Zadanie 14. (0-6)
Dane są okrąg 𝑜1 o równaniu (𝑥-6)2 + (𝑦-4)2 = 98 oraz okrąg 𝑜2 o promieniu 2√5.
Środki okręgów 𝑜1 i 𝑜2 leżą po różnych stronach prostej 𝑘 o równaniu 𝑦= -3𝑥-6, a punkty
wspólne obu okręgów leżą na prostej 𝑘. Wyznacz równanie okręgu 𝑜2.
EMAP-R0_100
\nEMAP-R0_100
Dane są okrąg o_1 o równaniu (x-6)² + (y-4)² = 98 oraz okrąg o_2 o promieniu 2√5. Środki okręgów o_1 i o_2 leżą po różnych stronach prostej k o równaniu y=-3x-6, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej k. Wyznacz równanie okręgu o_2.
Zadanie 14. (0-6)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
R8.1) oblicza odległość punktu od prostej;
R8.2) posługuje się równaniem okręgu
(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2 oraz opisuje
koła za pomocą nierówności;
R8.3) wyznacza punkty wspólne prostej
i okręgu.
Zasady oceniania dla sposobu 1.
Rozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap
polega na obliczeniu współrzędnych jednego z punktów wspólnych okręgu 𝑜1 i prostej 𝑘
oraz wyznaczeniu równania prostej przechodzącej przez środki okręgów 𝑜1 i 𝑜2.
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.
Podział punktów za pierwszy etap rozwiązania:
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy obliczy współrzędne jednego z punktów wspólnych okręgu 𝑜1 i prostej 𝑘:
𝐴= (-19
5 , 27
5 ) albo 𝐵= (-1, -3).
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez środki okręgów 𝑜1 i 𝑜2: 𝑦= 1
3 𝑥+ 2.
Drugi etap
polega na wyznaczeniu równania okręgu 𝑜2 . Za tę część rozwiązania zdający może
otrzymać 4 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy uzależni współrzędne środka 𝑆2 okręgu 𝑜2 od jednej niewiadomej, np.
𝑆2 = (𝑎, 1
3 𝑎+ 2).
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą prowadzące do obliczenia współrzędnych środka
okręgu 𝑜2 , np.
√(𝑎-(-1))
2 + (1
3 𝑎+ 2 -(-3))
2
= 2√5.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy obliczy współrzędne środka 𝑆2 okręgu 𝑜2: 𝑆2 = (-3, 1).
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy zapisze równanie okręgu 𝑜2, np. (𝑥+ 3)2 + (𝑦-1)2 = 20.
Uwaga:
Jeżeli zdający nie odrzuci współrzędnych środka okręgu 𝑜2, które nie spełniają warunków
zadania i poda dwa równania okręgów, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej
5 punktów.
Zasady oceniania dla sposobu 2.
Rozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap
polega na obliczeniu współrzędnych punktów wspólnych 𝐴 i 𝐵 okręgu 𝑜1 i prostej 𝑘 oraz
zapisaniu układu równań, w którym niewiadomymi są współrzędne środka okręgu 𝑜2.
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.
Podział punktów za pierwszy etap rozwiązania:
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy obliczy współrzędne punktu jednego z punktów: 𝐴= (-19
5 , 27
5 ) lub 𝐵= (-1, -3).
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze układ równań, w których niewiadomymi są współrzędne 𝑎 i 𝑏 środka
okręgu 𝑜2, np.
{
(𝑎-(-1))2 + (𝑏-(-3))2 = (2√5)
2
(𝑎-(-19
5 ))
2
5 )
2
= (2√5)
2
Drugi etap
polega na wyznaczeniu równania okręgu 𝑜2 . Za tę część rozwiązania zdający może
otrzymać 4 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze zależność liniową między współrzędnymi 𝑎 i 𝑏 środka okręgu 𝑜2, np.
𝑎= 3𝑏-6.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą (𝑎 lub 𝑏) prowadzące do obliczenia
współrzędnych środka okręgu 𝑜2 , np.
(3𝑏-6)2 + 𝑏2 = -2(3𝑏-6) -6𝑏+ 10.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy obliczy współrzędne środka 𝑆2 okręgu 𝑜2: 𝑆2 = (-3, 1).
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy zapisze równanie okręgu 𝑜2, np. (𝑥+ 3)2 + (𝑦-1)2 = 20.
Uwaga:
Jeżeli zdający nie odrzuci współrzędnych środka okręgu 𝑜2, które nie spełniają warunków
zadania i poda dwa równania okręgów, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej
5 punktów.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Rozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.
I etap
Obliczamy współrzędne punktów 𝐴 oraz 𝐵 przecięcia okręgu 𝑜1 i prostej 𝑘, rozwiązując
układ równań { (𝑥-6)2 + (𝑦-4)2 = 98
𝑦= -3𝑥-6
Po podstawieniu do równania (𝑥-6)2 + (𝑦-4)2 = 98 w miejsce 𝑦 wyrażenia -3𝑥-6
otrzymujemy
(𝑥-6)2 + (-3𝑥-6 -4)2 = 98
(𝑥-6)2 + (-3𝑥-10)2 = 98
𝑥2 -12𝑥+ 36 + 9𝑥2 + 60𝑥+ 100 = 98
10𝑥2 + 48𝑥+ 38 = 0
5𝑥2 + 24𝑥+ 19 = 0
Δ = 242 -4 ⋅5 ⋅19 = 196
𝑥= -19
5 lub 𝑥= -1
Gdy 𝑥= -19
5 , to 𝑦= -3𝑥-6 = -3 ⋅(-19
5 ) -6 = 27
5 .
Gdy 𝑥= -1 , to 𝑦= -3𝑥-6 = -3 ⋅(-1) -6 = -3.
Zatem punkty przecięcia okręgów mają współrzędne: 𝐴= (-19
5 , 27
5 ), 𝐵= (-1, -3).
Oznaczmy przez 𝑙 prostą, która przechodzi przez środki okręgów 𝑜1 i 𝑜2. Niech
𝑦= 𝑐𝑥+ 𝑑 będzie równaniem kierunkowym tej prostej. Wyznaczamy równanie prostej 𝑙.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Prosta 𝑙 jest prostopadła do 𝑘, więc 𝑐= 1
3 . Ponieważ środek okręgu 𝑜1 leży na
prostej 𝑙, więc 4 = 1
3 ⋅6 + 𝑑. Stąd 𝑑= 2 i prosta 𝑙 ma równanie 𝑦= 1
3 𝑥+ 2.
II etap
Niech 𝑆2 = (𝑎, 𝑏) będzie środkiem okręgu 𝑜2. Punkt 𝑆2 leży na prostej 𝑙, więc
𝑆2 = (𝑎, 1
3 𝑎+ 2). Ponieważ |𝐵𝑆2| = 2√5, więc
√(𝑎-(-1))
2 + (1
3 𝑎+ 2 -(-3))
2
= 2√5
Stąd dalej otrzymujemy
(𝑎+ 1)2 + (1
3 𝑎+ 5)
2
= (2√5)
2
𝑎2 + 2𝑎+ 1 + 1
9 𝑎2 + 10
3 𝑎+ 25 = 20
10
9 𝑎2 + 16
3 𝑎+ 6 = 0
5𝑎2 + 24𝑎+ 27 = 0
𝑎= -3 lub 𝑎= -9
5
Gdy 𝑎= -3, to 𝑏= 1
3 𝑎+ 2 = 1.
Gdy 𝑎= -9
5 , to 𝑏= 1
3 𝑎+ 2 = 7
5 . Punkt (-9
5 , 7
Zatem 𝑆2 = (-3, 1).
Okrąg 𝑜2 ma równanie (𝑥+ 3)2 + (𝑦-1)2 = 20.
Sposób 2.
Rozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.
I etap
Obliczamy współrzędne punktów 𝐴 oraz 𝐵 przecięcia okręgu 𝑜1 i prostej 𝑘, rozwiązując
układ równań { (𝑥-6)2 + (𝑦-4)2 = 98
𝑦= -3𝑥-6
Po podstawieniu do równania (𝑥-6)2 + (𝑦-4)2 = 98 w miejsce 𝑦 wyrażenia -3𝑥-6
otrzymujemy
(𝑥-6)2 + (-3𝑥-6 -4)2 = 98
(𝑥-6)2 + (-3𝑥-10)2 = 98
𝑥2 -12𝑥+ 36 + 9𝑥2 + 60𝑥+ 100 = 98
10𝑥2 + 48𝑥+ 38 = 0
5𝑥2 + 24𝑥+ 19 = 0
Δ = 242 -4 ⋅5 ⋅19 = 196
𝑥= -19
5 lub 𝑥= -1
Gdy 𝑥= -19
5 , to 𝑦= -3𝑥-6 = -3 ⋅(-19
5 ) -6 = 27
5 .
Gdy 𝑥= -1 , to 𝑦= -3𝑥-6 = -3 ⋅(-1) -6 = -3.
Zatem punkty przecięcia okręgów mają współrzędne: 𝐴= (-19
5 , 27
5 ), 𝐵= (-1, -3).
Niech 𝑆2 = (𝑎, 𝑏) będzie środkiem okręgu 𝑜2. Ponieważ punkty 𝐴= (-19
5 , 27
5 ) oraz
𝐵= (-1, -3) należą do okręgu 𝑜2 o promieniu 2√5, więc
{
(𝑎-(-1))2 + (𝑏-(-3))2 = (2√5)
2
(𝑎-(-19
5 ))
2
5 )
2
= (2√5)
2
II etap
Obliczamy współrzędne środka okręgu 𝑜2, rozwiązując układ równań
{
(𝑎+ 1)2 + (𝑏+ 3)2 = (2√5)
2
(𝑎+ 19
5 )
2
5 )
2
= (2√5)
2
{
𝑎2 + 2𝑎+ 1 + 𝑏2 + 6𝑏+ 9 = 20
𝑎2 + 38
5 𝑎+ 361
25 + 𝑏2 -54
5 𝑏+ 729
25 = 20
{
𝑎2 + 𝑏2 = -2𝑎-6𝑏+ 10
𝑎2 + 𝑏2 + 38
5 𝑎-54
5 𝑏= -590
25
Po zastąpieniu w równaniu 𝑎2 + 38
5 𝑎+ 361
25 + 𝑏2 -34
5 𝑏+ 729
25 = 20 wyrażenia 𝑎2 + 𝑏2
przez wyrażenie -2𝑎-6𝑏+ 10 otrzymujemy dalej
{
𝑎2 + 𝑏2 = -2𝑎-6𝑏+ 10
-2𝑎-6𝑏+ 10 + 38
5 𝑎-54
5 𝑏= -590
25
{
𝑎2 + 𝑏2 = -2𝑎-6𝑏+ 10
28
5 𝑎-84
5 𝑏= -840
25
{ 𝑎2 + 𝑏2 = -2𝑎-6𝑏+ 10
𝑎= 3𝑏-6
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Po podstawieniu do równania 𝑎2 + 𝑏2 = -2𝑎-6𝑏+ 10 w miejsce 𝑎 wyrażenia 3𝑏-6
otrzymujemy
(3𝑏-6)2 + 𝑏2 = -2(3𝑏-6) -6𝑏+ 10
9𝑏2 -36𝑏+ 36 + 𝑏2 = -6𝑏+ 12 -6𝑏+ 10
10𝑏2 -24𝑏+ 14 = 0
Δ = (-24)2 -4 ⋅10 ⋅14 = 16
𝑏= 1 lub 𝑏= 7
5
Gdy 𝑏= 1, to 𝑎= -3.
Gdy 𝑏= 7
5 , to 𝑎= -9
5 . Punkt (-9
5 , 7
Zatem 𝑆2 = (-3, 1).
Okrąg 𝑜2 ma równanie (𝑥+ 3)2 + (𝑦-1)2 = 20.
$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 20$
"}]}