{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nRozwiąż nierówność\n3𝑥+ 1\n2𝑥+ 1 ≤3𝑥+ 4\n2𝑥+ 3\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nRozwiąż nierówność 3x+1/2x+1 ≤ 3x+4/2x+3.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR3.7) rozwiązuje proste nierówności\nwymierne […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nprzekształci nierówność 3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3 do postaci\n(3𝑥+1)⋅(2𝑥+3)-(3𝑥+4)(2𝑥+1)\n(2𝑥+1)⋅(2𝑥+3)\n≤0\nALBO\nprzekształci nierówność 3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3 , mnożąc obie strony tej nierówności przez\niloczyn (2𝑥+ 1)2(2𝑥+ 3)2 , do postaci\n(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)2 -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 3)(2𝑥+ 1)2 ≤0\ngdzie 𝑥≠-3\n2 i 𝑥≠-1\n2 ,\nALBO\nprzyjmie, że 𝑥∈(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞) i przekształci nierówność 3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3\n{mnożąc obie strony nierówności przez iloczyn (2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) } do postaci\n(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1)\nALBO\nprzyjmie, że 𝑥∈(-3\n2 , -1\n2) i przekształci nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 {mnożąc obie\nstrony nierówności przez iloczyn (2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) } do postaci\n(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≥(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1)\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\nprzekształci nierówność 3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3 do postaci iloczynowej, np.\n(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≥0, gdzie 𝑥≠-1\n2 i 𝑥≠-3\n2\nALBO\nrozwiąże nierówność (3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1) w zbiorze\n(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞) i zapisze, że każda liczba z tego zbioru spełnia nierówność\n(lub zapisze 𝑥∈(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞)),\nALBO\nrozwiąże nierówność (3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1) w przedziale\n(-3\n2 , -1\n2) i zapisze, że w tym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania nierówności i otrzyma poprawny wynik:\n𝑥∈(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞).\nUwagi:\n1. Jeśli zdający mnoży obie strony nierówności przez iloczyn mianowników bez rozpatrzenia\nznaków tego iloczynu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający nie wyłączy ze zbioru rozwiązań nierówności liczb 𝑥= -3\n2 i 𝑥= -1\n2 , to\notrzymuje za całe rozwiązanie co najwyżej 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZakładamy, że 𝑥≠-1\n2 i 𝑥≠-3\n2 . Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n3𝑥+ 1\n2𝑥+ 1 -3𝑥+ 4\n2𝑥+ 3 ≤0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1)\n(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)\n≤0\n-1\n(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤0\nStąd dostajemy\n4 (𝑥+ 1\n2) (𝑥+ 3\n2) ≥0 i 𝑥≠-1\n2 i 𝑥≠-3\n2\nZatem 𝑥∈(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞).\nSposób 2.\nZakładamy, że 𝑥≠-1\n2 i 𝑥≠-3\n2 . Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n3𝑥+ 1\n2𝑥+ 1 -3𝑥+ 4\n2𝑥+ 3 ≤0 /∙(2𝑥+ 1)2(2𝑥+ 3)2\n(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)2 -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 3)(2𝑥+ 1)2 ≤0\n(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)[(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1)] ≤0\n-(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤0 i 𝑥≠-1\n2 i 𝑥≠-3\n2\nZatem 𝑥∈(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞).\nSposób 3.\n1. Rozwiązujemy nierówność 3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3 w zbiorze (-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞).\nPrzekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n3𝑥+ 1\n2𝑥+ 1 -3𝑥+ 4\n2𝑥+ 3 ≤0 /∙(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)\n(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1) ≤0\n-1 ≤0\nZatem dla każdego 𝑥∈(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞) nierówność 3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3 jest\nprawdziwa.\n2. Rozwiązujemy nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 w zbiorze (-3\n2 , -1\n2).\nPrzekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n3𝑥+ 1\n2𝑥+ 1 -3𝑥+ 4\n2𝑥+ 3 ≤0 /∙(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)\n(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1) ≥0\n-1 ≥0\nNierówność -1 ≥0 jest sprzeczna, więc w przedziale (-3\n2 , -1\n2) nierówność\n3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3 nie ma żadnych rozwiązań.\nOstatecznie zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3 jest\n(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{2}\\right) \\cup \\left(-\\dfrac{1}{2}, +\\infty\\right)$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-3)<br>Rozwiąż nierówność<br>3𝑥+ 1<br>2𝑥+ 1 ≤3𝑥+ 4<br>2𝑥+ 3</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Rozwiąż nierówność 3x+1/2x+1 ≤ 3x+4/2x+3.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>R3.7) rozwiązuje proste nierówności<br>wymierne […].<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy:<br>przekształci nierówność 3𝑥+1<br>2𝑥+1 ≤3𝑥+4<br>2𝑥+3 do postaci<br>(3𝑥+1)⋅(2𝑥+3)-(3𝑥+4)(2𝑥+1)<br>(2𝑥+1)⋅(2𝑥+3)<br>≤0<br>ALBO<br>przekształci nierówność 3𝑥+1<br>2𝑥+1 ≤3𝑥+4<br>2𝑥+3 , mnożąc obie strony tej nierówności przez<br>iloczyn (2𝑥+ 1)2(2𝑥+ 3)2 , do postaci<br>(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)2 -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 3)(2𝑥+ 1)2 ≤0<br>gdzie 𝑥≠-3<br>2 i 𝑥≠-1<br>2 ,<br>ALBO<br>przyjmie, że 𝑥∈(-∞, -3</p>\n<ol><li>∪(-1</li></ol>\n<p>2 , +∞) i przekształci nierówność 3𝑥+1<br>2𝑥+1 ≤3𝑥+4<br>2𝑥+3<br>{mnożąc obie strony nierówności przez iloczyn (2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) } do postaci<br>(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1)<br>ALBO<br>przyjmie, że 𝑥∈(-3<br>2 , -1</p>\n<ol><li>i przekształci nierówność 2𝑥-1</li></ol>\n<p>1-𝑥≤2+2𝑥<br>5𝑥 {mnożąc obie<br>strony nierówności przez iloczyn (2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) } do postaci<br>(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≥(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1)<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy:<br>przekształci nierówność 3𝑥+1<br>2𝑥+1 ≤3𝑥+4<br>2𝑥+3 do postaci iloczynowej, np.<br>(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≥0, gdzie 𝑥≠-1<br>2 i 𝑥≠-3<br>2<br>ALBO<br>rozwiąże nierówność (3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1) w zbiorze<br>(-∞, -3</p>\n<ol><li>∪(-1</li></ol>\n<p>2 , +∞) i zapisze, że każda liczba z tego zbioru spełnia nierówność<br>(lub zapisze 𝑥∈(-∞, -3</p>\n<ol><li>∪(-1</li></ol>\n<p>2 , +∞)),<br>ALBO<br>rozwiąże nierówność (3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1) w przedziale<br>(-3<br>2 , -1</p>\n<ol><li>i zapisze, że w tym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.</li></ol>\n<p>Zdający otrzymuje 3 p.<br>gdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania nierówności i otrzyma poprawny wynik:<br>𝑥∈(-∞, -3</p>\n<ol><li>∪(-1</li></ol>\n<p>2 , +∞).<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeśli zdający mnoży obie strony nierówności przez iloczyn mianowników bez rozpatrzenia</li></ol>\n<p>znaków tego iloczynu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający nie wyłączy ze zbioru rozwiązań nierówności liczb 𝑥= -3</li></ol>\n<p>2 i 𝑥= -1<br>2 , to<br>otrzymuje za całe rozwiązanie co najwyżej 2 punkty.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Zakładamy, że 𝑥≠-1<br>2 i 𝑥≠-3<br>2 . Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:<br>3𝑥+ 1<br>2𝑥+ 1 -3𝑥+ 4<br>2𝑥+ 3 ≤0<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1)<br>(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)<br>≤0<br>-1<br>(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤0<br>Stąd dostajemy<br>4 (𝑥+ 1</p>\n<ol><li>(𝑥+ 3</li><li>≥0 i 𝑥≠-1</li></ol>\n<p>2 i 𝑥≠-3<br>2<br>Zatem 𝑥∈(-∞, -3</p>\n<ol><li>∪(-1</li></ol>\n<p>2 , +∞).<br>Sposób 2.<br>Zakładamy, że 𝑥≠-1<br>2 i 𝑥≠-3<br>2 . Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:<br>3𝑥+ 1<br>2𝑥+ 1 -3𝑥+ 4<br>2𝑥+ 3 ≤0 /∙(2𝑥+ 1)2(2𝑥+ 3)2<br>(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)2 -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 3)(2𝑥+ 1)2 ≤0<br>(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)[(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1)] ≤0<br>-(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤0 i 𝑥≠-1<br>2 i 𝑥≠-3<br>2<br>Zatem 𝑥∈(-∞, -3</p>\n<ol><li>∪(-1</li></ol>\n<p>2 , +∞).<br>Sposób 3.</p>\n<ol><li>Rozwiązujemy nierówność 3𝑥+1</li></ol>\n<p>2𝑥+1 ≤3𝑥+4<br>2𝑥+3 w zbiorze (-∞, -3</p>\n<ol><li>∪(-1</li></ol>\n<p>2 , +∞).<br>Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:<br>3𝑥+ 1<br>2𝑥+ 1 -3𝑥+ 4<br>2𝑥+ 3 ≤0 /∙(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)<br>(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1) ≤0<br>-1 ≤0<br>Zatem dla każdego 𝑥∈(-∞, -3</p>\n<ol><li>∪(-1</li></ol>\n<p>2 , +∞) nierówność 3𝑥+1<br>2𝑥+1 ≤3𝑥+4<br>2𝑥+3 jest<br>prawdziwa.</p>\n<ol><li>Rozwiązujemy nierówność 2𝑥-1</li></ol>\n<p>1-𝑥≤2+2𝑥<br>5𝑥 w zbiorze (-3<br>2 , -1<br>2).<br>Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:<br>3𝑥+ 1<br>2𝑥+ 1 -3𝑥+ 4<br>2𝑥+ 3 ≤0 /∙(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)<br>(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1) ≥0<br>-1 ≥0<br>Nierówność -1 ≥0 jest sprzeczna, więc w przedziale (-3<br>2 , -1</p>\n<ol><li>nierówność</li></ol>\n<p>3𝑥+1<br>2𝑥+1 ≤3𝑥+4<br>2𝑥+3 nie ma żadnych rozwiązań.<br>Ostatecznie zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3𝑥+1<br>2𝑥+1 ≤3𝑥+4<br>2𝑥+3 jest<br>(-∞, -3</p>\n<ol><li>∪(-1</li></ol>\n<p>2 , +∞).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{2}\\right) \\cup \\left(-\\dfrac{1}{2}, +\\infty\\right)$</p>"}]}