{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nRównanie (𝑥2 -27)(𝑥2 + 16) = 0 ma dokładnie\nA. jedno rozwiązanie rzeczywiste.\nB. dwa rozwiązania rzeczywiste.\nC. trzy rozwiązania rzeczywiste.\nD. cztery rozwiązania rzeczywiste.\nRównanie (x^2-27)(x^2+16)=0 ma dokładnie A. jedno rozwiązanie rzeczywiste. B. dwa rozwiązania rzeczywiste. C. trzy rozwiązania rzeczywiste. D. cztery rozwiązania rzeczywiste.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.6) korzysta z własności iloczynu przy\nrozwiazywaniu równań typu\n𝑥(𝑥+ 1)(𝑥-7) = 0.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nRównanie \\((x^2 - 27)(x^2 + 16) = 0\\) ma **dwa rozwiązania rzeczywiste**.\n\n## Sposób 1 - Iloczyn równy zero (osobne równania)\n\nIloczyn dwóch czynników równa się zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z nich jest zerem:\n\n\\[(x^2 - 27)(x^2 + 16) = 0\\]\n\n\\[x^2 - 27 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 + 16 = 0\\]\n\n**Czynnik pierwszy:**\n\\[x^2 - 27 = 0\\]\n\\[x^2 = 27\\]\n\\[x = \\pm\\sqrt{27} = \\pm 3\\sqrt{3}\\]\n\nDwa rozwiązania rzeczywiste: \\(x_1 = -3\\sqrt{3}\\), \\(x_2 = 3\\sqrt{3}\\).\n\n**Czynnik drugi:**\n\\[x^2 + 16 = 0\\]\n\\[x^2 = -16\\]\n\nKwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc \\(x^2 \\geq 0\\). Równanie \\(x^2 = -16\\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych**.\n\n**Wniosek:** całe równanie ma dokładnie **dwa rozwiązania rzeczywiste**.\n\n## Sposób 2 - Podstawienie \\(t = x^2\\)\n\nWprowadzamy podstawienie \\(t = x^2\\), gdzie \\(t \\geq 0\\):\n\n\\[(t - 27)(t + 16) = 0\\]\n\n\\[t = 27 \\quad \\text{lub} \\quad t = -16\\]\n\nTeraz wracamy do zmiennej \\(x\\):\n\n- \\(t = 27 \\geq 0\\) → \\(x^2 = 27\\) → \\(x = \\pm\\sqrt{27} = \\pm 3\\sqrt{3}\\) - **dwa rozwiązania**\n- \\(t = -16 < 0\\) → \\(x^2 = -16\\) - **brak rozwiązań** (bo \\(x^2 \\geq 0\\) zawsze)\n\nŁącznie: **2 rozwiązania rzeczywiste**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe własności równań i fakt, że kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.\n\nPomocniczo korzystamy ze wzoru na pierwiastek kwadratowy (**Dział 2, s. 4-5**):\n\\[\\sqrt{27} = \\sqrt{9 \\cdot 3} = 3\\sqrt{3}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń bierze tylko jedno z dwóch rozwiązań czynnika pierwszego (np. tylko \\(x = 3\\sqrt{3}\\), zapominając o \\(x = -3\\sqrt{3}\\)) |\n| C | Uczeń liczy \"rozwiązania\" czynnika drugiego błędnie: np. \\(x^2 = -16\\) → \\(x = \\pm 4i\\) i zalicza liczby zespolone jako rzeczywiste |\n| D | Uczeń przyjmuje, że oba czynniki dają po dwa rozwiązania (\\(2 + 2 = 4\\)), nie sprawdzając, czy \\(x^2 = -16\\) ma sens w liczbach rzeczywistych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 = -16\\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych**! Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(x^2 = 27\\) daje **dwa** rozwiązania: \\(x = \\sqrt{27}\\) **i** \\(x = -\\sqrt{27}\\). Nie pomiń rozwiązania ujemnego!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{27}\\) warto upraszczać: \\(\\sqrt{27} = \\sqrt{9 \\cdot 3} = 3\\sqrt{3}\\). Na egzaminie uproszczona postać wygląda lepiej i ułatwia weryfikację.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - własność iloczynu\nIloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.\n- \\(x^{2} - 27 = 0 \\Rightarrow x^{2} = 27 \\Rightarrow x = \\pm \\sqrt{27} = \\pm 3\\sqrt{3}\\) (2 rozwiązania).\n- \\(x^{2} + 16 = 0 \\Rightarrow x^{2} = -16\\) - brak rozwiązań rzeczywistych (kwadrat nieujemny).\nRazem: 2 rozwiązania rzeczywiste.\n\n### Sposób 2 - rozpatrzenie dziedziny\n\\(x^{2} + 16 \\geq 16 > 0\\) dla każdej liczby rzeczywistej, więc ten czynnik nie daje rozwiązań. Pozostaje \\(x^{2} = 27\\), które ma 2 pierwiastki.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** zapomniano o \\(\\pm\\).\n- **C, D.** policzono rozwiązania z \\(x^{2}+16=0\\) - nie istnieją w \\(\\mathbb{R}\\).\n\n**Trik:** suma kwadratu i liczby dodatniej NIGDY nie jest zerem w \\(\\mathbb{R}\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Równanie (𝑥2 -27)(𝑥2 + 16) = 0 ma dokładnie<br>A. jedno rozwiązanie rzeczywiste.<br>B. dwa rozwiązania rzeczywiste.<br>C. trzy rozwiązania rzeczywiste.<br>D. cztery rozwiązania rzeczywiste.<br>Równanie (x^2-27)(x^2+16)=0 ma dokładnie A. jedno rozwiązanie rzeczywiste. B. dwa rozwiązania rzeczywiste. C. trzy rozwiązania rzeczywiste. D. cztery rozwiązania rzeczywiste.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>3.6) korzysta z własności iloczynu przy<br>rozwiazywaniu równań typu<br>𝑥(𝑥+ 1)(𝑥-7) = 0.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>Równanie \\((x^2 - 27)(x^2 + 16) = 0\\) ma <strong>dwa rozwiązania rzeczywiste</strong>.</p>\n<h4>Sposób 1 - Iloczyn równy zero (osobne równania)</h4>\n<p>Iloczyn dwóch czynników równa się zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z nich jest zerem:</p>\n<p>\\[(x^2 - 27)(x^2 + 16) = 0\\]</p>\n<p>\\[x^2 - 27 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 + 16 = 0\\]</p>\n<p><strong>Czynnik pierwszy:</strong><br>\\[x^2 - 27 = 0\\]<br>\\[x^2 = 27\\]<br>\\[x = \\pm\\sqrt{27} = \\pm 3\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Dwa rozwiązania rzeczywiste: \\(x_1 = -3\\sqrt{3}\\), \\(x_2 = 3\\sqrt{3}\\).</p>\n<p><strong>Czynnik drugi:</strong><br>\\[x^2 + 16 = 0\\]<br>\\[x^2 = -16\\]</p>\n<p>Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc \\(x^2 \\geq 0\\). Równanie \\(x^2 = -16\\) <strong>nie ma rozwiązań rzeczywistych</strong>.</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> całe równanie ma dokładnie <strong>dwa rozwiązania rzeczywiste</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Podstawienie \\(t = x^2\\)</h4>\n<p>Wprowadzamy podstawienie \\(t = x^2\\), gdzie \\(t \\geq 0\\):</p>\n<p>\\[(t - 27)(t + 16) = 0\\]</p>\n<p>\\[t = 27 \\quad \\text{lub} \\quad t = -16\\]</p>\n<p>Teraz wracamy do zmiennej \\(x\\):</p>\n<ul><li>\\(t = 27 \\geq 0\\) → \\(x^2 = 27\\) → \\(x = \\pm\\sqrt{27} = \\pm 3\\sqrt{3}\\) - <strong>dwa rozwiązania</strong></li><li>\\(t = -16 &lt; 0\\) → \\(x^2 = -16\\) - <strong>brak rozwiązań</strong> (bo \\(x^2 \\geq 0\\) zawsze)</li></ul>\n<p>Łącznie: <strong>2 rozwiązania rzeczywiste</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe własności równań i fakt, że kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.</p>\n<p>Pomocniczo korzystamy ze wzoru na pierwiastek kwadratowy (<strong>Dział 2, s. 4-5</strong>):<br>\\[\\sqrt{27} = \\sqrt{9 \\cdot 3} = 3\\sqrt{3}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Uczeń bierze tylko jedno z dwóch rozwiązań czynnika pierwszego (np. tylko \\(x = 3\\sqrt{3}\\), zapominając o \\(x = -3\\sqrt{3}\\)) |<br>| C | Uczeń liczy &quot;rozwiązania&quot; czynnika drugiego błędnie: np. \\(x^2 = -16\\) → \\(x = \\pm 4i\\) i zalicza liczby zespolone jako rzeczywiste |<br>| D | Uczeń przyjmuje, że oba czynniki dają po dwa rozwiązania (\\(2 + 2 = 4\\)), nie sprawdzając, czy \\(x^2 = -16\\) ma sens w liczbach rzeczywistych |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(x^2 = -16\\) <strong>nie ma rozwiązań rzeczywistych</strong>! Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. To najczęstszy błąd w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(x^2 = 27\\) daje <strong>dwa</strong> rozwiązania: \\(x = \\sqrt{27}\\) <strong>i</strong> \\(x = -\\sqrt{27}\\). Nie pomiń rozwiązania ujemnego!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{27}\\) warto upraszczać: \\(\\sqrt{27} = \\sqrt{9 \\cdot 3} = 3\\sqrt{3}\\). Na egzaminie uproszczona postać wygląda lepiej i ułatwia weryfikację.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - własność iloczynu</h5>\n<p>Iloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.</p>\n<ul><li>\\(x^{2} - 27 = 0 \\Rightarrow x^{2} = 27 \\Rightarrow x = \\pm \\sqrt{27} = \\pm 3\\sqrt{3}\\) (2 rozwiązania).</li><li>\\(x^{2} + 16 = 0 \\Rightarrow x^{2} = -16\\) - brak rozwiązań rzeczywistych (kwadrat nieujemny).</li></ul>\n<p>Razem: 2 rozwiązania rzeczywiste.</p>\n<h5>Sposób 2 - rozpatrzenie dziedziny</h5>\n<p>\\(x^{2} + 16 \\geq 16 &gt; 0\\) dla każdej liczby rzeczywistej, więc ten czynnik nie daje rozwiązań. Pozostaje \\(x^{2} = 27\\), które ma 2 pierwiastki.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> zapomniano o \\(\\pm\\).</li><li><strong>C, D.</strong> policzono rozwiązania z \\(x^{2}+16=0\\) - nie istnieją w \\(\\mathbb{R}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> suma kwadratu i liczby dodatniej NIGDY nie jest zerem w \\(\\mathbb{R}\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, zauważ, że iloczyn dwóch liczb jest równy $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest równa $0$, zatem $x^2-27=0$ lub $x^2+16=0$. Równanie $x^2+16=0$ jest sprzeczne, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej musi być liczbą nieujemną. Stąd rozwiązania podanego równania to rozwiązania równania $x^2-27=0$, czyli $x=\\sqrt{27}$ lub $x=-\\sqrt{27}$.</p>"}]}