{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nOblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują\ndokładnie dwie cyfry nieparzyste.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nOblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nR10.1) wykorzystuje wzory na liczbę\npermutacji, kombinacji, wariacji i wariacji\nz powtórzeniami do zliczania obiektów\nw sytuacjach kombinatorycznych.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy spełni jeden z poniższych czterech warunków:\n1) zapisze liczbę wszystkich rozpatrywanych liczb pięciocyfrowych, w których pierwsza\ncyfra jest nieparzysta: 5 ∙4 ∙5 ∙53,\n2) zapisze liczbę wszystkich rozpatrywanych liczb pięciocyfrowych, w których pierwsza\ncyfra jest parzysta: 4 ∙(4\n2) ∙52 ∙52,\n3) zapisze liczbę wszystkich ciągów pięciowyrazowych, których wyrazami są elementy\nzbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} oraz dokładnie dwa wyrazy są cyframi nieparzystymi:\n(5\n2) ∙52 ∙53,\n4) zapisze liczbę wszystkich ciągów pięciowyrazowych, których wyrazami są elementy\nzbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i pierwszym wyrazem jest cyfra 0: (4\n2) ∙52 ∙52.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\nspełni warunki 1) oraz 2) określone w zasadach oceniania za 1 pkt\nALBO\nspełni warunki 3) oraz 4) określone w zasadach oceniania za 1 pkt.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: 27500.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nRozpatrujemy dwa przypadki.\nPrzypadek 1. (pierwsza cyfra jest nieparzysta).\nJeśli pierwszą cyfrą jest cyfra nieparzysta, którą możemy wybrać na 5 sposobów, to\nz czterech pozostałych miejsc wybieramy jedno, na które wstawiamy cyfrę nieparzystą.\nMożemy to zrobić na 4 ⋅5 sposobów. Na pozostałych trzech miejscach umieszczamy cyfry\nparzyste na 53 sposobów. Liczba wszystkich utworzonych w ten sposób liczb\npięciocyfrowych jest równa 5 ∙4 ∙5 ∙53 = 4 ∙55 = 12500.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzypadek 2. (pierwsza cyfra jest parzysta).\nJeśli pierwszą cyfrą jest cyfra parzysta, którą możemy wybrać na 4 sposoby, to z czterech\npozostałych miejsc wybieramy dwa, na które wstawiamy cyfry nieparzyste. Możemy to zrobić\nna (4\n2) ⋅52 sposobów. Na pozostałych dwóch miejscach umieszczamy cyfry parzyste na\n52 sposobów. Liczba wszystkich utworzonych w ten sposób liczb pięciocyfrowych jest równa\n4 ∙(4\n2) ∙52 ∙52 = 24 ∙54 = 15000.\nZatem wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych spełniających podane w zadaniu\nwarunki jest 12500 + 15000 = 27500.\nSposób 2.\nObliczamy liczbę wszystkich takich ciągów pięciowyrazowych, których wyrazami są elementy\nzbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} oraz dokładnie dwa wyrazy to cyfry nieparzyste, a trzy\npozostałe to cyfry parzyste. Wszystkich takich ciągów jest (5\n2) ∙52 ∙53 = (5\n2) ∙55 = 31250.\nWśród nich są ciągi, w których pierwszym wyrazem jest 0 - takich ciągów jest (4\n2) ∙52 ∙\n52 = (4\n2) ∙54 = 3750. Pozostałe ciągi reprezentują rozpatrywane liczby pięciocyfrowe,\nw których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste\nZatem wszystkich naturalnych liczb pięciocyfrowych spełniających podane w zadaniu\nwarunki jest 31250 -3750 = 27500.","solution":"$27500$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-3)<br>Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują<br>dokładnie dwie cyfry nieparzyste.</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>R10.1) wykorzystuje wzory na liczbę<br>permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji<br>z powtórzeniami do zliczania obiektów<br>w sytuacjach kombinatorycznych.<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy spełni jeden z poniższych czterech warunków:</p>\n<ol><li>zapisze liczbę wszystkich rozpatrywanych liczb pięciocyfrowych, w których pierwsza</li></ol>\n<p>cyfra jest nieparzysta: 5 ∙4 ∙5 ∙53,</p>\n<ol><li>zapisze liczbę wszystkich rozpatrywanych liczb pięciocyfrowych, w których pierwsza</li></ol>\n<p>cyfra jest parzysta: 4 ∙(4</p>\n<ol><li>∙52 ∙52,</li><li>zapisze liczbę wszystkich ciągów pięciowyrazowych, których wyrazami są elementy</li></ol>\n<p>zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} oraz dokładnie dwa wyrazy są cyframi nieparzystymi:<br>(5</p>\n<ol><li>∙52 ∙53,</li><li>zapisze liczbę wszystkich ciągów pięciowyrazowych, których wyrazami są elementy</li></ol>\n<p>zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i pierwszym wyrazem jest cyfra 0: (4</p>\n<ol><li>∙52 ∙52.</li></ol>\n<p>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy:<br>spełni warunki 1) oraz 2) określone w zasadach oceniania za 1 pkt<br>ALBO<br>spełni warunki 3) oraz 4) określone w zasadach oceniania za 1 pkt.<br>Zdający otrzymuje 3 p.<br>gdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: 27500.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Rozpatrujemy dwa przypadki.<br>Przypadek 1. (pierwsza cyfra jest nieparzysta).<br>Jeśli pierwszą cyfrą jest cyfra nieparzysta, którą możemy wybrać na 5 sposobów, to<br>z czterech pozostałych miejsc wybieramy jedno, na które wstawiamy cyfrę nieparzystą.<br>Możemy to zrobić na 4 ⋅5 sposobów. Na pozostałych trzech miejscach umieszczamy cyfry<br>parzyste na 53 sposobów. Liczba wszystkich utworzonych w ten sposób liczb<br>pięciocyfrowych jest równa 5 ∙4 ∙5 ∙53 = 4 ∙55 = 12500.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przypadek 2. (pierwsza cyfra jest parzysta).<br>Jeśli pierwszą cyfrą jest cyfra parzysta, którą możemy wybrać na 4 sposoby, to z czterech<br>pozostałych miejsc wybieramy dwa, na które wstawiamy cyfry nieparzyste. Możemy to zrobić<br>na (4</p>\n<ol><li>⋅52 sposobów. Na pozostałych dwóch miejscach umieszczamy cyfry parzyste na</li></ol>\n<p>52 sposobów. Liczba wszystkich utworzonych w ten sposób liczb pięciocyfrowych jest równa<br>4 ∙(4</p>\n<ol><li>∙52 ∙52 = 24 ∙54 = 15000.</li></ol>\n<p>Zatem wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych spełniających podane w zadaniu<br>warunki jest 12500 + 15000 = 27500.<br>Sposób 2.<br>Obliczamy liczbę wszystkich takich ciągów pięciowyrazowych, których wyrazami są elementy<br>zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} oraz dokładnie dwa wyrazy to cyfry nieparzyste, a trzy<br>pozostałe to cyfry parzyste. Wszystkich takich ciągów jest (5</p>\n<ol><li>∙52 ∙53 = (5</li><li>∙55 = 31250.</li></ol>\n<p>Wśród nich są ciągi, w których pierwszym wyrazem jest 0 - takich ciągów jest (4</p>\n<ol><li>∙52 ∙</li></ol>\n<p>52 = (4</p>\n<ol><li>∙54 = 3750. Pozostałe ciągi reprezentują rozpatrywane liczby pięciocyfrowe,</li></ol>\n<p>w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste<br>Zatem wszystkich naturalnych liczb pięciocyfrowych spełniających podane w zadaniu<br>warunki jest 31250 -3750 = 27500.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$27500$</p>"}]}