Zadanie 14. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 liczba 𝟓𝒏𝟐+ 𝟏𝟓𝒏 jest podzielna przez 𝟏𝟎.
14.
0-1-2
MMAP-P0_100
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 5n^2+15n jest podzielna przez 10.
Zadanie 14. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące
podzielności liczb całkowitych i reszt
z dzielenia […].
Zasady oceniania
2 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu, tj. rozpatrzenie dwóch przypadków: gdy 𝑛= 2𝑘
oraz 𝑛= 2𝑘+ 1
ALBO
przekształcenie wyrażenia 5𝑛2 + 15𝑛 do postaci 5𝑛(𝑛+ 3) oraz uzasadnienie, że
liczba 5𝑛(𝑛+ 3) dzieli się przez 2 i przez 5, czyli jest podzielna przez 10.
1 pkt - przekształcenie wyrażenia 5𝑛2 + 15𝑛 do postaci 5𝑛(𝑛+ 3)
ALBO
rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑘 (gdzie 𝑘∈ℕ), tj. przekształcenie wyrażenia
5𝑛2 + 15𝑛 do postaci 10 ⋅(2𝑘2 + 3𝑘) i zapisanie, że liczba 2𝑘2 + 3𝑘 jest
naturalna,
ALBO
rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑘+ 1 (gdzie 𝑘∈ℕ), tj. przekształcenie
wyrażenia 5𝑛2 + 15𝑛 do postaci 10 ⋅(2𝑘2 + 5𝑘+ 2) i zapisanie, że liczba
2𝑘2 + 5𝑘+ 2 jest naturalna.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przedstawiamy liczbę 5𝑛2 + 15𝑛 w postaci iloczynu
5𝑛2 + 15𝑛= 5𝑛(𝑛+ 3)
Liczby 𝑛 oraz 𝑛+ 3 różnią się o liczbę nieparzystą. Zatem, jeśli 𝑛 jest parzysta, wtedy
𝑛+ 3 jest nieparzysta. Jeśli 𝑛 jest nieparzysta, wtedy 𝑛+ 3 jest parzysta. Wynika stąd,
że liczba 5𝑛(𝑛+ 3) dzieli się przez 2 i przez 5, czyli jest podzielna przez 10. To należało
wykazać.
Sposób II
Rozważamy dwa przypadki: gdy liczba 𝑛 jest parzysta i gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta.
Parzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘, gdzie 𝑘∈ℕ.
Wtedy
5𝑛2 + 15𝑛= 5(2𝑘)2 + 15 ⋅2𝑘= 20𝑘2 + 30𝑘= 10 ⋅(2𝑘2 + 3𝑘)
Ponieważ 𝑘 jest liczbą naturalną, to liczba 2𝑘2 + 3𝑘 również jest naturalna, a iloczyn
10 ⋅(2𝑘2 + 3𝑘) jest podzielny przez 10.
W przypadku, gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta, możemy ją zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘+ 1,
gdzie 𝑘∈ℕ.
Wtedy
5𝑛2 + 15𝑛= 5(2𝑘+ 1)2 + 15 ⋅(2𝑘+ 1) = 5(4𝑘2 + 4𝑘+ 1) + 30𝑘+ 15 =
= 20𝑘2 + 20𝑘+ 5 + 30𝑘+ 15 = 20𝑘2 + 50𝑘+ 20 = 10 ⋅(2𝑘2 + 5𝑘+ 2)
Ponieważ 𝑘 jest liczbą naturalną, to liczba 2𝑘2 + 5𝑘+ 2 również jest naturalna, a iloczyn
10 ⋅(2𝑘2 + 5𝑘+ 2) jest podzielny przez 10. To należało wykazać.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób III
Przedstawiamy liczbę 5𝑛2 + 15𝑛 w postaci iloczynu
5𝑛2 + 15𝑛= 5𝑛(𝑛+ 3)
Rozważamy dwa przypadki: gdy liczba 𝑛 jest parzysta i gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta.
Parzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘, gdzie 𝑘∈ℕ.
Wtedy
5𝑛2 + 15𝑛= 5 ⋅2𝑘(2𝑘+ 3) = 10𝑘(2𝑘+ 3)
Ponieważ 𝑘 jest liczbą naturalną, to liczba 2𝑘+ 3 również jest naturalna, a iloczyn
10 ⋅𝑘(2𝑘+ 3) jest podzielny przez 10.
W przypadku, gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta, możemy ją zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘+ 1,
gdzie 𝑘∈ℕ.
Wtedy
5𝑛2 + 15𝑛= 5(2𝑘+ 1)(2𝑘+ 1 + 3) = 10(2𝑘+ 1)(𝑘+ 2)
Ponieważ 𝑘 jest liczbą naturalną, to liczby 2𝑘+ 1 oraz 𝑘+ 2 również są naturalne,
a iloczyn 10 ⋅(2𝑘+ 1)(𝑘+ 2) jest podzielny przez 10. To należało wykazać.
Wyłączamy wspólny czynnik:
\n5n^2+15n=5n(n+3).
\nLiczby n i n+3 mają różną parzystość, ponieważ różnią się o liczbę nieparzystą. Jedna z nich jest więc parzysta, a iloczyn n(n+3) jest podzielny przez 2 . Zatem
\n5n(n+3)
\njest podzielne przez 5·2=10 .
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"Dowód
"}]}