{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nOsią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu\nA. 𝑥= -5\n4\nB. 𝑥= 5\n4\nC. 𝑦= -5\n4\nD. 𝑦= -25\n16\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=2x^2+5x. [rysunek] Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu A. x=-5/4 B. x=5/4 C. y=-5/4 D. y=-25/16.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(x = -\\dfrac{5}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na wierzchołek paraboli\n\nOś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek. Dla funkcji kwadratowej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) oś symetrii wyznacza wzór:\n\n\\[x = p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nOdczytujemy współczynniki z \\(f(x) = 2x^2 + 5x\\):\n\\[a = 2, \\quad b = 5, \\quad c = 0\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[p = -\\frac{5}{2 \\cdot 2} = -\\frac{5}{4}\\]\n\n**Oś symetrii to prosta \\(x = -\\dfrac{5}{4}\\).**\n\n## Sposób 2 - wyznaczanie wierzchołka przez rozkład na czynniki\n\nSzukamy miejsca, w którym parabola „zawraca\" - czyli punktu symetrii między jej miejscami zerowymi.\n\nWyznaczamy miejsca zerowe \\(f(x) = 2x^2 + 5x\\):\n\\[2x^2 + 5x = 0\\]\n\\[x(2x + 5) = 0\\]\n\nStąd:\n\\[x_1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 2x + 5 = 0 \\implies x_2 = -\\frac{5}{2}\\]\n\nOś symetrii paraboli leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{0 + \\left(-\\dfrac{5}{2}\\right)}{2} = \\frac{-\\dfrac{5}{2}}{2} = -\\frac{5}{4}\\]\n\n**Wynik zgodny: oś symetrii to \\(x = -\\dfrac{5}{4}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna \\(x\\) wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nTo bezpośredni wzór użyty w Sposobie 1.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a (Sposób 2):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]\nStąd \\(p = \\dfrac{x_1 + x_2}{2} = -\\dfrac{b}{2a}\\) - spójność obu metod jest nieprzypadkowa!\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Zapomniano o znaku minus: policzono \\(\\frac{b}{2a} = \\frac{5}{4}\\) zamiast \\(-\\frac{b}{2a} = -\\frac{5}{4}\\) |\n| C | Prawidłowa wartość \\(-\\frac{5}{4}\\), ale **oś symetrii paraboli to prosta pionowa \\(x = \\ldots\\)**, nie pozioma \\(y = \\ldots\\) |\n| D | To jest współrzędna \\(y\\) wierzchołka (wartość \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\)), nie oś symetrii - pomylono wierzchołek z osią |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii to zawsze prosta **pionowa**, czyli równanie postaci \\(x = \\ldots\\), nie \\(y = \\ldots\\). Odpowiedzi C i D to typowa pułapka dla uczniów, którzy mylą oś symetrii z wierzchołkiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\) - minus jest nieodłączną częścią wzoru! Pominięcie tego znaku to najpopularniejszy błąd przy tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tej funkcji \\(c = 0\\), bo brak wyrazu wolnego. Nie oznacza to, że wzór nie działa - po prostu \\(f(0) = 0\\), co widać od razu (jedno z miejsc zerowych jest w początku układu).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - wzór na oś symetrii paraboli\nOsią symetrii paraboli \\(y = ax^{2}+bx+c\\) jest prosta \\(x = -\\dfrac{b}{2a}\\).\nDla \\(a = 2\\), \\(b = 5\\): \\(x = -\\dfrac{5}{2\\cdot 2} = -\\dfrac{5}{4}\\).\n\n### Sposób 2 - miejsca zerowe\n\\(2x^{2}+5x = x(2x+5) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = -\\dfrac{5}{2}\\). Oś symetrii przechodzi przez środek: \\(\\dfrac{0 + (-5/2)}{2} = -\\dfrac{5}{4}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** - brak znaku minus.\n- **C, D.** - oś symetrii paraboli to prosta pionowa \\(x = \\ldots\\), nie pozioma.\n\n**Trik:** \\(-\\dfrac{25}{16}\\) to \\(y\\)-owa współrzędna wierzchołka, nie oś.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>Osią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu<br>A. 𝑥= -5<br>4<br>B. 𝑥= 5<br>4<br>C. 𝑦= -5<br>4<br>D. 𝑦= -25<br>16<br>Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=2x^2+5x. [rysunek] Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu A. x=-5/4 B. x=5/4 C. y=-5/4 D. y=-25/16.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji<br>[…].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(x = -\\dfrac{5}{4}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzór na wierzchołek paraboli</h4>\n<p>Oś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek. Dla funkcji kwadratowej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) oś symetrii wyznacza wzór:</p>\n<p>\\[x = p = -\\frac{b}{2a}\\]</p>\n<p>Odczytujemy współczynniki z \\(f(x) = 2x^2 + 5x\\):<br>\\[a = 2, \\quad b = 5, \\quad c = 0\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[p = -\\frac{5}{2 \\cdot 2} = -\\frac{5}{4}\\]</p>\n<p><strong>Oś symetrii to prosta \\(x = -\\dfrac{5}{4}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - wyznaczanie wierzchołka przez rozkład na czynniki</h4>\n<p>Szukamy miejsca, w którym parabola „zawraca&quot; - czyli punktu symetrii między jej miejscami zerowymi.</p>\n<p>Wyznaczamy miejsca zerowe \\(f(x) = 2x^2 + 5x\\):<br>\\[2x^2 + 5x = 0\\]<br>\\[x(2x + 5) = 0\\]</p>\n<p>Stąd:<br>\\[x_1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 2x + 5 = 0 \\implies x_2 = -\\frac{5}{2}\\]</p>\n<p>Oś symetrii paraboli leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:<br>\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{0 + \\left(-\\dfrac{5}{2}\\right)}{2} = \\frac{-\\dfrac{5}{2}}{2} = -\\frac{5}{4}\\]</p>\n<p><strong>Wynik zgodny: oś symetrii to \\(x = -\\dfrac{5}{4}\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - współrzędna \\(x\\) wierzchołka paraboli:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]<br>To bezpośredni wzór użyty w Sposobie 1.</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wzory Viète&#x27;a (Sposób 2):<br>\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]<br>Stąd \\(p = \\dfrac{x_1 + x_2}{2} = -\\dfrac{b}{2a}\\) - spójność obu metod jest nieprzypadkowa!</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | Zapomniano o znaku minus: policzono \\(\\frac{b}{2a} = \\frac{5}{4}\\) zamiast \\(-\\frac{b}{2a} = -\\frac{5}{4}\\) |<br>| C | Prawidłowa wartość \\(-\\frac{5}{4}\\), ale <strong>oś symetrii paraboli to prosta pionowa \\(x = \\ldots\\)</strong>, nie pozioma \\(y = \\ldots\\) |<br>| D | To jest współrzędna \\(y\\) wierzchołka (wartość \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\)), nie oś symetrii - pomylono wierzchołek z osią |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Oś symetrii to zawsze prosta <strong>pionowa</strong>, czyli równanie postaci \\(x = \\ldots\\), nie \\(y = \\ldots\\). Odpowiedzi C i D to typowa pułapka dla uczniów, którzy mylą oś symetrii z wierzchołkiem.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór to \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\) - minus jest nieodłączną częścią wzoru! Pominięcie tego znaku to najpopularniejszy błąd przy tym typie zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W tej funkcji \\(c = 0\\), bo brak wyrazu wolnego. Nie oznacza to, że wzór nie działa - po prostu \\(f(0) = 0\\), co widać od razu (jedno z miejsc zerowych jest w początku układu).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 (karta wzorów) - wzór na oś symetrii paraboli</h5>\n<p>Osią symetrii paraboli \\(y = ax^{2}+bx+c\\) jest prosta \\(x = -\\dfrac{b}{2a}\\).<br>Dla \\(a = 2\\), \\(b = 5\\): \\(x = -\\dfrac{5}{2\\cdot 2} = -\\dfrac{5}{4}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - miejsca zerowe</h5>\n<p>\\(2x^{2}+5x = x(2x+5) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = -\\dfrac{5}{2}\\). Oś symetrii przechodzi przez środek: \\(\\dfrac{0 + (-5/2)}{2} = -\\dfrac{5}{4}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B.</strong> - brak znaku minus.</li><li><strong>C, D.</strong> - oś symetrii paraboli to prosta pionowa \\(x = \\ldots\\), nie pozioma.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(-\\dfrac{25}{16}\\) to \\(y\\)-owa współrzędna wierzchołka, nie oś.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, oś symetrii funkcji kwadratowej jest określona wzorem $x = -\\displaystyle\\frac{b}{2a}$, gdzie $a$ to współczynnik przy $x^2$, natomiast $b$ to współczynnik przy $x$ we wzorze funkcji. Dla danej funkcji $f$, mamy: $a=2$ oraz $b = 5$, zatem $x = -\\displaystyle\\frac{5}{2\\cdot2}$, otrzymujemy prostą o wzorze: $x = -\\displaystyle\\frac{5}{4}$.</p>"}]}