{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/7.2","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"7.2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7.2. (0-2)\nWyznacz wzór funkcji kwadratowej 𝒇 w postaci kanonicznej.\nZapisz obliczenia.\n7.2.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, ma współrzędne (5,-3). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych ma współrzędne (4,0). [rysunek] Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej.","answer":"f(x)=3(x-5)^2-3","answer_text":"Zadanie 7.2. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.8) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nogólnej, kanonicznej i iloczynowej […];\nV.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia postaci kanonicznej funkcji 𝑓 oraz zapisanie jej wzoru:\n𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-5)2 -3 lub\nw postaci iloczynowej 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-4)(𝑥-6), lub w postaci ogólnej\n𝑓(𝑥) = 3𝑥2 -30𝑥+ 72.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-5)2 -3, gdzie 𝑎≠0\nObliczamy 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt o współrzędnych (4, 0), zatem\n0 = 𝑎⋅(4 -5)2 -3, czyli 0 = 𝑎-3\nStąd 𝑎= 3.\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.\nSposób II\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-5)2 -3, gdzie 𝑎≠0\nPonieważ wykres funkcji kwadratowej 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu\n𝑥= 5, więc miejscami zerowymi funkcji 𝑓 są liczby 4 oraz 6.\nPrzyrównujemy postać iloczynową funkcji 𝑓 do jej postaci kanonicznej:\n𝑎(𝑥-4)(𝑥-6) = 𝑎(𝑥-5)2 -3\n𝑎𝑥2 -10𝑎𝑥+ 24𝑎= 𝑎𝑥2 -10𝑎𝑥+ 25𝑎-3\n𝑎= 3\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.\nSposób III\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-5)2 -3, gdzie 𝑎≠0\nPonieważ wykres funkcji kwadratowej 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu\n𝑥= 5, więc miejscami zerowymi funkcji 𝑓 są liczby 4 oraz 6.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-4)(𝑥-6)\nPodstawiając do tego wzoru współrzędne wierzchołka (5, -3), otrzymujemy równanie\n𝑓(5) = 𝑎(5 -4)(5 -6) = -3\nStąd 𝑎= 3.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.\nSposób IV\nWzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej to\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0\nPonieważ wykres funkcji kwadratowej 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu\n𝑥= 5, więc jej miejscami zerowymi są liczby 4 oraz 6.\nDo wykresu funkcji 𝑓 należą punkty (4, 0), (5, -3) oraz (6, 0).\nWstawiając ich współrzędne do wzoru funkcji 𝑓, otrzymujemy\n{\n0 = 𝑎⋅42 + 𝑏⋅4 + 𝑐\n-3 = 𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐\n0 = 𝑎⋅62 + 𝑏⋅6 + 𝑐\n{\n0 = 16𝑎+ 4𝑏+ 𝑐\n-3 = 25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐\n0 = 36𝑎+ 6𝑏+ 𝑐\nStąd 𝑎= 3, 𝑏= -30, 𝑐= 72.\nZatem\n𝑓(𝑥) = 3𝑥2 -30𝑥+ 72\nWzór ten można przekształcić do postaci\n𝑓(𝑥) = 3𝑥2 -30𝑥+ 72 = 3(𝑥2 -10𝑥+ 25) -3 = 3(𝑥-5)2 -3\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.","solution":"Postać kanoniczna ma postać\n\nf(x)=a(x-5)^2-3.\n\nPunkt (4,0) należy do wykresu, więc\n\n0=a(4-5)^2-3,\n\na=3.\n\nZatem\n\nf(x)=3(x-5)^2-3.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-7.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-7.2.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 7.2. (0-2)
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej 𝒇 w postaci kanonicznej.
Zapisz obliczenia.
7.2.
0-1-2

\n

MMAP-P0_100
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, ma współrzędne (5,-3). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych ma współrzędne (4,0). [rysunek] Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej.

","answer_text_html":"

Zadanie 7.2. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
V.8) interpretuje współczynniki występujące
we wzorze funkcji kwadratowej w postaci
ogólnej, kanonicznej i iloczynowej […];
V.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na
podstawie informacji o tej funkcji lub o jej
wykresie.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia postaci kanonicznej funkcji 𝑓 oraz zapisanie jej wzoru:
𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.
1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-5)2 -3 lub
w postaci iloczynowej 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-4)(𝑥-6), lub w postaci ogólnej
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 -30𝑥+ 72.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-5)2 -3, gdzie 𝑎≠0
Obliczamy 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt o współrzędnych (4, 0), zatem
0 = 𝑎⋅(4 -5)2 -3, czyli 0 = 𝑎-3
Stąd 𝑎= 3.
Wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.
Sposób II
Wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-5)2 -3, gdzie 𝑎≠0
Ponieważ wykres funkcji kwadratowej 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu
𝑥= 5, więc miejscami zerowymi funkcji 𝑓 są liczby 4 oraz 6.
Przyrównujemy postać iloczynową funkcji 𝑓 do jej postaci kanonicznej:
𝑎(𝑥-4)(𝑥-6) = 𝑎(𝑥-5)2 -3
𝑎𝑥2 -10𝑎𝑥+ 24𝑎= 𝑎𝑥2 -10𝑎𝑥+ 25𝑎-3
𝑎= 3
Wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.
Sposób III
Wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-5)2 -3, gdzie 𝑎≠0
Ponieważ wykres funkcji kwadratowej 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu
𝑥= 5, więc miejscami zerowymi funkcji 𝑓 są liczby 4 oraz 6.
Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-4)(𝑥-6)
Podstawiając do tego wzoru współrzędne wierzchołka (5, -3), otrzymujemy równanie
𝑓(5) = 𝑎(5 -4)(5 -6) = -3
Stąd 𝑎= 3.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.
Sposób IV
Wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej to
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0
Ponieważ wykres funkcji kwadratowej 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu
𝑥= 5, więc jej miejscami zerowymi są liczby 4 oraz 6.
Do wykresu funkcji 𝑓 należą punkty (4, 0), (5, -3) oraz (6, 0).
Wstawiając ich współrzędne do wzoru funkcji 𝑓, otrzymujemy
{
0 = 𝑎⋅42 + 𝑏⋅4 + 𝑐
-3 = 𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐
0 = 𝑎⋅62 + 𝑏⋅6 + 𝑐
{
0 = 16𝑎+ 4𝑏+ 𝑐
-3 = 25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐
0 = 36𝑎+ 6𝑏+ 𝑐
Stąd 𝑎= 3, 𝑏= -30, 𝑐= 72.
Zatem
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 -30𝑥+ 72
Wzór ten można przekształcić do postaci
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 -30𝑥+ 72 = 3(𝑥2 -10𝑥+ 25) -3 = 3(𝑥-5)2 -3
Wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-7.2.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Postać kanoniczna ma postać

\n

f(x)=a(x-5)^2-3.

\n

Punkt (4,0) należy do wykresu, więc

\n

0=a(4-5)^2-3,

\n

a=3.

\n

Zatem

\n

f(x)=3(x-5)^2-3.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$f(x) = 3(x - 5)^2 - 3$

"}]}