{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nJedną z liczb spełniających nierówność 𝑥4 -3𝑥3 + 3 < 0 jest\nA. 1\nB. (-1)\nC. 2\nD. (-2)\nInformacja do zadań 7. i 8.\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem\n𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 5𝑥.\nJedną z liczb spełniających nierówność x^4-3x^3+3<0 jest A. 1 B. (-1) C. 2 D. (-2)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.1) sprawdza, czy dana liczba rzeczywista\njest rozwiązaniem równania lub\nnierówności.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie i sprawdzenie wartości\n\nW zadaniu nie trzeba rozwiązywać nierówności analitycznie - wystarczy **podstawić każdą z odpowiedzi** do wyrażenia \\(x^4 - 3x^3 + 3\\) i sprawdzić, czy wynik jest ujemny.\n\nDefiniujemy funkcję:\n\\[f(x) = x^4 - 3x^3 + 3\\]\n\nWarunek do spełnienia: \\(f(x) < 0\\).\n\n**Sprawdzamy odpowiedź C: \\(x = 2\\)**\n\n\\[f(2) = 2^4 - 3 \\cdot 2^3 + 3\\]\n\\[= 16 - 3 \\cdot 8 + 3\\]\n\\[= 16 - 24 + 3\\]\n\\[= -5\\]\n\nPonieważ \\(-5 < 0\\), **\\(x = 2\\) spełnia nierówność**. ✓\n\n## Sposób 2 - Analiza wykresu i zachowanie funkcji\n\nMożemy spojrzeć na problem z perspektywy analizy funkcji \\(f(x) = x^4 - 3x^3 + 3\\).\n\n- \\(f(x)\\) to wielomian stopnia 4 z dodatnim współczynnikiem przy \\(x^4\\), więc dla \\(|x|\\) bardzo dużych \\(f(x) \\to +\\infty\\).\n- Szukamy przedziału, gdzie \\(f(x) < 0\\), czyli gdzie paraboloida \"wpada poniżej zera\".\n\nSprawdźmy wartości graniczne:\n\\[f(0) = 0 - 0 + 3 = 3 > 0\\]\n\\[f(2) = 16 - 24 + 3 = -5 < 0\\]\n\\[f(3) = 81 - 81 + 3 = 3 > 0\\]\n\nZatem funkcja **przechodzi przez zero gdzieś między \\(x = 0\\) a \\(x = 2\\)** i znowu między \\(x = 2\\) a \\(x = 3\\). To oznacza, że ujemna \"dolina\" funkcji obejmuje okolicę \\(x = 2\\), co potwierdza, że \\(x = 2\\) jest w obszarze gdzie \\(f(x) < 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **podstawienie i obliczenia arytmetyczne** (potęgi całkowite). Ewentualnie przydatne są działania na potęgach z Działu 2 (s. 4-5):\n\\[a^n = \\underbrace{a \\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n \\text{ razy}}\\]\nczyli np. \\(2^4 = 16\\), \\(2^3 = 8\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Obliczenie | Wynik | Błąd |\n| A: \\(x=1\\) | \\(1 - 3 + 3\\) | \\(= 1 > 0\\) | Wynik dodatni - nie spełnia nierówności. Łatwo się pomylić myśląc, że \\(-3\\) \"dominuje\" |\n| B: \\(x=-1\\) | \\(1 - 3\\cdot(-1) + 3 = 1+3+3\\) | \\(= 7 > 0\\) | Uwaga: \\((-1)^3 = -1\\), więc \\(-3\\cdot(-1) = +3\\) - wynik jest duży i dodatni |\n| D: \\(x=-2\\) | \\(16 - 3\\cdot(-8) + 3 = 16+24+3\\) | \\(= 43 > 0\\) | Najczęstszy błąd: \\((-2)^3 = -8\\), więc \\(-3\\cdot(-8) = +24\\) - wynik jest bardzo duży |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy ujemnych podstawach potęg - **zawsze obliczaj znak!** \\((-2)^3 = -8\\) (nieparzysta potęga = ujemna), \\((-2)^4 = +16\\) (parzysta = zawsze dodatnia). Pomieszanie znaków to najpopularniejszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj rozwiązywać nierówności \\(x^4 - 3x^3 + 3 < 0\\) analitycznie - na maturze PP wielomian stopnia 4 jest generalnie nierozkładalny \"na ładne czynniki\". Zadanie tego typu to zawsze **podstawianie odpowiedzi**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzaj **wszystkie** odpowiedzi - w wersji \"która z liczb spełnia\" chodzi o znalezienie jednej konkretnej wartości, a pułapką są odpowiedzi, które wyglądają przekonująco (np. \\(x=1\\) daje wynik bliski zeru).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - podstawianie odpowiedzi\nDla \\(x = 2\\): \\(2^{4} - 3\\cdot 2^{3} + 3 = 16 - 24 + 3 = -5 < 0\\). ✓\n\n### Sposób 2 - sprawdzenie pozostałych\n- \\(x=1\\): \\(1 - 3 + 3 = 1 > 0\\). ✗\n- \\(x=-1\\): \\(1 + 3 + 3 = 7 > 0\\). ✗\n- \\(x=-2\\): \\(16 + 24 + 3 = 43 > 0\\). ✗\nTylko \\(x = 2\\) spełnia nierówność.\n\n### Uwagi o punktacji\nWystarczy podstawienie - zadanie sprawdza umiejętność weryfikowania, czy liczba spełnia nierówność (Zdający 3.1).\n\n**Trik:** przy ujemnych \\(x\\) wyraz \\(-3x^{3}\\) staje się dodatni, więc suma rośnie - eliminuj B i D.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>Jedną z liczb spełniających nierówność 𝑥4 -3𝑥3 + 3 &lt; 0 jest<br>A. 1<br>B. (-1)<br>C. 2<br>D. (-2)<br>Informacja do zadań 7. i 8.<br>Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem<br>𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 5𝑥.<br>Jedną z liczb spełniających nierówność x^4-3x^3+3&lt;0 jest A. 1 B. (-1) C. 2 D. (-2)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>3.1) sprawdza, czy dana liczba rzeczywista<br>jest rozwiązaniem równania lub<br>nierówności.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(x = 2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie i sprawdzenie wartości</h4>\n<p>W zadaniu nie trzeba rozwiązywać nierówności analitycznie - wystarczy <strong>podstawić każdą z odpowiedzi</strong> do wyrażenia \\(x^4 - 3x^3 + 3\\) i sprawdzić, czy wynik jest ujemny.</p>\n<p>Definiujemy funkcję:<br>\\[f(x) = x^4 - 3x^3 + 3\\]</p>\n<p>Warunek do spełnienia: \\(f(x) &lt; 0\\).</p>\n<p><strong>Sprawdzamy odpowiedź C: \\(x = 2\\)</strong></p>\n<p>\\[f(2) = 2^4 - 3 \\cdot 2^3 + 3\\]<br>\\[= 16 - 3 \\cdot 8 + 3\\]<br>\\[= 16 - 24 + 3\\]<br>\\[= -5\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(-5 &lt; 0\\), <strong>\\(x = 2\\) spełnia nierówność</strong>. ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Analiza wykresu i zachowanie funkcji</h4>\n<p>Możemy spojrzeć na problem z perspektywy analizy funkcji \\(f(x) = x^4 - 3x^3 + 3\\).</p>\n<ul><li>\\(f(x)\\) to wielomian stopnia 4 z dodatnim współczynnikiem przy \\(x^4\\), więc dla \\(|x|\\) bardzo dużych \\(f(x) \\to +\\infty\\).</li><li>Szukamy przedziału, gdzie \\(f(x) &lt; 0\\), czyli gdzie paraboloida &quot;wpada poniżej zera&quot;.</li></ul>\n<p>Sprawdźmy wartości graniczne:<br>\\[f(0) = 0 - 0 + 3 = 3 &gt; 0\\]<br>\\[f(2) = 16 - 24 + 3 = -5 &lt; 0\\]<br>\\[f(3) = 81 - 81 + 3 = 3 &gt; 0\\]</p>\n<p>Zatem funkcja <strong>przechodzi przez zero gdzieś między \\(x = 0\\) a \\(x = 2\\)</strong> i znowu między \\(x = 2\\) a \\(x = 3\\). To oznacza, że ujemna &quot;dolina&quot; funkcji obejmuje okolicę \\(x = 2\\), co potwierdza, że \\(x = 2\\) jest w obszarze gdzie \\(f(x) &lt; 0\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy <strong>podstawienie i obliczenia arytmetyczne</strong> (potęgi całkowite). Ewentualnie przydatne są działania na potęgach z Działu 2 (s. 4-5):<br>\\[a^n = \\underbrace{a \\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n \\text{ razy}}\\]<br>czyli np. \\(2^4 = 16\\), \\(2^3 = 8\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Obliczenie | Wynik | Błąd |<br>| A: \\(x=1\\) | \\(1 - 3 + 3\\) | \\(= 1 &gt; 0\\) | Wynik dodatni - nie spełnia nierówności. Łatwo się pomylić myśląc, że \\(-3\\) &quot;dominuje&quot; |<br>| B: \\(x=-1\\) | \\(1 - 3\\cdot(-1) + 3 = 1+3+3\\) | \\(= 7 &gt; 0\\) | Uwaga: \\((-1)^3 = -1\\), więc \\(-3\\cdot(-1) = +3\\) - wynik jest duży i dodatni |<br>| D: \\(x=-2\\) | \\(16 - 3\\cdot(-8) + 3 = 16+24+3\\) | \\(= 43 &gt; 0\\) | Najczęstszy błąd: \\((-2)^3 = -8\\), więc \\(-3\\cdot(-8) = +24\\) - wynik jest bardzo duży |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy ujemnych podstawach potęg - <strong>zawsze obliczaj znak!</strong> \\((-2)^3 = -8\\) (nieparzysta potęga = ujemna), \\((-2)^4 = +16\\) (parzysta = zawsze dodatnia). Pomieszanie znaków to najpopularniejszy błąd w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie próbuj rozwiązywać nierówności \\(x^4 - 3x^3 + 3 &lt; 0\\) analitycznie - na maturze PP wielomian stopnia 4 jest generalnie nierozkładalny &quot;na ładne czynniki&quot;. Zadanie tego typu to zawsze <strong>podstawianie odpowiedzi</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdzaj <strong>wszystkie</strong> odpowiedzi - w wersji &quot;która z liczb spełnia&quot; chodzi o znalezienie jednej konkretnej wartości, a pułapką są odpowiedzi, które wyglądają przekonująco (np. \\(x=1\\) daje wynik bliski zeru).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - podstawianie odpowiedzi</h5>\n<p>Dla \\(x = 2\\): \\(2^{4} - 3\\cdot 2^{3} + 3 = 16 - 24 + 3 = -5 &lt; 0\\). ✓</p>\n<h5>Sposób 2 - sprawdzenie pozostałych</h5>\n<ul><li>\\(x=1\\): \\(1 - 3 + 3 = 1 &gt; 0\\). ✗</li><li>\\(x=-1\\): \\(1 + 3 + 3 = 7 &gt; 0\\). ✗</li><li>\\(x=-2\\): \\(16 + 24 + 3 = 43 &gt; 0\\). ✗</li></ul>\n<p>Tylko \\(x = 2\\) spełnia nierówność.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<p>Wystarczy podstawienie - zadanie sprawdza umiejętność weryfikowania, czy liczba spełnia nierówność (Zdający 3.1).</p>\n<p><strong>Trik:</strong> przy ujemnych \\(x\\) wyraz \\(-3x^{3}\\) staje się dodatni, więc suma rośnie - eliminuj B i D.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, dla wartości $x = 2$ mamy $2^4 - 3\\cdot2^3 + 3 = 16 - 24 + 3 = -5$, zauważmy, że $-5&lt; 0$.</p>"}]}