{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-2)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3, cos ∡𝐵𝐴𝐶= 4\n5 .\nOblicz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪.\nZapisz obliczenia.\n24.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt ABC, w którym |AC|=4, |AB|=3, cos|∠BAC|=4/5. Oblicz pole trójkąta ABC.","answer":"P=(18)/(5)","answer_text":"Zadanie 24. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼 ;\nVII.3) stosuje […] wzór na pole trójkąta\n𝑃= 1\n2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛾.\nVIII.11) stosuje funkcje trygonometryczne\ndo wyznaczania długości odcinków […].\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n2 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i zapisanie poprawnego wyniku: 𝑃= 18\n5 .\n1 pkt - obliczenie sinusa kąta 𝛼: sin 𝛼= 3\n5\nALBO\nobliczenie długości wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶: ℎ= 12\n5 ,\nALBO\nobliczenie kwadratu długości boku 𝐵𝐶: |𝐵𝐶|2 = 29\n5 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ warunków zadania mamy: |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3.\nOznaczmy przez 𝛼 miarę kąta 𝐵𝐴𝐶. Wtedy cos 𝛼= 4\n5 .\nAby obliczyć pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, zastosujemy wzór\n𝑃= 1\n2 ∙|𝐴𝐵| ∙|𝐴𝐶| ∙sin 𝛼\nKorzystając z tożsamości sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, obliczamy sinus kąta 𝛼:\nsin 𝛼= √1 -cos2 𝛼= √1 -(4\n5)\n2\n= √9\n25 = 3\n5\nZatem\n𝑃= 1\n2 ∙3 ∙4 ∙3\n5 = 18\n5\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 18\n5 .\nSposób II\nZ warunków zadania mamy: |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3.\nNiech ℎ oznacza wysokość 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną\nz wierzchołka 𝐶, natomiast 𝛼 - miarę kąta 𝐵𝐴𝐶.\nWtedy cos 𝛼= 4\n5 .\nAby obliczyć pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, zastosujemy wzór\n𝑃= 1\n2 ∙|𝐴𝐵| ∙|𝐶𝐷|\nW tym celu najpierw obliczamy długość odcinka 𝐴𝐷:\ncos 𝛼= |𝐴𝐷|\n|𝐴𝐶|\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n4\n𝛼\n3\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n4\n𝛼\n3\n𝐷\nℎ\n4\n5 =\n|𝐴𝐷|\n4\n|𝐴𝐷| = 16\n5\nKorzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐷𝐶, obliczamy wysokość ℎ= |𝐶𝐷|:\n|𝐴𝐷|2 + |𝐶𝐷|2 = |𝐴𝐶|2\n(16\n5 )\n2\n+ ℎ2 = 42\nℎ2 = 16 -256\n25\nℎ2 = 144\n25\nℎ= 12\n5\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃= 1\n2 ∙3 ⋅12\n5 = 18\n5\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 18\n5 .\nSposób III\nZ warunków zadania mamy: |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3.\nZ twierdzenia cosinusów mamy:\n|𝐵𝐶|2 = 32 + 42 -2 ⋅3 ⋅4 ⋅4\n5 = 29\n5\n|𝐵𝐶| = √29\n5 = √145\n5\nObwód 𝑂𝐴𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równy\n𝑂𝐴𝐵𝐶= 4 + 3 + √145\n5\n= 35 + √145\n5\nStosując wzór Herona, obliczamy pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃= √35 + √145\n10\n⋅35 -√145\n10\n⋅√145 -5\n10\n⋅√145 + 5\n10\n= √1225 -145\n100\n⋅145 -25\n100\n= √1080\n100 ⋅120\n100 = 360\n100 = 18\n5\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 18\n5 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób IV\nZ warunków zadania mamy: |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3.\nNiech 𝐷 będzie punktem przecięcia prostej 𝐴𝐵\nz prostą prostopadłą do prostej 𝐴𝐶 przechodzącą\nprzez punkt 𝐶.\nWtedy trójkąt 𝐴𝐷𝐶 jest prostokątny, a ponieważ\ncos 𝛼= 4\n5 oraz |𝐴𝐶| = 4, więc jest to trójkąt egipski.\nZatem |𝐴𝐷| = 5 oraz |𝐶𝐷| = 3.\nPole trójkąta 𝐴𝐷𝐶 jest równe\n𝑃𝐴𝐷𝐶= 1\n2 ⋅3 ⋅4 = 6\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐷𝐶 mają wspólną wysokość ℎ poprowadzoną z wierzchołka 𝐶. Możemy\nją wyznaczyć ze wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐷𝐶:\n𝑃𝐴𝐷𝐶= 1\n2 ⋅5 ⋅ℎ= 6\nStąd ℎ= 12\n5 .\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃= 1\n2 ∙3 ⋅12\n5 = 18\n5\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 18\n5 .","solution":"Mamy\n\ncos∠ BAC=(4)/(5).\n\nKąt jest ostry, więc z jedynki trygonometrycznej:\n\nsin∠ BAC=(3)/(5).\n\nPole trójkąta wynosi\n\nP=(1)/(2)· AB· AC·sin∠ BAC\n=(1)/(2)·3·4·(3)/(5)\n=(18)/(5).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Planimetria","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 24. (0-2)
Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3, cos ∡𝐵𝐴𝐶= 4
5 .
Oblicz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪.
Zapisz obliczenia.
24.
0-1-2

\n

MMAP-P0_100
Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC|=4, |AB|=3, cos|∠BAC|=4/5. Oblicz pole trójkąta ABC.

","answer_text_html":"

Zadanie 24. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VII.2) korzysta z wzorów
sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼
cos𝛼 ;
VII.3) stosuje […] wzór na pole trójkąta
𝑃= 1
2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛾.
VIII.11) stosuje funkcje trygonometryczne
do wyznaczania długości odcinków […].
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zasady oceniania
2 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i zapisanie poprawnego wyniku: 𝑃= 18
5 .
1 pkt - obliczenie sinusa kąta 𝛼: sin 𝛼= 3
5
ALBO
obliczenie długości wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶: ℎ= 12
5 ,
ALBO
obliczenie kwadratu długości boku 𝐵𝐶: |𝐵𝐶|2 = 29
5 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Z warunków zadania mamy: |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3.
Oznaczmy przez 𝛼 miarę kąta 𝐵𝐴𝐶. Wtedy cos 𝛼= 4
5 .
Aby obliczyć pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, zastosujemy wzór
𝑃= 1
2 ∙|𝐴𝐵| ∙|𝐴𝐶| ∙sin 𝛼
Korzystając z tożsamości sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, obliczamy sinus kąta 𝛼:
sin 𝛼= √1 -cos2 𝛼= √1 -(4
5)
2
= √9
25 = 3
5
Zatem
𝑃= 1
2 ∙3 ∙4 ∙3
5 = 18
5
Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 18
5 .
Sposób II
Z warunków zadania mamy: |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3.
Niech ℎ oznacza wysokość 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną
z wierzchołka 𝐶, natomiast 𝛼 - miarę kąta 𝐵𝐴𝐶.
Wtedy cos 𝛼= 4
5 .
Aby obliczyć pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, zastosujemy wzór
𝑃= 1
2 ∙|𝐴𝐵| ∙|𝐶𝐷|
W tym celu najpierw obliczamy długość odcinka 𝐴𝐷:
cos 𝛼= |𝐴𝐷|
|𝐴𝐶|
𝐴
𝐵
𝐶
4
𝛼
3
𝐴
𝐵
𝐶
4
𝛼
3
𝐷
ℎ
4
5 =
|𝐴𝐷|
4
|𝐴𝐷| = 16
5
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐷𝐶, obliczamy wysokość ℎ= |𝐶𝐷|:
|𝐴𝐷|2 + |𝐶𝐷|2 = |𝐴𝐶|2
(16
5 )
2

\n\n

ℎ2 = 16 -256
25
ℎ2 = 144
25
ℎ= 12
5
Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
𝑃= 1
2 ∙3 ⋅12
5 = 18
5
Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 18
5 .
Sposób III
Z warunków zadania mamy: |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3.
Z twierdzenia cosinusów mamy:
|𝐵𝐶|2 = 32 + 42 -2 ⋅3 ⋅4 ⋅4
5 = 29
5
|𝐵𝐶| = √29
5 = √145
5
Obwód 𝑂𝐴𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równy
𝑂𝐴𝐵𝐶= 4 + 3 + √145
5
= 35 + √145
5
Stosując wzór Herona, obliczamy pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
𝑃= √35 + √145
10
⋅35 -√145
10
⋅√145 -5
10
⋅√145 + 5
10
= √1225 -145
100
⋅145 -25
100
= √1080
100 ⋅120
100 = 360
100 = 18
5
Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 18
5 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób IV
Z warunków zadania mamy: |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3.
Niech 𝐷 będzie punktem przecięcia prostej 𝐴𝐵
z prostą prostopadłą do prostej 𝐴𝐶 przechodzącą
przez punkt 𝐶.
Wtedy trójkąt 𝐴𝐷𝐶 jest prostokątny, a ponieważ
cos 𝛼= 4
5 oraz |𝐴𝐶| = 4, więc jest to trójkąt egipski.
Zatem |𝐴𝐷| = 5 oraz |𝐶𝐷| = 3.
Pole trójkąta 𝐴𝐷𝐶 jest równe
𝑃𝐴𝐷𝐶= 1
2 ⋅3 ⋅4 = 6
Trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐷𝐶 mają wspólną wysokość ℎ poprowadzoną z wierzchołka 𝐶. Możemy
ją wyznaczyć ze wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐷𝐶:
𝑃𝐴𝐷𝐶= 1
2 ⋅5 ⋅ℎ= 6
Stąd ℎ= 12
5 .
Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
𝑃= 1
2 ∙3 ⋅12
5 = 18
5
Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 18
5 .

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Mamy

\n

cos∠ BAC=(4)/(5).

\n

Kąt jest ostry, więc z jedynki trygonometrycznej:

\n

sin∠ BAC=(3)/(5).

\n

Pole trójkąta wynosi

\n

P=(1)/(2)· AB· AC·sin∠ BAC
=(1)/(2)·3·4·(3)/(5)
=(18)/(5).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P = \\\\dfrac{18}{5}$

"}]}