{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"23","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-2)\nPrzekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają\ndługości: |𝐴𝐶| = 16 oraz |𝐵𝐷| = 12.\nWierzchołki 𝐸, 𝐹, 𝐺 oraz 𝐻 rombu 𝐸𝐹𝐺𝐻\nleżą na bokach równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷\n(zobacz rysunek).\nBoki tego rombu są równoległe do\nprzekątnych równoległoboku.\nOblicz długość boku rombu 𝑬𝑭𝑮𝑯.\nZapisz obliczenia.\n𝑂\n𝐻\n𝐺\n𝐹\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n23.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nPrzekątne równoległoboku ABCD mają długości: |AC|=16 oraz |BD|=12. Wierzchołki E,F,G oraz H rombu EFGH leżą na bokach równoległoboku ABCD (zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku. [rysunek]} Oblicz długość boku rombu EFGH.","answer":"(48)/(7)","answer_text":"Zadanie 23. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nVIII.4) korzysta z własności kątów\ni przekątnych w […] równoległobokach,\nrombach […];\nVIII.8) korzysta z cech podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia długości boku rombu oraz poprawny wynik: 𝑎= 48\n7 .\n1 pkt - zapisanie związku między długościami odcinków wynikającego z podobieństwa\nodpowiednich trójkątów, np.\n|𝐴𝐹|\n|𝐸𝐹| =\n|𝐴𝐵|\n|𝐵𝐷|,\n|𝐵𝐹|\n|𝐹𝐺| =\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐶|,\n|𝐾𝐻|\n|𝑂𝐷| =\n|𝐾𝐶|\n|𝑂𝐶|,\n|𝐾𝐺|\n|𝑂𝐵| =\n|𝐾𝐶|\n|𝑂𝐶| .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑎 oznacza długość boku rombu.\nTrójkąty 𝐴𝐸𝐹 i 𝐴𝐷𝐵 są podobne oraz\ntrójkąty 𝐹𝐵𝐺 i 𝐴𝐵𝐶 są podobne (na\nmocy cechy kkk podobieństwa trójkątów).\nZatem mamy zależności:\n|𝐴𝐹|\n|𝐸𝐹| =\n|𝐴𝐵|\n|𝐵𝐷| oraz\n|𝐵𝐹|\n|𝐹𝐺| =\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐹|\n𝑎\n|𝐴𝐵|\n12 oraz\n|𝐵𝐹|\n𝑎\n|𝐴𝐵|\n16\nZatem\n|𝐴𝐹| =\n|𝐴𝐵|⋅𝑎\n12 oraz |𝐵𝐹| =\n|𝐴𝐵|⋅𝑎\n16\nWobec tego\n|𝐴𝐵| = |𝐴𝐹| + |𝐵𝐹| =\n|𝐴𝐵| ⋅𝑎\n12\n|𝐴𝐵| ⋅𝑎\n16\nZatem\n1 = 𝑎\n12 + 𝑎\n16\nWynika stąd, że 𝑎= 48\n7 .\nDługość boku rombu 𝐸𝐹𝐺𝐻 jest równa 48\n7 .\nSposób II\nNiech 𝑎 oznacza długość boku rombu.\nZ warunków zadania mamy |𝑂𝐷| = 6,\n|𝑂𝐶| = 8.\nPunkt 𝐾 jest punktem przecięcia\nprzekątnej 𝐴𝐶 równoległoboku z bokiem\n𝐺𝐻 rombu. Punkt 𝐿 jest punktem\nprzecięcia przekątnej 𝐵𝐷\nrównoległoboku z bokiem 𝐸𝐻 rombu.\n𝐻\n𝑂\n𝐷\n𝐶\n𝐸\n𝐺\n𝐹\n𝐵\n𝐴\n𝐾\n𝐿\n𝐻\n𝑂\n𝐷\n𝐶\n𝐸\n𝐺\n𝐹\n𝐵\n𝐴\nTrójkąty 𝐻𝐾𝐶 i 𝐷𝑂𝐶 są podobne oraz trójkąty 𝐺𝐾𝐶 i 𝐵𝑂𝐶 są podobne (na mocy cechy\nkkk podobieństwa trójkątów), zatem\n|𝐾𝐻|\n|𝑂𝐷| =\n|𝐾𝐶|\n|𝑂𝐶| oraz\n|𝐾𝐺|\n|𝑂𝐵| =\n|𝐾𝐶|\n|𝑂𝐶|\nStąd\n|𝐾𝐻|\n6\n|𝐾𝐺|\n6\nZatem |𝐾𝐻| = |𝐾𝐺| = 𝑎\n2 .\nAnalogicznie |𝐿𝐻| = |𝐿𝐸| = 𝑎\n2 .\nPonieważ boki czworokąta 𝐿𝑂𝐾𝐻 są równoległe do boków rombu 𝐸𝐹𝐺𝐻, więc 𝐿𝑂𝐾𝐻\nrównież jest rombem i każdy z jego boków ma długość 𝑎\n2 .\nMożemy zatem obliczyć długość odcinka |𝐾𝐶| = |𝑂𝐶| -|𝑂𝐾| = 8 -𝑎\n2 .\nKorzystając ponownie z podobieństwa trójkątów 𝐻𝐾𝐶 i 𝐷𝑂𝐶, mamy\n|𝐾𝐻|\n|𝑂𝐷| =\n|𝐾𝐶|\n|𝑂𝐶|\n𝑎\n2\n6 =\n8 -𝑎\n2\n8\nStąd\n𝑎= 48\n7\nDługość boku rombu 𝐸𝐹𝐺𝐻 jest równa 48\n7 .","solution":"Niech x oznacza, jaką część przekątnej długości 12 stanowi bok rombu równoległy do tej przekątnej. Wtedy długość boku rombu wynosi 12x . Z podobieństwa odpowiednich trójkątów drugi bok rombu, równoległy do przekątnej długości 16 , ma długość 16(1-x) . Ponieważ wszystkie boki rombu są równe:\n\n12x=16(1-x).\n\nZatem\n\n12x=16-16x,\n\n28x=16,\n\nx=(4)/(7).\n\nDługość boku rombu jest równa\n\n12·(4)/(7)=(48)/(7).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Figury podobne, planimetria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 23. (0-2)
Przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają
długości: |𝐴𝐶| = 16 oraz |𝐵𝐷| = 12.
Wierzchołki 𝐸, 𝐹, 𝐺 oraz 𝐻 rombu 𝐸𝐹𝐺𝐻
leżą na bokach równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷
(zobacz rysunek).
Boki tego rombu są równoległe do
przekątnych równoległoboku.
Oblicz długość boku rombu 𝑬𝑭𝑮𝑯.
Zapisz obliczenia.
𝑂
𝐻
𝐺
𝐹
𝐸
𝐷
𝐶
𝐵
𝐴
23.
0-1-2

\n

MMAP-P0_100
Przekątne równoległoboku ABCD mają długości: |AC|=16 oraz |BD|=12. Wierzchołki E,F,G oraz H rombu EFGH leżą na bokach równoległoboku ABCD (zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku. [rysunek]} Oblicz długość boku rombu EFGH.

","answer_text_html":"

Zadanie 23. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
3.Tworzenie pomocniczych obiektów
matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub
rozwiązania problemu.
Zdający:
VIII.4) korzysta z własności kątów
i przekątnych w […] równoległobokach,
rombach […];
VIII.8) korzysta z cech podobieństwa
trójkątów.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda obliczenia długości boku rombu oraz poprawny wynik: 𝑎= 48
7 .
1 pkt - zapisanie związku między długościami odcinków wynikającego z podobieństwa
odpowiednich trójkątów, np.
|𝐴𝐹|
|𝐸𝐹| =
|𝐴𝐵|
|𝐵𝐷|,
|𝐵𝐹|
|𝐹𝐺| =
|𝐴𝐵|
|𝐴𝐶|,
|𝐾𝐻|
|𝑂𝐷| =
|𝐾𝐶|
|𝑂𝐶|,
|𝐾𝐺|
|𝑂𝐵| =
|𝐾𝐶|
|𝑂𝐶| .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Niech 𝑎 oznacza długość boku rombu.
Trójkąty 𝐴𝐸𝐹 i 𝐴𝐷𝐵 są podobne oraz
trójkąty 𝐹𝐵𝐺 i 𝐴𝐵𝐶 są podobne (na
mocy cechy kkk podobieństwa trójkątów).
Zatem mamy zależności:
|𝐴𝐹|
|𝐸𝐹| =
|𝐴𝐵|
|𝐵𝐷| oraz
|𝐵𝐹|
|𝐹𝐺| =
|𝐴𝐵|
|𝐴𝐶|
|𝐴𝐹|
𝑎
|𝐴𝐵|
12 oraz
|𝐵𝐹|
𝑎
|𝐴𝐵|
16
Zatem
|𝐴𝐹| =
|𝐴𝐵|⋅𝑎
12 oraz |𝐵𝐹| =
|𝐴𝐵|⋅𝑎
16
Wobec tego
|𝐴𝐵| = |𝐴𝐹| + |𝐵𝐹| =
|𝐴𝐵| ⋅𝑎
12
|𝐴𝐵| ⋅𝑎
16
Zatem
1 = 𝑎
12 + 𝑎
16
Wynika stąd, że 𝑎= 48
7 .
Długość boku rombu 𝐸𝐹𝐺𝐻 jest równa 48
7 .
Sposób II
Niech 𝑎 oznacza długość boku rombu.
Z warunków zadania mamy |𝑂𝐷| = 6,
|𝑂𝐶| = 8.
Punkt 𝐾 jest punktem przecięcia
przekątnej 𝐴𝐶 równoległoboku z bokiem
𝐺𝐻 rombu. Punkt 𝐿 jest punktem
przecięcia przekątnej 𝐵𝐷
równoległoboku z bokiem 𝐸𝐻 rombu.
𝐻
𝑂
𝐷
𝐶
𝐸
𝐺
𝐹
𝐵
𝐴
𝐾
𝐿
𝐻
𝑂
𝐷
𝐶
𝐸
𝐺
𝐹
𝐵
𝐴
Trójkąty 𝐻𝐾𝐶 i 𝐷𝑂𝐶 są podobne oraz trójkąty 𝐺𝐾𝐶 i 𝐵𝑂𝐶 są podobne (na mocy cechy
kkk podobieństwa trójkątów), zatem
|𝐾𝐻|
|𝑂𝐷| =
|𝐾𝐶|
|𝑂𝐶| oraz
|𝐾𝐺|
|𝑂𝐵| =
|𝐾𝐶|
|𝑂𝐶|
Stąd
|𝐾𝐻|
6
|𝐾𝐺|
6
Zatem |𝐾𝐻| = |𝐾𝐺| = 𝑎
2 .
Analogicznie |𝐿𝐻| = |𝐿𝐸| = 𝑎
2 .
Ponieważ boki czworokąta 𝐿𝑂𝐾𝐻 są równoległe do boków rombu 𝐸𝐹𝐺𝐻, więc 𝐿𝑂𝐾𝐻
również jest rombem i każdy z jego boków ma długość 𝑎
2 .
Możemy zatem obliczyć długość odcinka |𝐾𝐶| = |𝑂𝐶| -|𝑂𝐾| = 8 -𝑎
2 .
Korzystając ponownie z podobieństwa trójkątów 𝐻𝐾𝐶 i 𝐷𝑂𝐶, mamy
|𝐾𝐻|
|𝑂𝐷| =
|𝐾𝐶|
|𝑂𝐶|
𝑎
2
6 =
8 -𝑎
2
8
Stąd
𝑎= 48
7
Długość boku rombu 𝐸𝐹𝐺𝐻 jest równa 48
7 .

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Niech x oznacza, jaką część przekątnej długości 12 stanowi bok rombu równoległy do tej przekątnej. Wtedy długość boku rombu wynosi 12x . Z podobieństwa odpowiednich trójkątów drugi bok rombu, równoległy do przekątnej długości 16 , ma długość 16(1-x) . Ponieważ wszystkie boki rombu są równe:

\n

12x=16(1-x).

\n

Zatem

\n

12x=16-16x,

\n

28x=16,

\n

x=(4)/(7).

\n

Długość boku rombu jest równa

\n

12·(4)/(7)=(48)/(7).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a = \\\\dfrac{48}{7}$

"}]}