{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑔 jest określona wzorem 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 -5𝑥. Wykres funkcji 𝑔 jest\nA. symetryczny do wykresu funkcji 𝑓 względem osi 𝑂𝑥.\nB. symetryczny do wykresu funkcji 𝑓 względem osi 𝑂𝑦.\nC. symetryczny do wykresu funkcji 𝑓 względem początku układu współrzędnych.\nD. przesunięty względem wykresu funkcji 𝑓 o 10 jednostek w kierunku przeciwnym do\nzwrotu osi 𝑂𝑥.\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n1 2 3 4\n7\n6\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n5\n0\n𝑥\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n𝑦\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=2x^2+5x. [rysunek] Funkcja kwadratowa g jest określona wzorem g(x)=2x^2-5x. Wykres funkcji g jest A. symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Ox. B. symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Oy. C. symetryczny do wykresu funkcji f względem początku układu współrzędnych. D. przesunięty względem wykresu funkcji f o 10 jednostek w kierunku przeciwnym do zwrotu osi Ox.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.4) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji\n𝑦= 𝑓(-𝑥).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nWykres funkcji \\(g\\) jest symetryczny do wykresu funkcji \\(f\\) względem osi \\(Oy\\).\n\n> **Uwaga:** Treść zadania odwołuje się do wcześniej zdefiniowanej funkcji \\(f\\). Na podstawie poprawnej odpowiedzi B wynika, że \\(f(x) = 2x^2 + 5x\\) (czyli różni się od \\(g\\) tylko znakiem przy \\(x\\)).\n\n## Sposób 1 - Podstawienie \\(x \\to -x\\) (definicja symetrii względem osi \\(Oy\\))\n\n**Co wiemy:** Dwa wykresy są symetryczne względem osi \\(Oy\\), gdy dla każdego punktu \\((x, y)\\) należącego do jednego wykresu, punkt \\((-x, y)\\) należy do drugiego. Oznacza to, że:\n\\[g(x) = f(-x)\\]\n\n**Sprawdzamy:**\n\nPodstawiamy \\(-x\\) do \\(g\\):\n\\[g(-x) = 2(-x)^2 - 5(-x) = 2x^2 + 5x\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = 2x^2 + 5x\\]\n\n**Wniosek:** \\(f(x) = g(-x)\\), co dokładnie oznacza symetrię względem osi \\(Oy\\). **Odpowiedź B.**\n\n## Sposób 2 - Analiza wierzchołków obu parabol\n\nJeśli \\(f(x) = 2x^2 + 5x\\), to obie parabole mają tę samą wartość współczynnika \\(a = 2\\), więc są tak samo \"szerokie\" i otwierają się w górę.\n\n**Wierzchołek \\(g\\):**\n\\[p_g = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-5}{4} = \\frac{5}{4}\\]\n\nWierzchołek: \\(W_g = \\left(\\frac{5}{4},\\ g\\!\\left(\\frac{5}{4}\\right)\\right)\\)\n\n**Wierzchołek \\(f\\):**\n\\[p_f = -\\frac{5}{4}\\]\n\nWierzchołek: \\(W_f = \\left(-\\frac{5}{4},\\ f\\!\\left(-\\frac{5}{4}\\right)\\right)\\)\n\nWartości \\(y\\) w wierzchołkach są identyczne (bo \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\), a \\(\\Delta\\) jest takie samo dla obu - znak \\(b\\) nie ma znaczenia przy obliczaniu \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)):\n\\[\\Delta_g = (-5)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 0 = 25, \\quad \\Delta_f = 5^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 0 = 25\\]\n\\[q_g = q_f = -\\frac{25}{8}\\]\n\n**Wierzchołki \\(W_g = \\left(\\frac{5}{4}, -\\frac{25}{8}\\right)\\) i \\(W_f = \\left(-\\frac{5}{4}, -\\frac{25}{8}\\right)\\)** leżą symetrycznie względem osi \\(Oy\\) (ta sama wysokość, przeciwne współrzędne \\(x\\)).\n\nTo potwierdza: wykresy są symetryczne względem \\(Oy\\). **Odpowiedź B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędne wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia wierzchołków i porównania ich położenia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Symetria względem \\(Ox\\) oznacza \\(g(x) = -f(x)\\), czyli \\(f(x) = -2x^2 + 5x\\) - zmiana znaku **całej** funkcji, nie samego \\(x\\) |\n| C | Symetria względem początku układu to \\(g(x) = -f(-x)\\), czyli \\(f(x) = -2x^2 - 5x\\) - tu zmieniamy **oba** znaki jednocześnie |\n| D | Przesunięcie o 10 jednostek w lewo to \\(g(x) = f(x + 10)\\), co daje zupełnie inną parabolę - tu mamy **translację**, nie odbicie |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem \\(Oy\\) to zamiana \\(x \\to -x\\). Łatwo pomylić z symetrią względem \\(Ox\\) (zmiana \\(y \\to -y\\), czyli negacja całej funkcji). Zapamiętaj: **oś \\(Oy\\)** to pionowa oś, symetria \"odwraca\" poziomo → zamieniamy \\(x\\) na \\(-x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem początku układu to kombinacja obu: \\(x \\to -x\\) ORAZ \\(y \\to -y\\) jednocześnie. Jeśli tylko jeden z tych warunków jest spełniony - to nie jest symetria względem początku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie i odbicie to różne transformacje. Przesunięcie o 10 w lewo zmieniłoby wierzchołek z \\(\\frac{5}{4}\\) na \\(\\frac{5}{4} + 10 = \\frac{45}{4}\\) - zupełnie co innego niż tu mamy.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - przekształcenia wykresów\nSymetria względem osi \\(Oy\\) to podstawienie \\(x\\to -x\\): \\(f(-x) = 2(-x)^{2} + 5(-x) = 2x^{2} - 5x = g(x)\\). ✓\n\n### Sposób 2 - sprawdzenie punktów\nPunkt \\((x_0, f(x_0))\\) przechodzi na \\((-x_0, f(x_0))\\) przy symetrii wzgl. \\(Oy\\). Dla \\(f\\): miejsca zerowe \\(0, -\\tfrac{5}{2}\\). Dla \\(g\\): miejsca zerowe \\(0, \\tfrac{5}{2}\\) - są lustrzanym odbiciem.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** symetria wzgl. \\(Ox\\) dałaby \\(-f(x) = -2x^{2} - 5x\\).\n- **C.** symetria wzgl. \\((0,0)\\) dałaby \\(-f(-x) = -2x^{2} + 5x\\).\n- **D.** przesunięcie o 10 dałoby \\(f(x+10)\\ne g(x)\\).\n\n**Trik:** zamiana znaku przy \\(x\\) bez zmiany przy \\(x^{2}\\) = symetria osiowa względem \\(Oy\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
Funkcja kwadratowa 𝑔 jest określona wzorem 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 -5𝑥. Wykres funkcji 𝑔 jest
A. symetryczny do wykresu funkcji 𝑓 względem osi 𝑂𝑥.
B. symetryczny do wykresu funkcji 𝑓 względem osi 𝑂𝑦.
C. symetryczny do wykresu funkcji 𝑓 względem początku układu współrzędnych.
D. przesunięty względem wykresu funkcji 𝑓 o 10 jednostek w kierunku przeciwnym do
zwrotu osi 𝑂𝑥.
𝑦= 𝑓(𝑥)
1 2 3 4
7
6
-1
-2
-3
-4
-5
5
0
𝑥
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
𝑦

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=2x^2+5x. [rysunek] Funkcja kwadratowa g jest określona wzorem g(x)=2x^2-5x. Wykres funkcji g jest A. symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Ox. B. symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Oy. C. symetryczny do wykresu funkcji f względem początku układu współrzędnych. D. przesunięty względem wykresu funkcji f o 10 jednostek w kierunku przeciwnym do zwrotu osi Ox.

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
Zdający:
4.4) na podstawie wykresu funkcji
𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji
𝑦= 𝑓(-𝑥).
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

Wykres funkcji \\(g\\) jest symetryczny do wykresu funkcji \\(f\\) względem osi \\(Oy\\).

\n
Uwaga: Treść zadania odwołuje się do wcześniej zdefiniowanej funkcji \\(f\\). Na podstawie poprawnej odpowiedzi B wynika, że \\(f(x) = 2x^2 + 5x\\) (czyli różni się od \\(g\\) tylko znakiem przy \\(x\\)).
\n

Sposób 1 - Podstawienie \\(x \\to -x\\) (definicja symetrii względem osi \\(Oy\\))

\n

Co wiemy: Dwa wykresy są symetryczne względem osi \\(Oy\\), gdy dla każdego punktu \\((x, y)\\) należącego do jednego wykresu, punkt \\((-x, y)\\) należy do drugiego. Oznacza to, że:
\\[g(x) = f(-x)\\]

\n

Sprawdzamy:

\n

Podstawiamy \\(-x\\) do \\(g\\):
\\[g(-x) = 2(-x)^2 - 5(-x) = 2x^2 + 5x\\]

\n

Zatem:
\\[f(x) = 2x^2 + 5x\\]

\n

Wniosek: \\(f(x) = g(-x)\\), co dokładnie oznacza symetrię względem osi \\(Oy\\). Odpowiedź B.

\n

Sposób 2 - Analiza wierzchołków obu parabol

\n

Jeśli \\(f(x) = 2x^2 + 5x\\), to obie parabole mają tę samą wartość współczynnika \\(a = 2\\), więc są tak samo "szerokie" i otwierają się w górę.

\n

Wierzchołek \\(g\\):
\\[p_g = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-5}{4} = \\frac{5}{4}\\]

\n

Wierzchołek: \\(W_g = \\left(\\frac{5}{4},\\ g\\!\\left(\\frac{5}{4}\\right)\\right)\\)

\n

Wierzchołek \\(f\\):
\\[p_f = -\\frac{5}{4}\\]

\n

Wierzchołek: \\(W_f = \\left(-\\frac{5}{4},\\ f\\!\\left(-\\frac{5}{4}\\right)\\right)\\)

\n

Wartości \\(y\\) w wierzchołkach są identyczne (bo \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\), a \\(\\Delta\\) jest takie samo dla obu - znak \\(b\\) nie ma znaczenia przy obliczaniu \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)):
\\[\\Delta_g = (-5)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 0 = 25, \\quad \\Delta_f = 5^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 0 = 25\\]
\\[q_g = q_f = -\\frac{25}{8}\\]

\n

Wierzchołki \\(W_g = \\left(\\frac{5}{4}, -\\frac{25}{8}\\right)\\) i \\(W_f = \\left(-\\frac{5}{4}, -\\frac{25}{8}\\right)\\) leżą symetrycznie względem osi \\(Oy\\) (ta sama wysokość, przeciwne współrzędne \\(x\\)).

\n

To potwierdza: wykresy są symetryczne względem \\(Oy\\). Odpowiedź B.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - współrzędne wierzchołka paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia wierzchołków i porównania ich położenia.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Symetria względem \\(Ox\\) oznacza \\(g(x) = -f(x)\\), czyli \\(f(x) = -2x^2 + 5x\\) - zmiana znaku całej funkcji, nie samego \\(x\\) |
| C | Symetria względem początku układu to \\(g(x) = -f(-x)\\), czyli \\(f(x) = -2x^2 - 5x\\) - tu zmieniamy oba znaki jednocześnie |
| D | Przesunięcie o 10 jednostek w lewo to \\(g(x) = f(x + 10)\\), co daje zupełnie inną parabolę - tu mamy translację, nie odbicie |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Symetria względem \\(Oy\\) to zamiana \\(x \\to -x\\). Łatwo pomylić z symetrią względem \\(Ox\\) (zmiana \\(y \\to -y\\), czyli negacja całej funkcji). Zapamiętaj: oś \\(Oy\\) to pionowa oś, symetria "odwraca" poziomo → zamieniamy \\(x\\) na \\(-x\\).
\n
⚠️ Uwaga: Symetria względem początku układu to kombinacja obu: \\(x \\to -x\\) ORAZ \\(y \\to -y\\) jednocześnie. Jeśli tylko jeden z tych warunków jest spełniony - to nie jest symetria względem początku.
\n
⚠️ Uwaga: Przesunięcie i odbicie to różne transformacje. Przesunięcie o 10 w lewo zmieniłoby wierzchołek z \\(\\frac{5}{4}\\) na \\(\\frac{5}{4} + 10 = \\frac{45}{4}\\) - zupełnie co innego niż tu mamy.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 (karta wzorów) - przekształcenia wykresów
\n

Symetria względem osi \\(Oy\\) to podstawienie \\(x\\to -x\\): \\(f(-x) = 2(-x)^{2} + 5(-x) = 2x^{2} - 5x = g(x)\\). ✓

\n
Sposób 2 - sprawdzenie punktów
\n

Punkt \\((x_0, f(x_0))\\) przechodzi na \\((-x_0, f(x_0))\\) przy symetrii wzgl. \\(Oy\\). Dla \\(f\\): miejsca zerowe \\(0, -\\tfrac{5}{2}\\). Dla \\(g\\): miejsca zerowe \\(0, \\tfrac{5}{2}\\) - są lustrzanym odbiciem.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: zamiana znaku przy \\(x\\) bez zmiany przy \\(x^{2}\\) = symetria osiowa względem \\(Oy\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, wykres funkcji $g(x) = 2x^2 - 5x$ jest symetryczny do wykresu funkcji $f$ względem osi $Oy$.

"}]}