{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"20","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-4)\nDo wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny\no długości 200 m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który\nw tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).\nOblicz wymiary 𝒂 i 𝒃 kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.\nZapisz obliczenia.\n20.\n0-1-\n2-3-4\n𝑏\nlina\n𝑎\nwoda\nplaża\nkąpielisko\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nDo wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości 200 m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz wymiary a i b kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.","answer":"a=50 m, b=100 m","answer_text":"Zadanie 20. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nXIII. Zdający rozwiązuje zadania\noptymalizacyjne w sytuacjach dających się\nopisać funkcją kwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów kąpieliska oraz podanie poprawnych\nwyników: 𝑎= 50 m oraz 𝑏= 100 m.\n3 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole powierzchni kąpieliska w zależności od zmiennej\n𝑎 oraz podanie dziedziny funkcji 𝑎∈(0, 100) i prawidłowe obliczenie pierwszej\nwspółrzędnej wierzchołka paraboli: 𝑎= 50 m\nALBO\npoprawne zapisanie wzoru na pole powierzchni kąpieliska w zależności od zmiennej\n𝑏 oraz podanie dziedziny funkcji 𝑏∈(0, 200) i prawidłowe obliczenie pierwszej\nwspółrzędnej wierzchołka paraboli: 𝑏= 100 m.\n2 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole powierzchni kąpieliska w zależności od jednej\nzmiennej: 𝑃(𝑎) = 𝑎(200 -2𝑎) lub 𝑃(𝑏) = 𝑏(100 -1\n2 𝑏).\n1 pkt - zapisanie związku między wymiarami kąpieliska: 2𝑎+ 𝑏= 200.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość liny użytej do wytyczenia\nkąpieliska - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem\n2𝑎+ 𝑏= 200\nStąd wyznaczamy 𝑏: 𝑏= 200 -2𝑎.\nZ warunków zadania wynika, że\n𝑎> 0 i 𝑏> 0\nPowierzchnia 𝑃 kąpieliska jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑎 oraz 𝑏. Zatem\n𝑃= 𝑎⋅𝑏\nPowierzchnię kąpieliska wyrażamy jako funkcję jednej zmiennej 𝑎. W tym celu podstawiamy\n𝑏= 200 -2𝑎 i otrzymujemy\n𝑃(𝑎) = 𝑎(200 -2𝑎) = -2𝑎2 + 200𝑎\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑎 i 𝑏 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają\n𝑏= 200 -2𝑎> 0 oraz 𝑎> 0\nZatem\n𝑎< 100 oraz 𝑎> 0\nZmienna 𝑎 może przyjmować wartości z przedziału (0, 100).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy\npierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= -\n200\n2 ⋅(-2) = 50 ∈(0, 100)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 50.\nObliczamy drugi wymiar, dla którego kąpielisko ma największą powierzchnię:\n𝑏= 200 m -2 ⋅50 m = 100 m\nNajwiększą powierzchnię ma kąpielisko o wymiarach: 𝑎= 50 m oraz 𝑏= 100 m.\nSposób II\nPrzyjmiemy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość liny użytej do wytyczenia\nkąpieliska - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem\n2𝑎+ 𝑏= 200\nStąd wyznaczamy 𝑎: 𝑎= 100 -1\n2 𝑏.\nZ warunków zadania wynika, że\n𝑎> 0 i 𝑏> 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPowierzchnia 𝑃 kąpieliska jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑎 oraz 𝑏. Zatem\n𝑃= 𝑎⋅𝑏\nPowierzchnię kąpieliska wyrażamy jako funkcję jednej zmiennej 𝑏. W tym celu podstawiamy\n𝑎= 100 -1\n2 𝑏 i otrzymujemy\n𝑃(𝑏) = 𝑏(100 -1\n2 𝑏)\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑎 i 𝑏 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają\n𝑎= 100 -1\n2 𝑏> 0 oraz 𝑏> 0\nZatem\n𝑏< 200 oraz 𝑏> 0\nZmienna 𝑏 może przyjmować wartości z przedziału (0, 200).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy\npierwszą współrzędną wierzchołka paraboli jako średnią arytmetyczną pierwiastków\nrównania:\n𝑏(100 -1\n2 𝑏) = 0\nPierwiastkami tego równania są liczby\n𝑏1 = 0 oraz 𝑏2 = 200\nZatem pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa\n𝑝= 𝑏1 + 𝑏2\n2\n= 100 ∈(0, 200)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 100.\nObliczamy drugi wymiar, dla którego kąpielisko ma największą powierzchnię:\n𝑎= 100 m -1\n2 ⋅100 m = 50 m\nNajwiększą powierzchnię ma kąpielisko o wymiarach: 𝑎= 50 m oraz 𝑏= 100 m.","solution":"Długość liny daje zależność\n\n2a+b=200,\n\nczyli\n\nb=200-2a.\n\nPole kąpieliska jest równe\n\nP(a)=ab=a(200-2a)=-2a^2+200a.\n\nJest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół. Współrzędna wierzchołka wynosi\n\na=(-200)/(2·(-2))=50.\n\nWtedy\n\nb=200-2·50=100.\n\nNajwiększe pole ma prostokąt o wymiarach 50 m×100 m .","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 20. (0-4)
Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny
o długości 200 m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który
w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).
Oblicz wymiary 𝒂 i 𝒃 kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.
Zapisz obliczenia.
20.
0-1-
2-3-4
𝑏
lina
𝑎
woda
plaża
kąpielisko

\n

MMAP-P0_100

\n

MMAP-P0_100
Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości 200 m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz wymiary a i b kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.

","answer_text_html":"

Zadanie 20. (0-4)
Wymagania ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
XIII. Zdający rozwiązuje zadania
optymalizacyjne w sytuacjach dających się
opisać funkcją kwadratową.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów kąpieliska oraz podanie poprawnych
wyników: 𝑎= 50 m oraz 𝑏= 100 m.
3 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole powierzchni kąpieliska w zależności od zmiennej
𝑎 oraz podanie dziedziny funkcji 𝑎∈(0, 100) i prawidłowe obliczenie pierwszej
współrzędnej wierzchołka paraboli: 𝑎= 50 m
ALBO
poprawne zapisanie wzoru na pole powierzchni kąpieliska w zależności od zmiennej
𝑏 oraz podanie dziedziny funkcji 𝑏∈(0, 200) i prawidłowe obliczenie pierwszej
współrzędnej wierzchołka paraboli: 𝑏= 100 m.
2 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole powierzchni kąpieliska w zależności od jednej
zmiennej: 𝑃(𝑎) = 𝑎(200 -2𝑎) lub 𝑃(𝑏) = 𝑏(100 -1
2 𝑏).
1 pkt - zapisanie związku między wymiarami kąpieliska: 2𝑎+ 𝑏= 200.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość liny użytej do wytyczenia
kąpieliska - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem
2𝑎+ 𝑏= 200
Stąd wyznaczamy 𝑏: 𝑏= 200 -2𝑎.
Z warunków zadania wynika, że
𝑎> 0 i 𝑏> 0
Powierzchnia 𝑃 kąpieliska jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑎 oraz 𝑏. Zatem
𝑃= 𝑎⋅𝑏
Powierzchnię kąpieliska wyrażamy jako funkcję jednej zmiennej 𝑎. W tym celu podstawiamy
𝑏= 200 -2𝑎 i otrzymujemy
𝑃(𝑎) = 𝑎(200 -2𝑎) = -2𝑎2 + 200𝑎
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑎 i 𝑏 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
𝑏= 200 -2𝑎> 0 oraz 𝑎> 0
Zatem
𝑎< 100 oraz 𝑎> 0
Zmienna 𝑎 może przyjmować wartości z przedziału (0, 100).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy
pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
𝑝= -
200
2 ⋅(-2) = 50 ∈(0, 100)
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 50.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego kąpielisko ma największą powierzchnię:
𝑏= 200 m -2 ⋅50 m = 100 m
Największą powierzchnię ma kąpielisko o wymiarach: 𝑎= 50 m oraz 𝑏= 100 m.
Sposób II
Przyjmiemy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość liny użytej do wytyczenia
kąpieliska - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem
2𝑎+ 𝑏= 200
Stąd wyznaczamy 𝑎: 𝑎= 100 -1
2 𝑏.
Z warunków zadania wynika, że
𝑎> 0 i 𝑏> 0
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Powierzchnia 𝑃 kąpieliska jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑎 oraz 𝑏. Zatem
𝑃= 𝑎⋅𝑏
Powierzchnię kąpieliska wyrażamy jako funkcję jednej zmiennej 𝑏. W tym celu podstawiamy
𝑎= 100 -1
2 𝑏 i otrzymujemy
𝑃(𝑏) = 𝑏(100 -1
2 𝑏)
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑎 i 𝑏 oraz
wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają
𝑎= 100 -1
2 𝑏> 0 oraz 𝑏> 0
Zatem
𝑏< 200 oraz 𝑏> 0
Zmienna 𝑏 może przyjmować wartości z przedziału (0, 200).
Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy
pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli jako średnią arytmetyczną pierwiastków
równania:
𝑏(100 -1
2 𝑏) = 0
Pierwiastkami tego równania są liczby
𝑏1 = 0 oraz 𝑏2 = 200
Zatem pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa
𝑝= 𝑏1 + 𝑏2
2
= 100 ∈(0, 200)
Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 100.
Obliczamy drugi wymiar, dla którego kąpielisko ma największą powierzchnię:
𝑎= 100 m -1
2 ⋅100 m = 50 m
Największą powierzchnię ma kąpielisko o wymiarach: 𝑎= 50 m oraz 𝑏= 100 m.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Długość liny daje zależność

\n

2a+b=200,

\n

czyli

\n

b=200-2a.

\n

Pole kąpieliska jest równe

\n

P(a)=ab=a(200-2a)=-2a^2+200a.

\n

Jest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół. Współrzędna wierzchołka wynosi

\n

a=(-200)/(2·(-2))=50.

\n

Wtedy

\n

b=200-2·50=100.

\n

Największe pole ma prostokąt o wymiarach 50 m×100 m .

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a = 50$ m, $b = 100$ m

"}]}