{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 takich, że\n𝑥≠𝑦, spełniona jest nierówność\n𝑥4 + 𝑦4 > 𝑥𝑦(𝑥2 + 𝑦2)\n\nEMAP-R0_100\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x≠y, spełniona jest nierówność x^4 + y^4 > xy(x^2+y^2)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nR2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)3 oraz 𝑎3 ± 𝑏3;\nR2.3) rozkłada wielomian na czynniki,\nstosując wzory skróconego mnożenia lub\nwyłączając wspólny czynnik przed nawias.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p\ngdy przekształci nierówność do postaci (𝑥-𝑦)(𝑥3 -𝑦3) > 0.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZdający otrzymuje 2 p\ngdy:\nprzekształci nierówność do postaci (𝑥-𝑦)2(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) > 0\nALBO\nprzekształci nierówność do postaci (𝑥-𝑦)(𝑥3 -𝑦3) > 0 oraz rozpatrzy i uzasadni\nprawdziwość tej nierówności dla jednego z przypadków: 𝑥< 𝑦 albo 𝑥> 𝑦.\nZdający otrzymuje 3 p\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy nierówność równoważnie w następujący sposób:\n𝑥4 + 𝑦4 > 𝑥𝑦(𝑥2 + 𝑦2)\n𝑥4 + 𝑦4 > 𝑥3𝑦+ 𝑥𝑦3\n𝑥4 -𝑥3𝑦+ 𝑦4 -𝑥𝑦3 > 0\n𝑥3(𝑥-𝑦) + 𝑦3(𝑦-𝑥) > 0\n𝑥3(𝑥-𝑦) -𝑦3(𝑥-𝑦) > 0\n(𝑥-𝑦)(𝑥3 -𝑦3) > 0\n(𝑥-𝑦)(𝑥-𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) > 0\n(𝑥-𝑦)2(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) > 0\nZ założenia 𝑥≠𝑦, więc wyrażenie (𝑥-𝑦)2 jest dodatnie jako kwadrat liczby różnej od\nzera. Wyrażenie 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i każdej liczby\nrzeczywistej 𝑦 takiej, że 𝑥≠𝑦. Zatem lewa strona nierówności\n(𝑥-𝑦)2(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) > 0 jest iloczynem czynników dodatnich, więc iloczyn ten jest\ndodatni. To kończy dowód.\nUwaga:\nPrawdziwość nierówności 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 > 0 dla każdych liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦\ntakich, że 𝑥≠𝑦 możemy wykazać następująco.\nGdy 𝑥 i 𝑦 są jednocześnie liczbami różnymi od zera, to wobec tożsamości\n𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 = (𝑥-𝑦)2 + 3𝑥𝑦= (𝑥+ 𝑦)2 + (-𝑥𝑦) liczbę 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 można\nprzedstawić jako sumę liczby nieujemnej i liczby dodatniej. Zatem 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 > 0.\nGdy dokładnie jedna z liczb 𝑥, 𝑦 jest zerem (przyjmijmy, że 𝑥), to wtedy\n𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 = 𝑦2 więc liczba 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 jest dodatnia jako kwadrat liczby różnej od\nzera.\nPrawdziwość nierówności 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 > 0 dla każdych liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦\ntakich, że 𝑥≠𝑦 możemy również wykazać poprzez badanie funkcji kwadratowej\n𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 zmiennej rzeczywistej 𝑥 z parametrem 𝑦.","solution":null,"image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 takich, że
𝑥≠𝑦, spełniona jest nierówność
𝑥4 + 𝑦4 > 𝑥𝑦(𝑥2 + 𝑦2)

\n

EMAP-R0_100
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x≠y, spełniona jest nierówność x^4 + y^4 > xy(x^2+y^2)

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:
R2.1) używa wzorów skróconego mnożenia
na (𝑎± 𝑏)3 oraz 𝑎3 ± 𝑏3;
R2.3) rozkłada wielomian na czynniki,
stosując wzory skróconego mnożenia lub
wyłączając wspólny czynnik przed nawias.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p
gdy przekształci nierówność do postaci (𝑥-𝑦)(𝑥3 -𝑦3) > 0.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zdający otrzymuje 2 p
gdy:
przekształci nierówność do postaci (𝑥-𝑦)2(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) > 0
ALBO
przekształci nierówność do postaci (𝑥-𝑦)(𝑥3 -𝑦3) > 0 oraz rozpatrzy i uzasadni
prawdziwość tej nierówności dla jednego z przypadków: 𝑥< 𝑦 albo 𝑥> 𝑦.
Zdający otrzymuje 3 p
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przekształcamy nierówność równoważnie w następujący sposób:
𝑥4 + 𝑦4 > 𝑥𝑦(𝑥2 + 𝑦2)
𝑥4 + 𝑦4 > 𝑥3𝑦+ 𝑥𝑦3
𝑥4 -𝑥3𝑦+ 𝑦4 -𝑥𝑦3 > 0
𝑥3(𝑥-𝑦) + 𝑦3(𝑦-𝑥) > 0
𝑥3(𝑥-𝑦) -𝑦3(𝑥-𝑦) > 0
(𝑥-𝑦)(𝑥3 -𝑦3) > 0
(𝑥-𝑦)(𝑥-𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) > 0
(𝑥-𝑦)2(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) > 0
Z założenia 𝑥≠𝑦, więc wyrażenie (𝑥-𝑦)2 jest dodatnie jako kwadrat liczby różnej od
zera. Wyrażenie 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i każdej liczby
rzeczywistej 𝑦 takiej, że 𝑥≠𝑦. Zatem lewa strona nierówności
(𝑥-𝑦)2(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) > 0 jest iloczynem czynników dodatnich, więc iloczyn ten jest
dodatni. To kończy dowód.
Uwaga:
Prawdziwość nierówności 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 > 0 dla każdych liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦
takich, że 𝑥≠𝑦 możemy wykazać następująco.
Gdy 𝑥 i 𝑦 są jednocześnie liczbami różnymi od zera, to wobec tożsamości
𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 = (𝑥-𝑦)2 + 3𝑥𝑦= (𝑥+ 𝑦)2 + (-𝑥𝑦) liczbę 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 można
przedstawić jako sumę liczby nieujemnej i liczby dodatniej. Zatem 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 > 0.
Gdy dokładnie jedna z liczb 𝑥, 𝑦 jest zerem (przyjmijmy, że 𝑥), to wtedy
𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 = 𝑦2 więc liczba 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 jest dodatnia jako kwadrat liczby różnej od
zera.
Prawdziwość nierówności 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 > 0 dla każdych liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦
takich, że 𝑥≠𝑦 możemy również wykazać poprzez badanie funkcji kwadratowej
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 zmiennej rzeczywistej 𝑥 z parametrem 𝑦.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg"}]}