{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nPodstawą graniastosłupa prostego 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 jest trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷\nwpisany w okrąg o środku 𝑂 i promieniu 𝑅. Dłuższa podstawa 𝐴𝐵 trapezu jest średnicą\ntego okręgu, a krótsza - cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze 2𝛼 (zobacz\nrysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do\npłaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 𝛼. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako\nfunkcję promienia 𝑅 i miary kąta 𝛼.\n𝐴\n𝐷\n𝐷1\n𝐶1\n𝐵1\n𝑂\n𝐵\n𝐴1\n𝐶\n𝑅\n𝑅\n2𝛼\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nPodstawą graniastosłupa prostego ABCDA_1B_1C_1D_1 jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R. Dłuższa podstawa AB trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza - cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze 2α (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze α. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia R i miary kąta α.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.1) rozpoznaje w graniastosłupach kąty\nmiędzy odcinkami (np. krawędziami,\nkrawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza\nmiary tych kątów;\n9.3) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól\npowierzchni i objętości graniastosłupów.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nobliczy miarę kąta 𝐷𝐵𝐶: |∡𝐷𝐵𝐶| = 𝛼\nALBO\nobliczy miarę kąta 𝑂𝐶𝐸: |∡𝑂𝐶𝐸| = 𝛼\nALBO\nobliczy miarę kąta 𝐵𝑂𝐶 (lub 𝐴𝑂𝐷): |∡𝐵𝑂𝐶| = 90° -𝛼\nALBO\nzapisze związek między |𝐶𝐷|, 𝑅 oraz 𝛼 otrzymany z zastosowania twierdzenia\ncosinusów do trójkąta 𝐶𝑂𝐷, np. |𝐶𝐷|2 = 𝑅2 + 𝑅2 -2𝑅⋅𝑅⋅cos(2𝛼)\nALBO\nzapisze\n1\n2⋅|𝐶𝐷|\n𝑅\n= sin 𝛼.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\nobliczy długość podstawy 𝐶𝐷 trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): |𝐶𝐷| = 2𝑅sin 𝛼\nALBO\nobliczy wysokość ℎ trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): ℎ= 𝑅cos𝛼\nALBO\nzapisze związek między |𝐵𝐶|, 𝑅 oraz 𝛼 (otrzymany np. z zastosowania\ntwierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝑂𝐶 albo twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶),\nnp. |𝐵𝐶|2 = 𝑅2 + 𝑅2 -2𝑅⋅𝑅⋅cos(90° -𝛼),\n|𝐵𝐶|\n𝑠𝑖𝑛(45°-𝛼\n2) = 2𝑅.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\nobliczy długość ramienia 𝐵𝐶 (lub 𝐴𝐷) trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼) oraz\ndługość podstawy 𝐶𝐷 trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): |𝐵𝐶| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼\n(lub |𝐴𝐷| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼) oraz |𝐶𝐷| = 2𝑅sin 𝛼\nALBO\nobliczy długość ramienia 𝐵𝐶 (lub 𝐴𝐷) trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼) oraz\nwysokość ℎ trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): |𝐵𝐶| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼 (lub\n|𝐴𝐷| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼) oraz ℎ= 𝑅cos𝛼.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy:\nobliczy wysokość 𝐻 graniastosłupa (w zależności od 𝑅 i 𝛼) oraz długość\npodstawy 𝐶𝐷 trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): 𝐻= 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼∙tg 𝛼 oraz\n|𝐶𝐷| = 2𝑅sin 𝛼\nALBO\nobliczy wysokość 𝐻 graniastosłupa (w zależności od 𝑅 i 𝛼) oraz wysokość ℎ\ntrapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): 𝐻= 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼∙tg 𝛼 oraz ℎ= 𝑅cos𝛼.\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy obliczy objętość 𝑉 graniastosłupa: 𝑉= 𝑅3 ⋅sin 𝛼∙(1 -sin 𝛼) ⋅√2 -2 sin 𝛼.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ |∡𝐶𝑂𝐷| = 2𝛼, więc |∡𝐷𝐵𝐶| = 𝛼 jako miara kąta wpisanego opartego na tym\nsamym łuku, co kąt środkowy 𝐶𝑂𝐷.\nObliczamy długość krótszej podstawy 𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nOkrąg o środku 𝑂 i promieniu 𝑅 jest okręgiem opisanym na trójkącie 𝐵𝐶𝐷. Do trójkąta\n𝐵𝐶𝐷 stosujemy twierdzenie sinusów i otrzymujemy\n|𝐶𝐷|\nsin|∡𝐷𝐵𝐶| = 2𝑅\n𝐴\n𝐷\n𝐷1\n𝐶1\n𝐵1\n𝑂\n𝐵\n𝐴1\n𝐶\n𝑅\n𝑅\n2𝛼\n𝐸\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝐶𝐷|\nsin 𝛼= 2𝑅\nStąd |𝐶𝐷| = 2𝑅⋅sin 𝛼.\nPonieważ trójkąty 𝐴𝑂𝐷 i 𝐵𝑂𝐶 są przystające oraz |∡𝐶𝑂𝐷| = 2𝛼, więc\n| ∡𝐴𝑂𝐷| = | ∡𝐵𝑂𝐶| = 180° -2𝛼\n2\n= 90° -𝛼\nObliczamy wysokość ℎ trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nNiech 𝐶𝐸 będzie wysokością trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na podstawę\n𝐴𝐵 trapezu (zobacz rysunek powyżej). Z trójkąta 𝑂𝐸𝐶 otrzymujemy\nℎ\n𝑅= sin(90° -𝛼) = cos 𝛼\nStąd ℎ= 𝑅cos 𝛼.\nObliczamy wysokość 𝐻 graniastosłupa.\nMiara kąta nachylenia przekątnej 𝐵1𝐶 ściany bocznej 𝐵𝐶𝐶1𝐵1 do płaszczyzny podstawy\n𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równa 𝛼, więc\n𝐻\n|𝐵𝐶| = tg 𝛼\nStosujemy do trójkąta 𝐵𝑂𝐶 twierdzenie cosinusów i otrzymujemy\n|𝐵𝐶|2 = 𝑅2 + 𝑅2 -2𝑅⋅𝑅⋅cos|∡𝐵𝑂𝐶|\n|𝐵𝐶|2 = 2𝑅2 -2𝑅2 ⋅cos(90° -𝛼)\n|𝐵𝐶|2 = 2𝑅2 -2𝑅2 ⋅sin 𝛼\n|𝐵𝐶| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼\nZatem\n𝐻= |𝐵𝐶| ⋅tg 𝛼= 𝑅√2 -2 sin 𝛼⋅tg 𝛼\nObliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa\n𝑉= |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|\n2\n⋅ℎ⋅𝐻\n𝑉= 2𝑅+ 2𝑅⋅sin 𝛼\n2\n∙𝑅cos 𝛼∙𝑅√2 -2 sin 𝛼∙tg 𝛼\nZatem objętość graniastosłupa jest równa 𝑉= 𝑅3 sin 𝛼⋅(1 + sin 𝛼)√2 -2 sin 𝛼.","solution":"$V = R^3 \\sin \\alpha \\cdot (1 + \\sin \\alpha)\\sqrt{2 - 2 \\sin \\alpha}$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-5)
Podstawą graniastosłupa prostego 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 jest trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷
wpisany w okrąg o środku 𝑂 i promieniu 𝑅. Dłuższa podstawa 𝐴𝐵 trapezu jest średnicą
tego okręgu, a krótsza - cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze 2𝛼 (zobacz
rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 𝛼. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako
funkcję promienia 𝑅 i miary kąta 𝛼.
𝐴
𝐷
𝐷1
𝐶1
𝐵1
𝑂
𝐵
𝐴1
𝐶
𝑅
𝑅
2𝛼

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100
Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA_1B_1C_1D_1 jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R. Dłuższa podstawa AB trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza - cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze 2α (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze α. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia R i miary kąta α.

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-5)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
9.1) rozpoznaje w graniastosłupach kąty
między odcinkami (np. krawędziami,
krawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza
miary tych kątów;
9.3) stosuje trygonometrię do obliczeń
długości odcinków, miar kątów, pól
powierzchni i objętości graniastosłupów.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
obliczy miarę kąta 𝐷𝐵𝐶: |∡𝐷𝐵𝐶| = 𝛼
ALBO
obliczy miarę kąta 𝑂𝐶𝐸: |∡𝑂𝐶𝐸| = 𝛼
ALBO
obliczy miarę kąta 𝐵𝑂𝐶 (lub 𝐴𝑂𝐷): |∡𝐵𝑂𝐶| = 90° -𝛼
ALBO
zapisze związek między |𝐶𝐷|, 𝑅 oraz 𝛼 otrzymany z zastosowania twierdzenia
cosinusów do trójkąta 𝐶𝑂𝐷, np. |𝐶𝐷|2 = 𝑅2 + 𝑅2 -2𝑅⋅𝑅⋅cos(2𝛼)
ALBO
zapisze
1
2⋅|𝐶𝐷|
𝑅
= sin 𝛼.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
obliczy długość podstawy 𝐶𝐷 trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): |𝐶𝐷| = 2𝑅sin 𝛼
ALBO
obliczy wysokość ℎ trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): ℎ= 𝑅cos𝛼
ALBO
zapisze związek między |𝐵𝐶|, 𝑅 oraz 𝛼 (otrzymany np. z zastosowania
twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝑂𝐶 albo twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶),
np. |𝐵𝐶|2 = 𝑅2 + 𝑅2 -2𝑅⋅𝑅⋅cos(90° -𝛼),
|𝐵𝐶|
𝑠𝑖𝑛(45°-𝛼

\n
  1. = 2𝑅.
\n

Zdający otrzymuje 3 p.
gdy:
obliczy długość ramienia 𝐵𝐶 (lub 𝐴𝐷) trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼) oraz
długość podstawy 𝐶𝐷 trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): |𝐵𝐶| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼
(lub |𝐴𝐷| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼) oraz |𝐶𝐷| = 2𝑅sin 𝛼
ALBO
obliczy długość ramienia 𝐵𝐶 (lub 𝐴𝐷) trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼) oraz
wysokość ℎ trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): |𝐵𝐶| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼 (lub
|𝐴𝐷| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼) oraz ℎ= 𝑅cos𝛼.
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy:
obliczy wysokość 𝐻 graniastosłupa (w zależności od 𝑅 i 𝛼) oraz długość
podstawy 𝐶𝐷 trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): 𝐻= 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼∙tg 𝛼 oraz
|𝐶𝐷| = 2𝑅sin 𝛼
ALBO
obliczy wysokość 𝐻 graniastosłupa (w zależności od 𝑅 i 𝛼) oraz wysokość ℎ
trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): 𝐻= 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼∙tg 𝛼 oraz ℎ= 𝑅cos𝛼.
Zdający otrzymuje 5 p.
gdy obliczy objętość 𝑉 graniastosłupa: 𝑉= 𝑅3 ⋅sin 𝛼∙(1 -sin 𝛼) ⋅√2 -2 sin 𝛼.
Przykładowe rozwiązanie
Ponieważ |∡𝐶𝑂𝐷| = 2𝛼, więc |∡𝐷𝐵𝐶| = 𝛼 jako miara kąta wpisanego opartego na tym
samym łuku, co kąt środkowy 𝐶𝑂𝐷.
Obliczamy długość krótszej podstawy 𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Okrąg o środku 𝑂 i promieniu 𝑅 jest okręgiem opisanym na trójkącie 𝐵𝐶𝐷. Do trójkąta
𝐵𝐶𝐷 stosujemy twierdzenie sinusów i otrzymujemy
|𝐶𝐷|
sin|∡𝐷𝐵𝐶| = 2𝑅
𝐴
𝐷
𝐷1
𝐶1
𝐵1
𝑂
𝐵
𝐴1
𝐶
𝑅
𝑅
2𝛼
𝐸
Zasady oceniania rozwiązań zadań
|𝐶𝐷|
sin 𝛼= 2𝑅
Stąd |𝐶𝐷| = 2𝑅⋅sin 𝛼.
Ponieważ trójkąty 𝐴𝑂𝐷 i 𝐵𝑂𝐶 są przystające oraz |∡𝐶𝑂𝐷| = 2𝛼, więc
| ∡𝐴𝑂𝐷| = | ∡𝐵𝑂𝐶| = 180° -2𝛼
2
= 90° -𝛼
Obliczamy wysokość ℎ trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Niech 𝐶𝐸 będzie wysokością trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na podstawę
𝐴𝐵 trapezu (zobacz rysunek powyżej). Z trójkąta 𝑂𝐸𝐶 otrzymujemy
ℎ
𝑅= sin(90° -𝛼) = cos 𝛼
Stąd ℎ= 𝑅cos 𝛼.
Obliczamy wysokość 𝐻 graniastosłupa.
Miara kąta nachylenia przekątnej 𝐵1𝐶 ściany bocznej 𝐵𝐶𝐶1𝐵1 do płaszczyzny podstawy
𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równa 𝛼, więc
𝐻
|𝐵𝐶| = tg 𝛼
Stosujemy do trójkąta 𝐵𝑂𝐶 twierdzenie cosinusów i otrzymujemy
|𝐵𝐶|2 = 𝑅2 + 𝑅2 -2𝑅⋅𝑅⋅cos|∡𝐵𝑂𝐶|
|𝐵𝐶|2 = 2𝑅2 -2𝑅2 ⋅cos(90° -𝛼)
|𝐵𝐶|2 = 2𝑅2 -2𝑅2 ⋅sin 𝛼
|𝐵𝐶| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼
Zatem
𝐻= |𝐵𝐶| ⋅tg 𝛼= 𝑅√2 -2 sin 𝛼⋅tg 𝛼
Obliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa
𝑉= |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|
2
⋅ℎ⋅𝐻
𝑉= 2𝑅+ 2𝑅⋅sin 𝛼
2
∙𝑅cos 𝛼∙𝑅√2 -2 sin 𝛼∙tg 𝛼
Zatem objętość graniastosłupa jest równa 𝑉= 𝑅3 sin 𝛼⋅(1 + sin 𝛼)√2 -2 sin 𝛼.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$V = R^3 \\sin \\alpha \\cdot (1 + \\sin \\alpha)\\sqrt{2 - 2 \\sin \\alpha}$

"}]}