{"id":"matematyka-2022-egzamin-osmoklasisty/zad/18","paper_id":"matematyka-2022-egzamin-osmoklasisty","number":"18","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18. (0-3)\nDany jest romb 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód tego rombu jest równy 52 cm, a przekątna 𝐴𝐶 ma długość\n24 cm (zobacz rysunek poniżej).\nOblicz długość przekątnej 𝑩𝑫 rombu 𝑨𝑩𝑪𝑫. Zapisz obliczenia.\n𝐷\n𝐶\n𝐴\n𝐵\nOMAP-100-2205","answer":"10 cm","answer_text":"Zadanie 18. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej z treści\nzadania, tworzenie strategii rozwiązania\nproblemu, również w rozwiązaniach\nwieloetapowych oraz w takich, które\nwymagają umiejętności łączenia wiedzy\nz różnych działów matematyki.\nXVI. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n2) zna najważniejsze własności […] rombu\n[…];\n6) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2022 r.\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia długości przekątnej 𝐵𝐷, prawidłowe obliczenia oraz\nprawidłowy wynik liczbowy (10 cm).\n2 punkty\npoprawny sposób obliczenia połowy długości przekątnej 𝐵𝐷 (zastosowanie twierdzenia\nPitagorasa i podstawienie do wzoru długości boku rombu i połowy długości przekątnej 𝐴𝐶,\nnp. zapisanie |𝐸𝐵|2 + 122 = 132),\nLUB\n• obliczenie lub ustalenie (np. zapisanie na rysunku) połowy długości przekątnej 𝐴𝐶 rombu\n(12 cm) oraz obliczenie lub ustalenie (np. zapisanie na rysunku) długości boku rombu\n(13 cm) oraz ustalenie (np. zapisanie na rysunku) połowy długości przekątnej 𝐵𝐷 rombu\n(5 cm).\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia lub ustalenie (np. zapisanie na rysunku) długości boku\nrombu (13 cm) oraz zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia połowy długości\nprzekątnej 𝐵𝐷 (zgodnie z przyjętymi oznaczeniami), np. zapisanie\ndo trójkąta 𝐵𝐶𝐸\n|𝐵𝐶| = 13, |𝐸𝐵|2 + |𝐶𝐸|2 = |𝐵𝐶|2,\nLUB\ndo trójkąta 𝐴𝐵𝐸\n|𝐵𝐸|2 + |𝐸𝐴|2 = 132,\n• poprawny sposób obliczenia lub ustalenie (np. zapisanie na rysunku) połowy długości\nprzekątnej 𝐴𝐶 rombu (12 cm) oraz zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia\npołowy długości przekątnej 𝐵𝐷 (zgodnie z przyjętymi oznaczeniami), np. zapisanie\ndo trójkąta 𝐶𝐷𝐸\n|𝐷𝐸|2 + 122 = |𝐶𝐷|2,\nLUB\ndo trójkąta 𝐷𝐴𝐸\n|𝐴𝐸| = 12, |𝐴𝐸|2 + |𝐸𝐷|2 = |𝐷𝐴|2,\n• poprawny sposób obliczenia lub ustalenie (np. zapisanie na rysunku) połowy długości\nprzekątnej 𝐴𝐶 rombu (12 cm) oraz poprawny sposób obliczenia lub ustalenie (np.\nzapisanie na rysunku) długości boku rombu (13 cm).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi\n• Jeżeli uczeń wykona na rysunku pomiary linijką długości boku rombu lub przekątnej 𝐴𝐶\ni długości przekątnej 𝐵𝐷 oraz zapisze poprawne proporcje, np.\n|𝐴𝐵|𝑐𝑑𝑠\n|𝐴𝐵|𝑟𝑦𝑠.\n= |𝐵𝐷|𝑑𝑑𝑎\n|𝐵𝐷|𝑟𝑦𝑠.\n𝐿𝑈𝐵 |𝐴𝐶|𝑐𝑑𝑠\n|𝐴𝐶|𝑟𝑦𝑠.\n= |𝐵𝐷|𝑑𝑑𝑎\n|𝐵𝐷|𝑟𝑦𝑠.\n(lub zapisy równoważne)\n(gdzie indeks 𝑟𝑦𝑠. oznacza zmierzoną na rysunku, a nie rzeczywistą długość odcinka)\ni uzyska przybliżony wynik |𝐵𝐷| ≈10 cm, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\n• Jeżeli uczeń obliczy długość boku rombu (13 cm), poprawnie odwzoruje przy pomocy\nlinijki rysunek (cały romb lub np. trójkąt 𝐴𝐵𝐷) w skali 1 ∶1 zgodnie z danymi w treści\nzadania, zachowując odpowiednie miary kątów, zmierzy długość przekątnej 𝐵𝐷 (lub bok\n𝐵𝐷 rozpatrywanego trójkąta 𝐴𝐵𝐷) i otrzyma przybliżony wynik |𝐵𝐷| ≈10 cm lub ustali\noraz zapisze długość przekątnej |𝐵𝐷| = 10 cm to otrzymuje 2 punkty.\n• Nie ocenia się stosowania jednostek.\nPrzykładowe rozwiązanie ocenione na 3 punkty\nObliczymy długość boku rombu.\nObwód rombu jest równy 52 cm, czyli jeden bok rombu ma długość: 52 cm ∶4 = 13 cm.\nPrzekątne rombu dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym. Punkt przecięcia\nprzekątnych oznaczymy jako 𝐸, tak jak na rysunku.\nPrzekątna 𝐴𝐶 ma długość 24 cm, a jej połowa to 12 cm.\nTrójkąt 𝐵𝐶𝐸 jest prostokątny.\nOznaczymy połowę długości przekątnej 𝐵𝐷 jako 𝑥 i obliczymy tę długość, korzystając\nz twierdzenia Pitagorasa:\n𝑥2 + 122 = 132\n𝑥2 = 132 -122\n𝑥2 = 169 -144\n𝑥= √25 = 5 (cm)\nPonieważ 𝑥 stanowi połowę długości przekątnej 𝐵𝐷, stąd\n|𝐵𝐷| = 2𝑥\n|𝐵𝐷| = 2 ∙5 = 10 (cm)\nOdpowiedź: Przekątna 𝐵𝐷 ma długość 10 cm.\n𝐷\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝑥\n𝐸\n13 cm\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2022 r.","solution":"Bok rombu: 52:4=13 cm. Połowa przekątnej AC ma 12 cm. Jeśli x jest połową BD, to 12^2+x^2=13^2 , więc x=5 . Stąd BD=10 cm.\n\nOdpowiedź: 10 cm","image":"img/matematyka-2022-egzamin-osmoklasisty/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"Planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"

Zadanie 18. (0-3)
Dany jest romb 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód tego rombu jest równy 52 cm, a przekątna 𝐴𝐶 ma długość
24 cm (zobacz rysunek poniżej).
Oblicz długość przekątnej 𝑩𝑫 rombu 𝑨𝑩𝑪𝑫. Zapisz obliczenia.
𝐷
𝐶
𝐴
𝐵
OMAP-100-2205

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie strategii wynikającej z treści
\n

zadania, tworzenie strategii rozwiązania
problemu, również w rozwiązaniach
wieloetapowych oraz w takich, które
wymagają umiejętności łączenia wiedzy
z różnych działów matematyki.
XVI. Własności figur geometrycznych na
płaszczyźnie. Uczeń:

\n
  1. zna najważniejsze własności […] rombu
\n

[…];

\n
  1. zna i stosuje w sytuacjach praktycznych
\n

twierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia
odwrotnego).
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2022 r.
Zasady oceniania
3 punkty - pełne rozwiązanie
poprawny sposób obliczenia długości przekątnej 𝐵𝐷, prawidłowe obliczenia oraz
prawidłowy wynik liczbowy (10 cm).
2 punkty
poprawny sposób obliczenia połowy długości przekątnej 𝐵𝐷 (zastosowanie twierdzenia
Pitagorasa i podstawienie do wzoru długości boku rombu i połowy długości przekątnej 𝐴𝐶,
np. zapisanie |𝐸𝐵|2 + 122 = 132),
LUB
• obliczenie lub ustalenie (np. zapisanie na rysunku) połowy długości przekątnej 𝐴𝐶 rombu
(12 cm) oraz obliczenie lub ustalenie (np. zapisanie na rysunku) długości boku rombu
(13 cm) oraz ustalenie (np. zapisanie na rysunku) połowy długości przekątnej 𝐵𝐷 rombu
(5 cm).
1 punkt
• poprawny sposób obliczenia lub ustalenie (np. zapisanie na rysunku) długości boku
rombu (13 cm) oraz zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia połowy długości
przekątnej 𝐵𝐷 (zgodnie z przyjętymi oznaczeniami), np. zapisanie
do trójkąta 𝐵𝐶𝐸
|𝐵𝐶| = 13, |𝐸𝐵|2 + |𝐶𝐸|2 = |𝐵𝐶|2,
LUB
do trójkąta 𝐴𝐵𝐸
|𝐵𝐸|2 + |𝐸𝐴|2 = 132,
• poprawny sposób obliczenia lub ustalenie (np. zapisanie na rysunku) połowy długości
przekątnej 𝐴𝐶 rombu (12 cm) oraz zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia
połowy długości przekątnej 𝐵𝐷 (zgodnie z przyjętymi oznaczeniami), np. zapisanie
do trójkąta 𝐶𝐷𝐸
|𝐷𝐸|2 + 122 = |𝐶𝐷|2,
LUB
do trójkąta 𝐷𝐴𝐸
|𝐴𝐸| = 12, |𝐴𝐸|2 + |𝐸𝐷|2 = |𝐷𝐴|2,
• poprawny sposób obliczenia lub ustalenie (np. zapisanie na rysunku) połowy długości
przekątnej 𝐴𝐶 rombu (12 cm) oraz poprawny sposób obliczenia lub ustalenie (np.
zapisanie na rysunku) długości boku rombu (13 cm).
0 punktów
rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Uwagi
• Jeżeli uczeń wykona na rysunku pomiary linijką długości boku rombu lub przekątnej 𝐴𝐶
i długości przekątnej 𝐵𝐷 oraz zapisze poprawne proporcje, np.
|𝐴𝐵|𝑐𝑑𝑠
|𝐴𝐵|𝑟𝑦𝑠.
= |𝐵𝐷|𝑑𝑑𝑎
|𝐵𝐷|𝑟𝑦𝑠.
𝐿𝑈𝐵 |𝐴𝐶|𝑐𝑑𝑠
|𝐴𝐶|𝑟𝑦𝑠.
= |𝐵𝐷|𝑑𝑑𝑎
|𝐵𝐷|𝑟𝑦𝑠.
(lub zapisy równoważne)
(gdzie indeks 𝑟𝑦𝑠. oznacza zmierzoną na rysunku, a nie rzeczywistą długość odcinka)
i uzyska przybliżony wynik |𝐵𝐷| ≈10 cm, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.
• Jeżeli uczeń obliczy długość boku rombu (13 cm), poprawnie odwzoruje przy pomocy
linijki rysunek (cały romb lub np. trójkąt 𝐴𝐵𝐷) w skali 1 ∶1 zgodnie z danymi w treści
zadania, zachowując odpowiednie miary kątów, zmierzy długość przekątnej 𝐵𝐷 (lub bok
𝐵𝐷 rozpatrywanego trójkąta 𝐴𝐵𝐷) i otrzyma przybliżony wynik |𝐵𝐷| ≈10 cm lub ustali
oraz zapisze długość przekątnej |𝐵𝐷| = 10 cm to otrzymuje 2 punkty.
• Nie ocenia się stosowania jednostek.
Przykładowe rozwiązanie ocenione na 3 punkty
Obliczymy długość boku rombu.
Obwód rombu jest równy 52 cm, czyli jeden bok rombu ma długość: 52 cm ∶4 = 13 cm.
Przekątne rombu dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym. Punkt przecięcia
przekątnych oznaczymy jako 𝐸, tak jak na rysunku.
Przekątna 𝐴𝐶 ma długość 24 cm, a jej połowa to 12 cm.
Trójkąt 𝐵𝐶𝐸 jest prostokątny.
Oznaczymy połowę długości przekątnej 𝐵𝐷 jako 𝑥 i obliczymy tę długość, korzystając
z twierdzenia Pitagorasa:
𝑥2 + 122 = 132
𝑥2 = 132 -122
𝑥2 = 169 -144
𝑥= √25 = 5 (cm)
Ponieważ 𝑥 stanowi połowę długości przekątnej 𝐵𝐷, stąd
|𝐵𝐷| = 2𝑥
|𝐵𝐷| = 2 ∙5 = 10 (cm)
Odpowiedź: Przekątna 𝐵𝐷 ma długość 10 cm.
𝐷
𝐶
𝐴
𝐵
𝑥
𝐸
13 cm
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2022 r.

","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Bok rombu: 52:4=13 cm. Połowa przekątnej AC ma 12 cm. Jeśli x jest połową BD, to 12^2+x^2=13^2 , więc x=5 . Stąd BD=10 cm.

\n

Odpowiedź: 10 cm

"}]}