Zadanie 11. (0-4)
Rozwiąż równanie cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉.
EMAP-R0_100
\nEMAP-R0_100
Rozwiąż równanie cos(3x) + √3sin(3x)+1=0 w przedziale <0,π>.
Zadanie 11. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
R6.6) rozwiązuje równania
trygonometryczne […].
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
zapisze równanie w postaci 1
2 cos(3𝑥) +
√3
2 sin(3𝑥) + 1
2 = 0
ALBO
zapisze alternatywę równań sin(3𝑥) = 0 lub sin(3𝑥) + √3cos(3𝑥) = 0.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
zapisze równanie sin (𝜋
6 + 3𝑥) = -1
2 (lub cos (3𝑥-𝜋
2)
ALBO
rozwiąże równanie sin(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych, lecz nie odrzuci
rozwiązań obcych równania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0: 𝑥= 1
3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘
jest liczbą całkowitą,
ALBO
rozwiąże równanie sin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych, lecz
nie odrzuci rozwiązań obcych równania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0:
𝑥= -𝜋
9 + 1
3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy:
zapisze poprawnie obie serie rozwiązań równania sin (𝜋
6 + 3𝑥) = -1
2 (lub
cos (3𝑥-𝜋
3 + 2
3 𝜋𝑘 lub 𝑥= -𝜋
9 + 2
3 𝜋𝑘 gdzie 𝑘 jest
liczbą całkowitą (bez wyznaczenia rozwiązań z danego przedziału)
ALBO
zapisze poprawnie jedno z rozwiązań równania sin (𝜋
6 + 3𝑥) = -1
2 (lub
cos (3𝑥-𝜋
3 (lub 𝑥= 𝜋, lub 𝑥= 5
9 𝜋),
ALBO
rozwiąże równanie sin(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych i odrzuci rozwiązania
obce: 𝑥= 1
3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą nieparzystą,
ALBO
rozwiąże równanie sin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych i
odrzuci rozwiązania obce: 𝑥= -𝜋
9 + 1
3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą parzystą.
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy:
gdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania
cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0
i poda prawidłowe rozwiązania w przedziale 〈0, 𝜋〉: 𝑥= 𝜋
3 lub 𝑥= 𝜋 lub 𝑥= 5
9 𝜋 .
Uwagi:
np. zapisuje cosinus sumy argumentów zamiast cosinusa ich różnicy i konsekwentnie
doprowadzi rozwiązanie do końca, to zdający może otrzymać 2 punkty za całe
rozwiązanie.
starożytnych, np. podnosi obie strony równania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) = -1 do
kwadratu i nie odrzuci rozwiązań obcych, to za całe rozwiązanie może otrzymać co
najwyżej 2 punkty.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Dzielimy obie strony równania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0 przez 2 i otrzymujemy
kolejno
cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0
1
2 cos(3𝑥) + √3
2 sin(3𝑥) = -1
2
sin 𝜋
6 cos(3𝑥) + cos 𝜋
6 sin(3𝑥) = -1
2
Stąd, po zastosowaniu wzoru na sinus sumy argumentów, otrzymujemy równanie
elementarne
sin (𝜋
6 + 3𝑥) = -1
2
Zatem
𝜋
6 + 3𝑥= 7
6 𝜋+ 2𝜋𝑘 lub 𝜋
6 + 3𝑥= -𝜋
6 + 2𝜋𝑘
gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą, więc
𝑥= 𝜋
3 + 2
3 𝜋𝑘 lub 𝑥= -𝜋
9 + 2
3 𝜋𝑘
Ograniczamy się do przedziału 〈0, 𝜋〉 i otrzymujemy rozwiązania: 𝑥= 𝜋
3 lub 𝑥= 𝜋 lub
𝑥= 5
9 𝜋 .
Sposób 2.
Dzielimy obie strony równania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0 przez 2 i otrzymujemy
kolejno
cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0
1
2 cos(3𝑥) + √3
2 sin(3𝑥) = -1
2
cos 𝜋
3 cos(3𝑥) + sin 𝜋
3 sin(3𝑥) = -1
2
Stąd, po zastosowaniu wzoru na cosinus różnicy argumentów, otrzymujemy równanie
elementarne
cos (3𝑥-𝜋
2
Zatem
3𝑥-𝜋
3 = 2
3 𝜋+ 2𝜋𝑘 lub 3𝑥-𝜋
3 = 4
3 𝜋+ 2𝜋𝑘
gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą, więc
𝑥= 𝜋
3 + 2
3 𝜋𝑘 lub 𝑥= 5
9 𝜋+ 2
3 𝜋𝑘
Ograniczamy się do przedziału 〈0, 𝜋〉 i otrzymujemy rozwiązania: 𝑥= 𝜋
3 lub 𝑥= 𝜋 lub
𝑥= 5
9 𝜋 .
Sposób 3. (metoda analizy starożytnych)
Równanie zapisujemy w postaci cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) = -1 i podnosimy obie strony tego
równania do kwadratu, otrzymując kolejno
cos2(3𝑥) + 2√3 sin(3𝑥) cos(3𝑥) + 3 sin2(3𝑥) = 1
1 + 2 sin2(3𝑥) + 2√3 sin(3𝑥) cos(3𝑥) = 1
2 sin 3𝑥(sin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥)) = 0
sin(3𝑥) = 0 lub sin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥) = 0
Rozwiązujemy równanie sin(3𝑥) = 0:
3𝑥= 𝑘⋅𝜋
𝑥= 1
3 𝜋⋅𝑘
gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą.
Sprawdzamy, czy wśród liczb postaci 1
3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, nie ma
rozwiązań obcych.
Gdy 𝑘 jest liczbą parzystą, to wtedy
cos (3 ⋅1
3 𝜋⋅𝑘) + √3 sin (3 ⋅1
3 𝜋⋅𝑘) + 1 = cos(𝜋⋅𝑘) + √3 sin(𝜋⋅𝑘) + 1 =
= cos 0 + √3 sin 0 + 1 = 1 + 0 + 1 ≠0
Gdy 𝑘 jest liczbą nieparzystą, to wtedy
cos (3 ⋅1
3 𝜋⋅𝑘) + √3 sin (3 ⋅1
3 𝜋⋅𝑘) + 1 =
= cos(𝜋⋅(𝑘-1) + 𝜋) + √3 sin(𝜋⋅(𝑘-1) + 𝜋) + 1 =
= cos 𝜋+ √3 sin 𝜋+ 1 = -1 + √3 ⋅0 + 1 = 0
Zatem liczby postaci 1
3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą nieparzystą, są rozwiązaniami
równania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0.
Rozwiązujemy równanie sin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥) = 0.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Liczby postaci 𝜋
6 + 1
3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, nie spełniają równania
sin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥) = 0, ponieważ sin (3 ⋅(𝜋
6 + 1
3 𝜋⋅𝑘)) = sin (𝜋
2 + 𝜋⋅𝑘) ≠0
i cos (3 ⋅(𝜋
6 + 1
3 𝜋⋅𝑘)) = cos (𝜋
2 + 𝜋⋅𝑘) = 0.
Natomiast gdy 𝑥≠𝜋
6 + 1
3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, to wtedy cos(3𝑥) ≠0, więc
dzieląc równanie sin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥) = 0 otrzymujemy kolejno
sin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥) = 0
tg(3𝑥) + √3 = 0
tg(3𝑥) = -√3
3𝑥= -𝜋
3 + 𝜋⋅𝑘
𝑥= -𝜋
9 + 1
3 𝜋⋅𝑘
gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą.
Sprawdzamy, czy wśród liczb postaci -𝜋
9 + 1
3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, nie ma
rozwiązań obcych.
Gdy 𝑘 jest liczbą parzystą, to wtedy
cos (3 ⋅(-𝜋
9 + 1
3 𝜋⋅𝑘)) + √3 sin (3 ⋅(-𝜋
9 + 1
3 𝜋⋅𝑘)) + 1 =
= cos (-𝜋
3 + 𝜋⋅𝑘) + √3 sin (-𝜋
3 + 𝜋⋅𝑘) + 1 = cos (-𝜋
= 1
2 + √3 ⋅(-√3
2 ) + 1 = 0
Gdy 𝑘 jest liczbą nieparzystą, to wtedy
cos (3 ⋅(-𝜋
9 + 1
3 𝜋⋅𝑘)) + √3 sin (3 ⋅(-𝜋
9 + 1
3 𝜋⋅𝑘)) + 1 =
= cos (-𝜋
3 + 𝜋⋅𝑘) + √3 sin (-𝜋
3 + 𝜋⋅𝑘) + 1 =
= cos (-𝜋
3 + 𝜋⋅(𝑘-1) + 𝜋) + √3 sin (-𝜋
3 + 𝜋⋅(𝑘-1) + 𝜋) + 1 =
= cos (2𝜋
3 ) + √3 sin (2𝜋
3 ) + 1 = -1
2 + √3 ⋅√3
2 + 1 ≠0
Zatem liczby postaci -𝜋
9 + 1
3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą parzystą, są rozwiązaniami
równania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0.
Zapisujemy rozwiązania równania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉:
𝑥= 𝜋
3 lub 𝑥= 𝜋 lub 𝑥= 5
9 𝜋 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań
$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ lub $x = \\pi$ lub $x = \\dfrac{5}{9}\\pi$
"}]}