{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-6)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie\n(𝑥-4)[𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6] = 0\nma trzy różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1, 𝑥2 oraz 𝑥3, spełniające warunek\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (x-4)[x² + (m-3)x + m² - m - 6] = 0 ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 oraz x_3, spełniające warunek x_1⋅ x_2⋅ x_3 > x_1² + x_2² + x_3² - 5m - 51","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR3.1) stosuje wzory Viète’a;\nR3.2) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap\npolega na rozwiązaniu nierówności Δ > 0 i warunku 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0.\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania:\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nrozwiąże nierówność Δ > 0: 𝑚∈(-11\n3 , 3)\nALBO\nrozwiąże warunek 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0: 𝑚≠-3-√17\n2\ni\n𝑚≠-3+√17\n2\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy rozwiąże nierówność Δ > 0 i warunek 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0:\n𝑚∈(-11\n3 , 3) i 𝑚≠-3-√17\n2\ni 𝑚≠-3+√17\n2\nUwaga do pierwszego etapu:\nJeżeli zdający rozważa warunek Δ ≥0, to za ten etap otrzymuje co najwyżej 1 punkt.\nDrugi etap\npolega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51. Za poprawne rozwiązanie tego warunku zdający\notrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze nierówność 𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51 w postaci\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅4 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 42 -5𝑚-51 (lub równoważnej).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy doprowadzi nierówność 𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅4 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 42 -5𝑚-51 do postaci nierówności\nz jedną niewiadomą 𝑚, np. -[-(𝑚-3)]2 + 6 ⋅(𝑚2 -𝑚-6) + 5𝑚+ 35 > 0.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy wyznaczy te wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których spełniony jest warunek\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51: 𝑚∈(-∞, -2) ∪(1, +∞).\nTrzeci etap\npolega na wyznaczeniu tych wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których spełnione są\njednocześnie wszystkie trzy warunki: Δ > 0 i 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0 i\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51. Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający\notrzymuje 1 punkt.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy poprawnie wyznaczy te wszystkie wartości parametru 𝑚, które spełniają jednocześnie\nwarunki Δ > 0 i 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0, i\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51: 𝑚∈(-11\n3 , -3-√17\n2\n) ∪(-3-√17\n2\n, -2) ∪(1, 3).\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując warunek 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0, popełnia\ntylko błędy rachunkowe i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać\nco najwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający nie rozważa warunku 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0, to może\notrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nW pierwszym etapie wyznaczamy wartości parametru 𝑚, dla których trójmian kwadratowy\n𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, z których każdy jest\nróżny od 4.\nW drugim etapie wyznaczamy te wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek 𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51.\nW trzecim etapie wyznaczamy (na podstawie wyników uzyskanych w etapach I i II) te\nwszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie\n(𝑥-4)[𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6] = 0\nma trzy różne rozwiązania spełniające warunek 𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51.\nI etap\nZauważmy, że liczba 4 jest rozwiązaniem równania\n(𝑥-4)[𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6] = 0\n(1)\nz niewiadomą 𝑥 i parametrem 𝑚. Zatem równanie (1) ma trzy różne rozwiązania\nrzeczywiste tylko wtedy, gdy równanie\n𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6 = 0\n(2)\nz niewiadomą 𝑥 i parametrem 𝑚 ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste, z których\nkażde jest różne od 4, tj. tylko wtedy, gdy\nΔ > 0 i 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0\ngdzie Δ jest wyróżnikiem trójmianu kwadratowego 𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6.\nRozwiązujemy warunek Δ > 0:\n(𝑚-3)2 -4 ⋅1 ⋅(𝑚2 -𝑚-6) > 0\n-3𝑚2 -2𝑚+ 33 > 0\n(𝑚-3)(-3𝑚-11) > 0\n𝑚∈(-11\n3 , 3)\nRozwiązujemy warunek 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0:\n𝑚2 + 3𝑚-2 ≠0\n𝑚≠-3 -√17\n2\ni 𝑚≠-3 + √17\n2\nII etap\nWyznaczamy te wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których spełniony jest warunek\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51\ngdzie 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 są rozwiązaniami równania (1).\nPonieważ liczba 4 jest rozwiązaniem równania (1), więc przyjmujemy 𝑥3 = 4\ni rozwiązujemy warunek\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅4 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 42 -5𝑚-51\ngdzie 𝑥1, 𝑥2 są pierwiastkami równania (2), korzystając ze wzorów Viète’a:\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅4 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 42 -5𝑚-51\n4𝑥1 ⋅𝑥2 > (𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2 -5𝑚-35\n-(𝑥1 + 𝑥2)2 + 6𝑥1 ⋅𝑥2 + 5𝑚+ 35 > 0\n-[-(𝑚-3)]2 + 6 ⋅(𝑚2 -𝑚-6) + 5𝑚+ 35 > 0\n5𝑚2 + 5𝑚-10 > 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n5(𝑚-1)(𝑚+ 2) > 0\n𝑚∈(-∞, -2) ∪(1, +∞)\nIII etap\nWyznaczamy te wszystkie wartości 𝑚, które spełniają jednocześnie następujące trzy\nwarunki:\n• 𝑚∈(-11\n3 , 3)\n𝑚≠-3-√17\n2\ni 𝑚≠-3+√17\n2\n𝑚∈(-∞, -2) ∪(1, +∞)\nOdpowiedź: 𝑚∈(-11\n3 , -3-√17\n2\n) ∪(-3-√17\n2\n, -2) ∪(1, 3).","solution":"$m \\in \\left(-\\dfrac{11}{3}, \\dfrac{-3-\\sqrt{17}}{2}\\right) \\cup \\left(\\dfrac{-3-\\sqrt{17}}{2}, -2\\right) \\cup (1, 3)$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"parametr","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-6)
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie
(𝑥-4)[𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6] = 0
ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1, 𝑥2 oraz 𝑥3, spełniające warunek
𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 𝑥3
2 -5𝑚-51

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (x-4)[x² + (m-3)x + m² - m - 6] = 0 ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 oraz x_3, spełniające warunek x_1⋅ x_2⋅ x_3 > x_1² + x_2² + x_3² - 5m - 51

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-6)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
R3.1) stosuje wzory Viète’a;
R3.2) rozwiązuje równania i nierówności
liniowe i kwadratowe z parametrem.
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap
polega na rozwiązaniu nierówności Δ > 0 i warunku 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0.
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.
Podział punktów za pierwszy etap rozwiązania:
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
rozwiąże nierówność Δ > 0: 𝑚∈(-11
3 , 3)
ALBO
rozwiąże warunek 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0: 𝑚≠-3-√17
2
i
𝑚≠-3+√17
2
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy rozwiąże nierówność Δ > 0 i warunek 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0:
𝑚∈(-11
3 , 3) i 𝑚≠-3-√17
2
i 𝑚≠-3+√17
2
Uwaga do pierwszego etapu:
Jeżeli zdający rozważa warunek Δ ≥0, to za ten etap otrzymuje co najwyżej 1 punkt.
Drugi etap
polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek
𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 𝑥3
2 -5𝑚-51. Za poprawne rozwiązanie tego warunku zdający
otrzymuje 3 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze nierówność 𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 𝑥3
2 -5𝑚-51 w postaci
𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅4 > 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 42 -5𝑚-51 (lub równoważnej).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy doprowadzi nierówność 𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅4 > 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 42 -5𝑚-51 do postaci nierówności
z jedną niewiadomą 𝑚, np. -[-(𝑚-3)]2 + 6 ⋅(𝑚2 -𝑚-6) + 5𝑚+ 35 > 0.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy wyznaczy te wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których spełniony jest warunek
𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 𝑥3
2 -5𝑚-51: 𝑚∈(-∞, -2) ∪(1, +∞).
Trzeci etap
polega na wyznaczeniu tych wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których spełnione są
jednocześnie wszystkie trzy warunki: Δ > 0 i 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0 i
𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 𝑥3
2 -5𝑚-51. Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający
otrzymuje 1 punkt.
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy poprawnie wyznaczy te wszystkie wartości parametru 𝑚, które spełniają jednocześnie
warunki Δ > 0 i 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0, i
𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 𝑥3
2 -5𝑚-51: 𝑚∈(-11
3 , -3-√17
2
) ∪(-3-√17
2
, -2) ∪(1, 3).
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający, rozwiązując warunek 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0, popełnia
\n

tylko błędy rachunkowe i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać
co najwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający nie rozważa warunku 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0, to może
\n

otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
W pierwszym etapie wyznaczamy wartości parametru 𝑚, dla których trójmian kwadratowy
𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, z których każdy jest
różny od 4.
W drugim etapie wyznaczamy te wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony
warunek 𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 𝑥3
2 -5𝑚-51.
W trzecim etapie wyznaczamy (na podstawie wyników uzyskanych w etapach I i II) te
wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie
(𝑥-4)[𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6] = 0
ma trzy różne rozwiązania spełniające warunek 𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 𝑥3
2 -5𝑚-51.
I etap
Zauważmy, że liczba 4 jest rozwiązaniem równania
(𝑥-4)[𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6] = 0
(1)
z niewiadomą 𝑥 i parametrem 𝑚. Zatem równanie (1) ma trzy różne rozwiązania
rzeczywiste tylko wtedy, gdy równanie
𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6 = 0
(2)
z niewiadomą 𝑥 i parametrem 𝑚 ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste, z których
każde jest różne od 4, tj. tylko wtedy, gdy
Δ > 0 i 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0
gdzie Δ jest wyróżnikiem trójmianu kwadratowego 𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6.
Rozwiązujemy warunek Δ > 0:
(𝑚-3)2 -4 ⋅1 ⋅(𝑚2 -𝑚-6) > 0
-3𝑚2 -2𝑚+ 33 > 0
(𝑚-3)(-3𝑚-11) > 0
𝑚∈(-11
3 , 3)
Rozwiązujemy warunek 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0:
𝑚2 + 3𝑚-2 ≠0
𝑚≠-3 -√17
2
i 𝑚≠-3 + √17
2
II etap
Wyznaczamy te wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których spełniony jest warunek
𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 𝑥3
2 -5𝑚-51
gdzie 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 są rozwiązaniami równania (1).
Ponieważ liczba 4 jest rozwiązaniem równania (1), więc przyjmujemy 𝑥3 = 4
i rozwiązujemy warunek
𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅4 > 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 42 -5𝑚-51
gdzie 𝑥1, 𝑥2 są pierwiastkami równania (2), korzystając ze wzorów Viète’a:
𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅4 > 𝑥1
2 + 𝑥2
2 + 42 -5𝑚-51
4𝑥1 ⋅𝑥2 > (𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2 -5𝑚-35
-(𝑥1 + 𝑥2)2 + 6𝑥1 ⋅𝑥2 + 5𝑚+ 35 > 0
-[-(𝑚-3)]2 + 6 ⋅(𝑚2 -𝑚-6) + 5𝑚+ 35 > 0
5𝑚2 + 5𝑚-10 > 0
Zasady oceniania rozwiązań zadań
5(𝑚-1)(𝑚+ 2) > 0
𝑚∈(-∞, -2) ∪(1, +∞)
III etap
Wyznaczamy te wszystkie wartości 𝑚, które spełniają jednocześnie następujące trzy
warunki:
• 𝑚∈(-11
3 , 3)
𝑚≠-3-√17
2
i 𝑚≠-3+√17
2
𝑚∈(-∞, -2) ∪(1, +∞)
Odpowiedź: 𝑚∈(-11
3 , -3-√17
2
) ∪(-3-√17
2
, -2) ∪(1, 3).

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$m \\in \\left(-\\dfrac{11}{3}, \\dfrac{-3-\\sqrt{17}}{2}\\right) \\cup \\left(\\dfrac{-3-\\sqrt{17}}{2}, -2\\right) \\cup (1, 3)$

"}]}