Zadanie 10. (0-5)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷. Krawędź
podstawy tego ostrosłupa ma długość 𝑎. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny
podstawy pod kątem o mierze 𝛼 takim, że cos 𝛼=
√10
10 . Przez krawędź 𝐵𝐶 podstawy
ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę 𝜋 prostopadłą do ściany bocznej 𝑆𝐴𝐷.
Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez
płaszczyznę 𝝅 i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego
przekroju.
Zapisz obliczenia.
10.
0-1-
2-3-
4-5
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
","answer_text_html":"Zadanie 10. (0-5)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
X.R5) wyznacza przekroje sześcianu
i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich
pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.
Zasady oceniania
5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃przekroju = 27√10
100 𝑎2.
4 pkt - obliczenie wysokości ℎ oraz długości podstawy 𝐸𝐹 trapezu 𝐵𝐶𝐹𝐸: ℎ= 3√10
10 𝑎
oraz |𝐸𝐹| = 0,8𝑎.
3 pkt - obliczenie długości podstawy 𝐸𝐹 trapezu 𝐵𝐶𝐹𝐸: |𝐸𝐹| = 0,8𝑎
ALBO
obliczenie wysokości ℎ trapezu 𝐵𝐶𝐹𝐸: ℎ= 3√10
10 𝑎.
2 pkt - zapisanie zależności prowadzącej do obliczenia długości podstawy 𝐸𝐹 trapezu, np.
|𝐸𝐹|
|𝐴𝐷| =
|𝑅𝑆|
|𝑆𝐺|
ALBO
obliczenie |𝑆𝐺| =
√10
2 𝑎 oraz |𝑅𝑆| = 2√10
5
𝑎,
ALBO
zapisanie zależności prowadzącej do obliczenia wysokości ℎ trapezu 𝐵𝐶𝐹𝐸, np.
3√10
10
= ℎ
𝑎 .
1 pkt - zapisanie, że przekrój jest trapezem (równoramiennym).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga.
Jeśli zdający nie zapisze, że przekrój jest trapezem, lecz realizuje strategię rozwiązania
zadania, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Odpowiedni przekrój przedstawiono na rysunku
obok.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑆
𝐸
𝐹
𝐺
𝑃
𝑎
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑃 i 𝐺 - środki krawędzi, odpowiednio, 𝐵𝐶 i 𝐴𝐷.
𝐸∈𝐴𝑆 i 𝐹∈𝐷𝑆, i 𝐸𝐹∥𝐴𝐷. Podstawa 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest kwadratem o boku 𝑎. Krawędzie
boczne są równej długości.
Otrzymany przekrój 𝐵𝐶𝐹𝐸 jest trapezem równoramiennym.
Wprowadzamy oznaczenia:
𝑂 - punkt przecięcia przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,
𝑅 - środek odcinka 𝐸𝐹,
𝐻 - rzut prostokątny punktu 𝑅 na płaszczyznę podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,
ℎ - wysokość trapezu 𝐵𝐶𝐹𝐸.
Trójkąt 𝑆𝑂𝐺 jest prostokątny, więc z definicji funkcji cosinus otrzymujemy
cos 𝛼=
|𝑂𝐺|
|𝑆𝐺|
√10
10 =
1
2 𝑎
|𝑆𝐺|
Stąd wysokość ściany bocznej ostrosłupa jest równa |𝑆𝐺| =
√10
2 𝑎.
Trójkąt 𝐺𝑃𝑅 jest prostokątny, więc z definicji funkcji cosinus otrzymujemy
cos 𝛼= |𝑅𝐺|
|𝐺𝑃|
√10
10 =
|𝑅𝐺|
𝑎
|𝑅𝐺| = √10
10 𝑎
Obliczamy długość odcinka 𝑅𝑆:
|𝑅𝑆| = |𝑆𝐺| -|𝑅𝐺|
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑆
𝑂
𝐸
𝐹
𝑅
𝐺
𝑃
𝑎
ℎ
𝛼
𝐻
|𝑅𝑆| = √10
2 𝑎-√10
10 𝑎
|𝑅𝑆| = 2√10
5
𝑎
Trójkąty 𝐴𝐷𝑆 i 𝐸𝐹𝑆 na mocy cechy kkk są podobne, więc
|𝐸𝐹|
|𝐴𝐷| = |𝑅𝑆|
|𝑆𝐺|
Stąd wyznaczamy długość podstawy 𝐸𝐹 trapezu 𝐵𝐶𝐹𝐸:
|𝐸𝐹|
𝑎
2√10
5
𝑎
√10
2 𝑎
|𝐸𝐹| = 0,8𝑎
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i obliczamy sin 𝛼:
sin2𝛼+ (√10
10 )
2
= 1
sin 𝛼= 3√10
10
Trójkąt 𝐺𝑅𝑃 jest prostokątny. Korzystamy z definicji funkcji sinus i obliczamy wysokość ℎ
przekroju:
sin 𝛼=
|𝑅𝑃|
|𝐺𝑃|
sin 𝛼= ℎ
𝑎
3√10
10
= ℎ
𝑎
ℎ= 3√10
10 𝑎
Obliczamy pole przekroju: 𝑃przekroju = 𝑎+0,8𝑎
2
∙3√10
10 𝑎= 0,9𝑎∙3√10
10 𝑎= 27√10
100 𝑎2.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
$P_{\\text{przekroju}} = \\dfrac{27\\sqrt{10}}{100} a^{2}$
"}]}