Zadanie 9. (0-3)
W trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 przez punkt 𝑂 przecięcia się przekątnych
poprowadzono dwie proste równoległe do boków 𝐵𝐶 i 𝐴𝐷. Prosta równoległa do boku 𝐵𝐶
przecina bok 𝐴𝐵 w punkcie 𝐵′, a prosta równoległa do boku 𝐴𝐷 przecina bok 𝐴𝐵
w punkcie 𝐴′. Wykaż, że |𝐴𝐴′| = |𝐵𝐵′|.
EMAP-R0_100
\nEMAP-R0_100
W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przez punkt O przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków BC i AD. Prosta równoległa do boku BC przecina bok AB w punkcie B', a prosta równoległa do boku AD przecina bok AB w punkcie A'. Wykaż, że |AA'| = |BB'|.
Zadanie 9. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:
R7.3) rozpoznaje figury podobne;
wykorzystuje (także w kontekstach
praktycznych) ich własności.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
zauważy, że trójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴′𝐵𝑂 są podobne i zapisze
|𝐴𝐵|
|𝐴′𝐵| = 𝐻
ℎ
ALBO
zauważy, że trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐵′𝑂 są podobne i zapisze
|𝐴𝐵|
|𝐴𝐵′| = 𝐻
ℎ ,
ALBO
zapisze, że 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷= 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶 ,
ALBO
zapisze pole równoległoboku 𝐴𝐴′𝐹𝐷 w zależności od 𝑎, ℎ1, ℎ2 oraz 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷:
𝑃𝐴𝐴′𝐹𝐷= 1
2 𝑎∙ℎ1 + 1
2 𝑎∙ℎ2 + 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷
ALBO
zapisze pole równoległoboku 𝐵𝐵′𝐸𝐶 w zależności od 𝑏, ℎ1, ℎ2 oraz 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶:
𝑃𝐵𝐵′𝐸𝐶= 1
2 𝑏∙ℎ1 + 1
2 𝑏∙ℎ2 + 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
zapisze proporcje wynikające z podobieństwa trójkątów 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴′𝐵𝑂 oraz
z podobieństwa trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐵′𝑂:
|𝐴𝐵|
|𝐴′𝐵| = 𝐻
ℎ i
|𝐴𝐵|
|𝐴𝐵′| = 𝐻
ℎ
ALBO
zapisze pole równoległoboku 𝐴𝐴′𝐹𝐷 w zależności od 𝑎, ℎ1, ℎ2 oraz 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷:
𝑃𝐴𝐴′𝐹𝐷= 1
2 𝑎∙ℎ1 + 1
2 𝑎∙ℎ2 + 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷
oraz zapisze, że 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷= 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶,
ALBO
zapisze pole równoległoboku 𝐵𝐵′𝐸𝐶 w zależności od 𝑏, ℎ1, ℎ2 oraz 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶:
𝑃𝐵𝐵′𝐸𝐶= 1
2 𝑏∙ℎ1 + 1
2 𝑏∙ℎ2 + 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶
oraz zapisze, że 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷= 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶 .
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (trójkąty podobne)
Oznaczmy przez 𝐻 wysokość trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷, a przez ℎ - wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝑂
opuszczoną z punktu 𝑂 na bok 𝐴𝐵.
Ponieważ 𝐴𝐷∥𝐴′𝑂, więc |∡𝐷𝐴𝐵| = |∡𝑂𝐴′𝐵| oraz |∡𝐴𝐷𝐵| = |∡𝐴′𝑂𝐵|. Zatem trójkąty
𝐴𝐵𝐷 i 𝐴′𝐵𝑂 są podobne (cecha kkk podobieństwa trójkątów). Stąd
|𝐴𝐵|
|𝐴′𝐵| = 𝐻
ℎ
Podobnie, ponieważ 𝐵𝐶∥𝐵′𝑂, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = |∡𝐴𝐵′𝑂| oraz |∡𝐵𝐶𝐴| = |∡𝐵′𝑂𝐴|. Zatem
trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐵′𝑂 są podobne (cecha kkk podobieństwa trójkątów). Stąd
|𝐴𝐵|
|𝐴𝐵′| = 𝐻
ℎ
Z powyższego otrzymujemy
|𝐴𝐵|
|𝐴′𝐵| =
|𝐴𝐵|
|𝐴𝐵′| , czyli |𝐴′𝐵| = |𝐴𝐵′|.
Ponieważ |𝐴′𝐵| = |𝐴𝐵| -|𝐴𝐴′| oraz |𝐴𝐵′| = |𝐴𝐵| -|𝐵𝐵′|, więc
|𝐴𝐵| -|𝐴𝐴′| = |𝐴𝐵| -|𝐵𝐵′|
czyli |𝐴𝐴′| = |𝐵𝐵′|. To należało pokazać.
Sposób 2. (porównanie pól)
Wprowadzamy następujące oznaczenia:
𝐻 - wysokość trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷,
ℎ1 - wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝑂 opuszczona z punktu 𝑂 na bok 𝐴𝐵,
ℎ2 - wysokość trójkąta 𝐶𝐷𝑂 opuszczona z punktu 𝑂 na bok 𝐶𝐷.
𝑎 - długość odcinka 𝐴𝐴′,
𝑏 - długość odcinka 𝐵𝐵′,
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑂
𝐻
ℎ
𝐴′
𝐵′
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑥 - długość odcinka 𝐴′𝐵′.
𝐸 - punkt przecięcia prostej 𝐵′𝑂 z odcinkiem 𝐶𝐷,
𝐹 - punkt przecięcia prostej 𝐴′𝑂 z odcinkiem 𝐶𝐷.
Z własności trapezu 𝐻= ℎ1 + ℎ2 oraz 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷= 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶= 𝑃.
Ponieważ 𝑃𝐴𝐴′𝐹𝐷= 𝑃Δ𝐴𝐴′𝑂+ 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷+ 𝑃Δ𝐷𝑂𝐹 , więc
𝑃𝐴𝐴′𝐹𝐷= 1
2 𝑎⋅ℎ1 + 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷+ 1
2 𝑎⋅ℎ2
a uwzględniając, że 𝑃𝐴𝐴′𝐹𝐷= 𝑎⋅𝐻= 𝑎⋅(ℎ1 + ℎ2), otrzymujemy
𝑎⋅(ℎ1 + ℎ2) = 1
2 𝑎⋅ℎ1 + 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷+ 1
2 𝑎⋅ℎ2
𝑎⋅(ℎ1 + ℎ2) = 1
2 𝑎⋅ℎ1 + 𝑃+ 1
2 𝑎⋅ℎ2
1
2 𝑎⋅(ℎ1 + ℎ2) = 𝑃
Podobnie, ponieważ 𝑃𝐵𝐵′𝐸𝐶= 𝑃Δ𝐵𝐵′𝑂+ 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶+ 𝑃Δ𝐶𝑂𝐸 , więc
𝑃𝐵𝐵′𝐸𝐶= 1
2 𝑏⋅ℎ1 + 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶+ 1
2 𝑏⋅ℎ2
a uwzględniając, że 𝑃𝐵𝐵′𝐸𝐶= 𝑏⋅𝐻= 𝑏⋅(ℎ1 + ℎ2), otrzymujemy
𝑏⋅(ℎ1 + ℎ2) = 1
2 𝑏⋅ℎ1 + 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶+ 1
2 𝑏⋅ℎ2
𝑏⋅(ℎ1 + ℎ2) = 1
2 𝑏⋅ℎ1 + 𝑃+ 1
2 𝑏⋅ℎ2
1
2 𝑏⋅(ℎ1 + ℎ2) = 𝑃
Z równań 1
2 𝑎⋅(ℎ1 + ℎ2) = 𝑃 oraz 1
2 𝑏⋅(ℎ1 + ℎ2) = 𝑃 otrzymujemy 𝑎= 𝑏.
To należało pokazać.
𝐴
𝐵′
𝐶
𝐴′
𝐷
𝐵
𝑎
𝑂
𝐸
𝐹
ℎ1
ℎ2
𝑥
𝑏