, -3) jest wierzchołkiem trójkąta 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.<br>Punkt 𝑆= (5, -1) jest środkiem odcinka 𝐴𝐵. Wierzchołek 𝐶 tego trójkąta leży na prostej<br>o równaniu 𝑦= 𝑥+ 10. Oblicz współrzędne wierzchołków 𝐵 i 𝐶 tego trójkąta.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Punkt A=(1,-3) jest wierzchołkiem trójkąta ABC, w którym |AC|=|BC|. Punkt S=(5,-1) jest środkiem odcinka AB. Wierzchołek C tego trójkąta leży na prostej o równaniu y=x+10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 35. (0-5)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>8.1) wyznacza równanie prostej<br>przechodzącej przez dane dwa punkty<br>(w postaci kierunkowej lub ogólnej);<br>8.3) wyznacza równanie prostej, która jest<br>równoległa lub prostopadła do prostej<br>danej w postaci kierunkowej i przechodzi<br>przez dany punkt;<br>8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia<br>dwóch prostych.<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy spełni jeden z poniższych warunków:</p>\n<ol><li>obliczy lub poda współrzędne wierzchołka 𝐵: 𝐵= (9, 1)</li><li>obliczy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵 (𝐴𝑆): 𝑎𝐴𝐵= 𝑎𝐴𝑆= 1</li></ol>\n<p>2</p>\n<ol><li>zapisze współrzędne wierzchołka 𝐶 w zależności od jednej zmiennej, np.</li></ol>\n<p>𝐶= (𝑥, 𝑥+ 10).<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy spełni dwa z warunków 1)-3) określonych w zasadach oceniania za 1 pkt.<br>Zdający otrzymuje 3 p.<br>gdy:<br>obliczy współrzędne wierzchołka 𝐵 i wyznaczy równanie prostej 𝐶𝑆: 𝐵= (9,1) ,<br>𝑦= -2(𝑥-5) -1<br>ALBO<br>obliczy współrzędne wierzchołka 𝐵 i zapisze równanie z dwiema niewiadomymi<br>(współrzędnymi wierzchołka 𝐶): 𝐵= (9,1) oraz<br>(√(𝑥-1)2 + (𝑦-(-3))<br>2)<br>2<br>= (√(𝑥-9)2 + (𝑦-1)2)<br>2<br>,<br>ALBO<br>zapisze 𝐶= (𝑥, 𝑥+ 10) oraz<br>(√(1 -5)2 + (-3 -(-1))<br>2)<br>2</p>\n<ul><li>(√(𝑥-5)2 + (𝑦-(-1))</li></ul>\n<p>2)<br>2<br>= (√(𝑥-1)2 + (𝑦-(-3)2)<br>2<br>Zdający otrzymuje 4 p.<br>gdy:<br>obliczy współrzędne wierzchołka 𝐵 i zapisze równanie z jedną niewiadomą<br>(współrzędną wierzchołka 𝐶): 𝐵= (9,1) oraz -2𝑥+ 9 = 𝑥+ 10 lub<br>(√(𝑥-1)2 + (𝑥+ 10 -(-3))<br>2)<br>2<br>= (√(𝑥-9)2 + (𝑥+ 10 -1)2)<br>2<br>, lub<br>(√(1 -5)2 + (-3 -(-1))<br>2)<br>2</p>\n<ul><li>(√(𝑥-5)2 + (𝑥+ 10 -(-1))</li></ul>\n<p>2)<br>2<br>= (√(𝑥-1)2 + (𝑥+ 10 -(-3)2)<br>2<br>ALBO<br>obliczy współrzędne wierzchołka 𝐶 i nie obliczy poprawnie współrzędnych<br>wierzchołka 𝐵: 𝐶= (-1<br>3 , 29<br>3 ).<br>Zdający otrzymuje 5 p.<br>gdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐶 oraz zapisze<br>poprawny wynik: 𝐵= (9, 1), 𝐶= (-1<br>3 , 29<br>3 ).<br>Uwaga:<br>Jeśli zdający błędnie obliczy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do 𝐴𝐵<br>i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to za całe rozwiązanie może otrzymać co<br>najwyżej 2 punkty.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1. (symetralna odcinka)<br>Korzystamy ze wzorów na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne punktu<br>𝐵= (𝑥𝐵, 𝑦𝐵):<br>𝑥𝐴+ 𝑥𝐵<br>2<br>= 𝑥𝑆 i 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵<br>2<br>= 𝑦𝑆<br>1 + 𝑥𝐵<br>2<br>= 5 i -3 + 𝑦𝐵<br>2<br>= -1<br>𝑥𝐵= 9 i 𝑦𝐵= 1<br>Zatem 𝐵= (9, 1).<br>Ponieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc wierzchołek 𝐶 leży na prostej prostopadłej do 𝐴𝐵 (do 𝐴𝑆)<br>i jednocześnie przechodzącej przez punkt 𝑆.<br>Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵 (𝐴𝑆):<br>𝑎𝐴𝐵= 𝑎𝐴𝑆= -1 -(-3)<br>5 -1<br>= 1<br>2<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Stąd współczynnik kierunkowy prostej 𝐶𝑆 jest równy 𝑎𝐶𝑆= -<br>1<br>𝑎𝐴𝐵 = -2. Zapisujemy<br>równanie prostej 𝐶𝑆: 𝑦= -2(𝑥-5) -1, czyli 𝑦= -2𝑥+ 9.<br>Punkt 𝐶 jest punktem przecięcia prostej 𝐶𝑆 z prostą o równaniu 𝑦= 𝑥+ 10, więc<br>współrzędne punktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) spełniają równania<br>𝑦𝐶= 𝑥𝐶+ 10 oraz 𝑦𝐶= -2𝑥𝐶+ 9<br>Stąd otrzymujemy<br>𝑥𝐶+ 10 = -2𝑥𝐶+ 9 oraz 𝑦𝐶= 𝑥𝐶+ 10<br>𝑥𝐶= -1<br>3 oraz 𝑦𝐶= -1<br>3 + 10 = 29<br>3<br>Zatem 𝐶= (-1<br>3 , 29<br>3 ).<br>Sposób 2. (równość długości ramion)<br>Współrzędne punktu 𝐵 wyznaczamy tak, jak w sposobie 1.<br>Wierzchołek 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 10, więc 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑥𝐶+ 10).<br>Ponieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc<br>(√(𝑥𝐶-1)2 + (𝑦𝐶-(-3))<br>2)<br>2<br>= (√(𝑥𝐶-9)2 + (𝑦𝐶-1)2)<br>2<br>Stąd otrzymujemy dalej<br>(√(𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 10 -(-3))<br>2)<br>2<br>= (√(𝑥𝐶-9)2 + (𝑥𝐶+ 10 -1)2)<br>2<br>(𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 10 -(-3))<br>2 = (𝑥𝐶-9)2 + (𝑥𝐶+ 10 -1)2<br>(𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 13)2 = (𝑥𝐶-9)2 + (𝑥𝐶+ 9)2<br>𝑥𝐶<br>2 -2𝑥𝐶+ 1 + 𝑥𝐶<br>2 + 26𝑥𝐶+ 169 = 𝑥𝐶<br>2 -18𝑥𝐶+ 81 + 𝑥𝐶<br>2 + 18𝑥𝐶+ 81<br>24𝑥𝐶= -8<br>𝑥𝐶= -1<br>3<br>Zatem 𝑥𝐶+ 10 = -1<br>3 + 10 = 29<br>3 i 𝐶= (-1<br>3 , 29<br>3 ).<br>Sposób 3. (twierdzenie Pitagorasa)<br>Współrzędne wierzchołka 𝐵 obliczamy tak, jak w sposobie 1.<br>Wierzchołek 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 10, więc 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑥𝐶+ 10).<br>Ponieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc kąt 𝐴𝑆𝐶 jest prosty. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do<br>trójkąta 𝐴𝑆𝐶 i otrzymujemy<br>|𝐴𝑆|2 + |𝐶𝑆|2 = |𝐶𝐴|2<br>√20<br>2 + (√(𝑥𝐶-5)2 + (𝑦𝐶-(-1))<br>2)<br>2<br>= (√(𝑥𝐶-1)2 + (𝑦𝐶-(-3))2)<br>2<br>Stąd otrzymujemy dalej<br>20 + (𝑥𝐶-5)2 + (𝑦𝐶+ 1)2 = (𝑥𝐶-1)2 + (𝑦𝐶+ 3)2<br>20 + (𝑥𝐶-5)2 + (𝑥𝐶+ 10 + 1)2 = (𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 10 + 3)2<br>20 + (𝑥𝐶-5)2 + (𝑥𝐶+ 11)2 = (𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 13)2<br>20 + 𝑥𝐶<br>2 -10𝑥𝐶+ 25 + 𝑥𝐶<br>2 + 22𝑥𝐶+ 121 = 𝑥𝐶<br>2 -2𝑥𝐶+ 1 + 𝑥𝐶<br>2 + 26𝑥𝐶+ 169<br>-12𝑥𝐶= 4<br>𝑥𝐶= -1<br>3<br>Zatem 𝑥𝐶+ 10 = -1<br>3 + 10 = 29<br>3 i 𝐶= (-1<br>3 , 29<br>3 ).</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-35.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź:</h4>\n<p>\\(B = (9, 1)\\), \\quad \\(C = \\left(-\\frac{1}{3},\\ \\frac{29}{3}\\right)\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Środek odcinka + symetralność</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz wierzchołek B ze środka S.</strong></p>\n<p>Skoro \\(S = (5, -1)\\) jest środkiem odcinka \\(AB\\), a \\(A = (1, -3)\\):</p>\n<p>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2} \\implies 5 = \\frac{1 + x_B}{2} \\implies x_B = 9\\]</p>\n<p>\\[y_S = \\frac{y_A + y_B}{2} \\implies -1 = \\frac{-3 + y_B}{2} \\implies y_B = 1\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(B = (9, 1)\\).</strong></p>\n<p><strong>Krok 2: Użyj warunku \\(|AC| = |BC|\\).</strong></p>\n<p>Warunek \\(|AC| = |BC|\\) oznacza, że punkt \\(C\\) leży na <strong>symetralnej odcinka \\(AB\\)</strong> (czyli na prostej prostopadłej do \\(AB\\) przechodzącej przez jego środek \\(S\\)).</p>\n<p>Wyznaczamy nachylenie \\(AB\\):</p>\n<p>\\[a_{AB} = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{1 - (-3)}{9 - 1} = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Nachylenie symetralnej (prostopadłej do \\(AB\\)):</p>\n<p>\\[a_\\perp = -\\frac{1}{a_{AB}} = -2\\]</p>\n<p>Równanie symetralnej \\(AB\\) (przechodzi przez \\(S = (5, -1)\\)):</p>\n<p>\\[y - (-1) = -2(x - 5)\\]<br>\\[y = -2x + 10 - 1\\]<br>\\[y = -2x + 9\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Znajdź C jako przecięcie symetralnej z prostą \\(y = x + 10\\).</strong></p>\n<p>\\[\\begin{cases} y = -2x + 9 \\\\ y = x + 10 \\end{cases}\\]</p>\n<p>\\[-2x + 9 = x + 10\\]<br>\\[-3x = 1\\]<br>\\[x = -\\frac{1}{3}\\]</p>\n<p>\\[y = -\\frac{1}{3} + 10 = \\frac{29}{3}\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(C = \\left(-\\dfrac{1}{3},\\ \\dfrac{29}{3}\\right)\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie odległości</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy rzeczywiście \\(|AC| = |BC|\\).</p>\n<p>\\[|AC|^2 = \\left(-\\frac{1}{3} - 1\\right)^2 + \\left(\\frac{29}{3} - (-3)\\right)^2 = \\left(-\\frac{4}{3}\\right)^2 + \\left(\\frac{38}{3}\\right)^2 = \\frac{16}{9} + \\frac{1444}{9} = \\frac{1460}{9}\\]</p>\n<p>\\[|BC|^2 = \\left(-\\frac{1}{3} - 9\\right)^2 + \\left(\\frac{29}{3} - 1\\right)^2 = \\left(-\\frac{28}{3}\\right)^2 + \\left(\\frac{26}{3}\\right)^2 = \\frac{784}{9} + \\frac{676}{9} = \\frac{1460}{9}\\]</p>\n<p>\\(|AC|^2 = |BC|^2 = \\dfrac{1460}{9}\\) ✓</p>\n<p>Sprawdzamy też, czy \\(C\\) leży na prostej \\(y = x + 10\\):</p>\n<p>\\[\\frac{29}{3} \\stackrel{?}{=} -\\frac{1}{3} + 10 = \\frac{-1 + 30}{3} = \\frac{29}{3} \\checkmark\\]</p>\n<p>Wszystko się zgadza.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):</strong></p>\n<p>Środek odcinka:<br>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]<br>Użyliśmy do wyznaczenia \\(B\\) ze środka \\(S\\).</p>\n<p>Długość odcinka:<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyliśmy w weryfikacji (Sposób 2) do sprawdzenia \\(|AC| = |BC|\\).</p>\n<p>Proste prostopadłe:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]<br>Użyliśmy do wyznaczenia nachylenia symetralnej \\(AB\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek \\(|AC| = |BC|\\) nie oznacza, że \\(C\\) leży na środku \\(AB\\) - oznacza, że \\(C\\) leży na <strong>symetralnej</strong> \\(AB\\). To prosty błąd koncepcyjny, który całkowicie zmienia rozwiązanie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nachylenie prostej <strong>prostopadłej</strong> to \\(-\\dfrac{1}{a}\\), nie \\(\\dfrac{1}{a}\\). Łatwo tu o pomyłkę ze znakiem.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wyznaczaniu \\(B\\) ze wzoru na środek - pamiętaj, że \\(S\\) to środek całego odcinka \\(AB\\), więc \\(x_B = 2x_S - x_A\\). Można też podstawiać bezpośrednio do definicji środka - oba podejścia są równoważne.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(B = (9, 1)\\), \\(C = \\left(-\\dfrac{1}{3}, \\dfrac{29}{3}\\right)\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (karta wzorów) - symetralna odcinka</h5>\n<p><strong>Krok 1 - wyznaczenie \\(B\\):</strong> ze wzoru na środek odcinka \\(S = \\left(\\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}, \\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\\right)\\):<br>\\[\\dfrac{1 + x_{B}}{2} = 5\\Rightarrow x_{B} = 9,\\qquad \\dfrac{-3 + y_{B}}{2} = -1\\Rightarrow y_{B} = 1.\\]<br>Zatem \\(B = (9, 1)\\).</p>\n<p><strong>Krok 2 - wyznaczenie \\(C\\):</strong> Ponieważ \\(|AC| = |BC|\\), wierzchołek \\(C\\) leży na symetralnej \\(AB\\), czyli na prostej prostopadłej do \\(AB\\) przechodzącej przez \\(S\\).<br>Współczynnik kierunkowy prostej \\(AB\\): \\(a_{AB} = \\dfrac{1 - (-3)}{9 - 1} = \\dfrac{4}{8} = \\dfrac{1}{2}\\).<br>Współczynnik symetralnej: \\(a_{CS} = -\\dfrac{1}{a_{AB}} = -2\\).<br>Równanie \\(CS\\): \\(y - (-1) = -2(x - 5)\\Rightarrow y = -2x + 9\\).</p>\n<p><strong>Krok 3 - przecięcie z prostą \\(y = x + 10\\):</strong><br>\\(-2x + 9 = x + 10\\Rightarrow -3x = 1\\Rightarrow x = -\\dfrac{1}{3}\\).<br>\\(y = -\\dfrac{1}{3} + 10 = \\dfrac{29}{3}\\).<br>Zatem \\(C = \\left(-\\dfrac{1}{3}, \\dfrac{29}{3}\\right)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - równość długości ramion</h5>\n<p>Jak wyżej wyznaczamy \\(B = (9, 1)\\). Następnie \\(C = (x_{C}, x_{C} + 10)\\) (leży na danej prostej). Z warunku \\(|AC|^{2} = |BC|^{2}\\):<br>\\[(x_{C}-1)^{2} + (x_{C}+10+3)^{2} = (x_{C}-9)^{2} + (x_{C}+10-1)^{2}.\\]<br>Rozwijamy: \\((x_{C}-1)^{2} + (x_{C}+13)^{2} = (x_{C}-9)^{2} + (x_{C}+9)^{2}\\).<br>\\[x_{C}^{2} - 2x_{C} + 1 + x_{C}^{2} + 26x_{C} + 169 = x_{C}^{2} - 18x_{C} + 81 + x_{C}^{2} + 18x_{C} + 81.\\]<br>\\[24x_{C} + 170 = 162\\Rightarrow 24x_{C} = -8\\Rightarrow x_{C} = -\\dfrac{1}{3}.\\]<br>\\(y_{C} = -\\dfrac{1}{3} + 10 = \\dfrac{29}{3}\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong> za jedno z: obliczenie \\(B = (9,1)\\), lub współczynnik \\(a_{AB} = \\tfrac{1}{2}\\), lub zapis \\(C = (x, x+10)\\).</li><li><strong>2 pkt</strong> za dwa z powyższych.</li><li><strong>3 pkt</strong> za \\(B\\) + równanie prostej \\(CS\\) lub \\(B\\) + równanie na \\(x_{C}\\).</li><li><strong>4 pkt</strong> za zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego wyznaczyć \\(C\\), lub błędne wyznaczenie \\(B\\) ale poprawne \\(C\\).</li><li><strong>5 pkt</strong> za pełną poprawną odpowiedź: \\(B = (9,1)\\), \\(C = \\left(-\\tfrac{1}{3}, \\tfrac{29}{3}\\right)\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> gdy dwa ramiona są równe (\\(|AC|=|BC|\\)), wierzchołek \\(C\\) leży na symetralnej przeciwległego boku \\(AB\\) - to najszybsza droga.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$C = \\\\left( -\\\\dfrac{1}{3}, \\\\dfrac{29}{3} \\\\right)$</p>"}]}