Zadanie 11. (0-5)
Dany jest trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷, w którym |𝐴𝐵| > |𝐶𝐷| oraz ramię 𝐵𝐶
ma długość 6. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu 𝑅= 5. Miary kątów 𝐵𝐴𝐶 i 𝐴𝐵𝐶
tego trapezu spełniają warunek
sin|∡𝐵𝐴𝐶|
sin|∡𝐴𝐵𝐶| = 5
8
Oblicz pole i obwód trapezu 𝑨𝑩𝑪𝑫.
Zapisz obliczenia.
11.
0-1-
2-3-
4-5
MMAP-R0_100
\nMMAP-R0_100
","answer_text_html":"Zadanie 11. (0-5)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
VII.R7) stosuje twierdzenie sinusów;
VII.R5) korzysta ze wzorów na sinus,
cosinus i tangens sumy i różnicy kątów,
a także na funkcje trygonometryczne kątów
podwojonych.
Zasady oceniania
5 pkt - obliczenie pola 𝑃 i obwodu 𝐿 trapezu i poprawne wyniki: 𝑃= 27648
625 , 𝐿= 27,36.
4 pkt - obliczenie długości dłuższej podstawy oraz obliczenie wysokości trapezu: 𝑎= 234
25 ,
ℎ= 144
25
ALBO
obliczenie długości dłuższej i krótszej podstawy: 𝑎= 234
25 oraz 𝑏= 6,
ALBO
obliczenie pola 𝑃 trapezu: 𝑃= 27648
625 ,
ALBO
obliczenie obwodu 𝐿 trapezu: 𝐿= 27,36.
3 pkt - obliczenie długości dłuższej podstawy: 𝑎= 234
25
ALBO
obliczenie wysokości trapezu oraz obliczenie długości odcinka 𝐸𝐵: ℎ= 144
25 oraz
|𝐸𝐵| = 42
25 ,
ALBO
obliczenie długości odcinka 𝐴𝐸: |𝐴𝐸| = 192
25 .
2 pkt - obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐶𝐵: sin(𝛼+ 𝛽) = 117
125
ALBO
obliczenie wysokości trapezu: ℎ= 144
25 ,
ALBO
obliczenie długości odcinka 𝐸𝐵: |𝐸𝐵| = 42
25 ,
ALBO
obliczenie długości odcinka 𝐴𝐶: |𝐴𝐶| = 48
5 .
1 pkt - obliczenie sinusa kąta 𝐵𝐴𝐶: sin 𝛼= 3
5 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia:
𝑎 - długość dłuższej podstawy trapezu,
𝑏 - długość krótszej podstawy trapezu,
|∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛼, |∡𝐴𝐵𝐶| = 𝛽,
𝐶𝐸 - wysokość poprowadzona z wierzchołka 𝐶 trapezu na podstawę 𝐴𝐵.
Ponieważ na trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 opisano okrąg, więc trapez jest równoramienny. Promień
okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶 jest równy promieniowi okręgu opisanego na trapezie
𝐴𝐵𝐶𝐷. Ponieważ |𝐴𝐵| > |𝐶𝐷|, więc 𝛼< 90° i 𝛽< 90°.
Stosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 i obliczamy sinus kąta 𝛼:
|𝐵𝐶|
sin 𝛼 = 2𝑅
6
sin 𝛼= 10
sin 𝛼= 3
5
Korzystając z jedynki trygonometrycznej, otrzymujemy cos 𝛼= 4
5 .
Obliczamy sinus kąta 𝛽.
Ponieważ sin|∡𝐵𝐴𝐶|
sin|∡𝐴𝐵𝐶| = 5
8 , więc
sin 𝛽= 8
5 ⋅sin 𝛼
sin 𝛽= 8
5 ∙3
5 = 24
25
Korzystając z jedynki trygonometrycznej, otrzymujemy cos 𝛽= 7
25 .
Obliczamy sinus kąta (𝛼+ 𝛽), korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów:
sin(𝛼+ 𝛽) = 3
5 ∙7
25 + 4
5 ∙24
25 = 117
125
Stosujemy twierdzenie sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i obliczamy długość dłuższej podstawy
trapezu:
𝑎
sin [180° -(𝛼+ 𝛽)] = 2R
6
𝐵
ℎ
𝑎
𝐶
𝐴
𝐷
𝑏
𝐸
𝛼
𝛽
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑎
sin(𝛼+ 𝛽) = 10
𝑎
117
125
= 10
𝑎= 234
25
Trójkąt 𝐵𝐸𝐶 jest prostokątny. Obliczamy wysokość ℎ trapezu, długość odcinka 𝐸𝐵 oraz
długość krótszej podstawy trapezu:
ℎ
|𝐵𝐶| = sin 𝛽 oraz |𝐸𝐵|
|𝐵𝐶| = cos 𝛽
ℎ
6 = 24
25 oraz |𝐸𝐵|
6
= 7
25
ℎ= 144
25 oraz |𝐸𝐵| = 42
25
𝑏= 𝑎-2 ⋅|𝐸𝐵|
𝑏= 234
25 -2 ∙42
25 = 6
Obliczamy pole 𝑃 i obwód 𝐿 trapezu:
𝑃=
234
25 + 6
2
∙144
25 = 27648
625
𝐿= 3 ∙6 + 234
25 = 27,36
$P = \\dfrac{27648}{625}$, $L = 27{,}36$
"}]}