{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/30.2","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"30.2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30.2. (0-2)\nOblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny\npodstawy.\nZapisz obliczenia.\n30.2.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100","answer":"cosα=(√(3))/(3)","answer_text":"Zadanie 30.2. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nX.2) posługuje się pojęciem kąta między\nprostą a płaszczyzną.\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji sinus,\ncosinus i tangens dla kątów od 0° do\n180° […].\nZasady oceniania\n2 pkt - obliczenie wartości cosinusa kąta 𝛼: cos 𝛼=\n√3\n3 .\n1 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝑂: |𝐴𝑂| = 9√2\n2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczamy przez 𝑂 spodek wysokości\nostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑊. Wtedy wysokość\nostrosłupa jest równa |𝑂𝑊| = 9.\nOdcinek 𝐴𝐶 jest przekątną kwadratu\no boku 9, zatem jego długość jest równa\n9√2. Odcinek 𝐴𝑂 stanowi jego połowę,\nwięc |𝐴𝑂| = 9√2\n2 .\n𝑊\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝐻\n9\n𝑂\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝑂𝑊 mamy:\n|𝐴𝑂|2 + |𝑂𝑊|2 = |𝐴𝑊|2\nPodstawiamy długości odcinków:\n(9√2\n2 )\n2\n+ 92 = |𝐴𝑊|2\n|𝐴𝑊|2 = 92 (2\n4 + 1)\n|𝐴𝑊| = 9√6\n2\nOznaczamy kąt 𝑊𝐴𝑂 przez 𝛼. Obliczamy cosinus kąta 𝛼:\ncos 𝛼= |𝐴𝑂|\n|𝐴𝑊| =\n9√2\n2\n9√6\n2\n= √2\n√6\n= √3\n3\nSposób II\nOznaczamy przez 𝑂 spodek wysokości\nostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑊. Wtedy wysokość\nostrosłupa jest równa |𝑂𝑊| = 9.\nOdcinek 𝐴𝐶 jest przekątną kwadratu\no boku 9, zatem jego długość jest równa\n9√2. Odcinek 𝐴𝑂 stanowi jego połowę,\nwięc |𝐴𝑂| = 9√2\n2 .\nOznaczamy kąt 𝑊𝐴𝑂 przez 𝛼.\ntg 𝛼=\n|𝑂𝑊|\n|𝐴𝑂| =\n9\n9√2\n2\n= √2\nKorzystając z tożsamości trygonometrycznej tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼 , mamy\nsin 𝛼\ncos 𝛼= √2\nsin 𝛼= √2 cos 𝛼\nStąd z tożsamości sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 mamy\n2 cos2 𝛼+ cos2 𝛼= 1\n3 cos2 𝛼= 1\ncos2 𝛼= 1\n3\n𝑊\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝐻\n9\n𝑂\nPonieważ kąt 𝛼 jest ostry, więc\ncos 𝛼= √3\n3","solution":"Niech O będzie środkiem podstawy ABCD . Rzutem krawędzi AW na płaszczyznę podstawy jest odcinek AO . Mamy\n\nAO=(9√(2))/(2), OW=9.\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\nAW=√(AO^2+OW^2)\n=√((81)/(2)+81)\n=(9√(6))/(2).\n\nDla kąta α nachylenia krawędzi AW do podstawy:\n\ncosα=(AO)/(AW)\n=frac (9√(2))/(2) (9√(6))/(2)\n=(1)/(√(3))=(√(3))/(3).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-30.2.webp","solution_image":null,"topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 30.2. (0-2)<br>Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny<br>podstawy.<br>Zapisz obliczenia.<br>30.2.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 30.2. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>X.2) posługuje się pojęciem kąta między<br>prostą a płaszczyzną.<br>VII.1) wykorzystuje definicje funkcji sinus,<br>cosinus i tangens dla kątów od 0° do<br>180° […].<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - obliczenie wartości cosinusa kąta 𝛼: cos 𝛼=<br>√3<br>3 .<br>1 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝑂: |𝐴𝑂| = 9√2<br>2 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Oznaczamy przez 𝑂 spodek wysokości<br>ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑊. Wtedy wysokość<br>ostrosłupa jest równa |𝑂𝑊| = 9.<br>Odcinek 𝐴𝐶 jest przekątną kwadratu<br>o boku 9, zatem jego długość jest równa<br>9√2. Odcinek 𝐴𝑂 stanowi jego połowę,<br>więc |𝐴𝑂| = 9√2<br>2 .<br>𝑊<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐸<br>𝐹<br>𝐺<br>𝐻<br>9<br>𝑂<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝑂𝑊 mamy:<br>|𝐴𝑂|2 + |𝑂𝑊|2 = |𝐴𝑊|2<br>Podstawiamy długości odcinków:<br>(9√2<br>2 )<br>2</p>\n<ul><li>92 = |𝐴𝑊|2</li></ul>\n<p>|𝐴𝑊|2 = 92 (2<br>4 + 1)<br>|𝐴𝑊| = 9√6<br>2<br>Oznaczamy kąt 𝑊𝐴𝑂 przez 𝛼. Obliczamy cosinus kąta 𝛼:<br>cos 𝛼= |𝐴𝑂|<br>|𝐴𝑊| =<br>9√2<br>2<br>9√6<br>2<br>= √2<br>√6<br>= √3<br>3<br>Sposób II<br>Oznaczamy przez 𝑂 spodek wysokości<br>ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑊. Wtedy wysokość<br>ostrosłupa jest równa |𝑂𝑊| = 9.<br>Odcinek 𝐴𝐶 jest przekątną kwadratu<br>o boku 9, zatem jego długość jest równa<br>9√2. Odcinek 𝐴𝑂 stanowi jego połowę,<br>więc |𝐴𝑂| = 9√2<br>2 .<br>Oznaczamy kąt 𝑊𝐴𝑂 przez 𝛼.<br>tg 𝛼=<br>|𝑂𝑊|<br>|𝐴𝑂| =<br>9<br>9√2<br>2<br>= √2<br>Korzystając z tożsamości trygonometrycznej tg 𝛼= sin𝛼<br>cos𝛼 , mamy<br>sin 𝛼<br>cos 𝛼= √2<br>sin 𝛼= √2 cos 𝛼<br>Stąd z tożsamości sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 mamy<br>2 cos2 𝛼+ cos2 𝛼= 1<br>3 cos2 𝛼= 1<br>cos2 𝛼= 1<br>3<br>𝑊<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐸<br>𝐹<br>𝐺<br>𝐻<br>9<br>𝑂<br>Ponieważ kąt 𝛼 jest ostry, więc<br>cos 𝛼= √3<br>3</p>","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Niech O będzie środkiem podstawy ABCD . Rzutem krawędzi AW na płaszczyznę podstawy jest odcinek AO . Mamy</p>\n<p>AO=(9√(2))/(2), OW=9.</p>\n<p>Z twierdzenia Pitagorasa:</p>\n<p>AW=√(AO^2+OW^2)<br>=√((81)/(2)+81)<br>=(9√(6))/(2).</p>\n<p>Dla kąta α nachylenia krawędzi AW do podstawy:</p>\n<p>cosα=(AO)/(AW)<br>=frac (9√(2))/(2) (9√(6))/(2)<br>=(1)/(√(3))=(√(3))/(3).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$\\\\cos \\\\alpha = \\\\dfrac{\\\\sqrt{3}}{3}$</p>"}]}